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1、1（一）集合与简易逻辑（一）集合与简易逻辑1.研究集合问题，一定要抓住集合的代表元素，如：与及xyxlg|xyylg| xyyxlg| ),( 2.数形结合是解集合问题的常用方法，解题时要尽可能地借助数轴、直角坐标系或韦恩图 等工具，将抽象的代数问题具体化、形象化、直观化，然后利用数形结合的思想方法解 决； 3.一个语句是否为命题，关键要看能否判断真假，三种复合命题的真假性判定，全称性命 题与存在性命题之间的否定互换。 4.判断命题的真假要以真值表为依据。原命题与其逆否命题是等价命题 ，逆命题与其否命 题是等价命题 ，一真俱真，一假俱假，当一个命题的真假不易判断时，可考虑判断其等 价命题的真假
2、； 5.判断命题充要条件的三种方法：（1）定义法；（2）利用集合间的包含关系判断，若 ，则 A 是 B 的充分条件或 B 是 A 的必要条件；若 A=B，则 A 是 B 的充要条件；BA（3）等价法：即利用等价关系判断，对于条件或结论是不等关系（或“ABBA“ 否定式）的命题，一般运用等价法；6.（1）含 n 个元素的集合的子集个数为，真子集（非空子集）个数为1；2n2n（2） ;BBAABABAUI（3）。(),()IIIIIICABC AC B CABC AC BUIIU7.集合间运算时，当心集合本身及空集；求参数的取值范围时，要注意端点问题（可取可 不取） 。 （二）函数（二）函数1.函
3、数的定义域；研究函数的问题一定要注意定义域优先的原则。 （1）初等函数定义域的求法 （2）复合函数定义域求法：若已知的定义域为a，b,其复合函数 fg(x)的定义域( )f x 由不等式 ag(x)b 解出即可；若已知 fg(x)的定义域为a,b,求 f(x)的定义域，相当于 xa,b时，求 g(x)的值域（即 f(x)的定义域） ； （2）复合函数的单调性由“同增异减”判定； 2、求函数值域（最值）的方法：（1）配方法配方法（2）换元法换元法（3）函数有界性法（反解法）函数有界性法（反解法） （4）单调性法单调性法（5）数形结合法数形结合法（8）导数法导数法（7）基本不等式法。基本不等式法。
4、 针对具体函数的解析式来确定求函数的值域的方法。针对具体函数的解析式来确定求函数的值域的方法。 注意：函数的定义域、值域都是集合。 3、求函数的解析式时， （1）待定系数法（待定系数法（2）代换（配凑）法代换（配凑）法（3）方程的思想。方程的思想。注意函数 的定义域。 4.函数的奇偶性 （1）若 f(x)是偶函数，那么 f(x)=f(x)=;)( xf（2）若 f(x)是奇函数，0 在其定义域内，则（可用于求参数） ；(0)0f（3）判断函数奇偶性可用定义的等价形式：f(x)f(-x)=0 或（f(x)0）;1 )()(xfxf(4)若所给函数的解析式较为复杂，应先化简或在其定义域内任取两个互
5、为相反数的两个 实数，计算函数值，再判断其奇偶性； （5）奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性；偶函数在对称的单调区间内有相反的单 调性； （6）复合函数的奇偶性：内偶则偶，内奇同外内偶则偶，内奇同外 5、函数的单调性：判断方法有定义法三步骤；导数法。注意讨论函数的单调性时不要忘记函数的单调性：判断方法有定义法三步骤；导数法。注意讨论函数的单调性时不要忘记 单调区间。单调区间。26、函数图像（或方程曲线）的对称性 (1)证明函数图像的对称性，即证明图像上任意点关于对称中心（对称轴）的对称点仍在 图像上； （2）证明图像 C1与 C2的对称性，即证明 C1上任意点关于对称中心（对称轴）的对称点
6、仍 在 C2上，反之亦然； （3）曲线 C1：f(x,y)=0,关于 y=x+a(y=-x+a)的对称曲线 C2的方程为 f(ya,x+a)=0(或 f(y+a,x+a)=0); （4）曲线 C1:f(x,y)=0 关于点（a,b）的对称曲线 C2方程为：f(2ax,2by)=0; （5）若函数 y=f(x)对 xR 时，f(a+x)=f(ax)恒成立，则 y=f(x)图像关于直线 x=a 对称；（6）函数 y=f(xa)与 y=f(bx)的图像关于直线 x=对称； 2ba（7）函数图象的几种常见变换：7、函数的周期性： (1)y=f(x)对 xR 时，f(x +a)=f(xa) 或 f(x2
7、a )=f(x) (a0)恒成立,则 y=f(x)是周期为 2a 的周 期函数； （2）若 y=f(x)是偶函数，其图像又关于直线 x=a 对称，则 f(x)是周期为 2a的周期函数；（3）若 y=f(x)奇函数，其图像又关于直线 x=a 对称，则 f(x)是周期为 4a的周期函数；（4）若 y=f(x)关于点(a,0),(b,0)对称，则 f(x)是周期为 2的周期函数；ba （5）y=f(x)的图象关于直线 x=a,x=b(ab)对称，则函数 y=f(x)是周期为 2的周期函数；ba （6）y=f(x)对 xR 时，f(x+a)=f(x)(或 f(x+a)= ，则 y=f(x)是周期为 2
8、的周期函数； )(1 xfa（7）f(x+a)=(f(x)+1)/(f(x)-1)恒成立； f(x+a)=(1-f(x)/(1+f(x)恒成立，则 y=f(x)是周期为 2a 的 周期函数 （8）f(x+2)=f(x+1)-f(x)恒成立，则 y=f(x)是周期为 6 的周期函数.8、函数图象的凹凸性：是_（填“凸” ， “凹” ）函数1212()()()22xxf xf xf是_（填“凸” ， “凹” ）函数1212()()()22xxf xf xf9、初等函数的性质：10、掌握函数、分段函数的图象和性质；几个(0);(0)ax bb acayab acyxaxcxcx 特殊的函数：高斯函数
9、、取大或取小函数等。 11、抽象函数的特征表达式： 正比例函数型： -；( )(0)f xkx k()( )( )f xyf xf y幂函数型： -，；2( )f xx()( ) ( )f xyf x f y( )( )( )xf xfyf y指数函数型： -，； ( )xf xa()( ) ( )f xyf x f y( )()( )f xf xyf y对数函数型： -，； ( )logaf xx()( )( )f xyf xf y( )( )( )xff xf yy三角函数型： - 。( )tanf xx( )( )()1( ) ( )f xf yf xyf x f y 12、处理二次函数
10、的问题勿忘数形结合；二次函数在闭区间上必有最值，求最值问题用 “两看法”：一看开口方向；二看对称轴与所给区间的相对位置关系；3实系数一元二次方程的两根的分布问题：2( )0(0)f xaxbxca21,xx根的情况kxx2112mxxn21xkx等价命题在上有两根),(k在上有两根( , )m n在和上各有一),(k),(k 根充要条件0( )02f kbka 0( )0( )02f mf nbman ( )0f k 注意：若在闭区间讨论方程有实数解的情况，可先利用在开区间,nm0)(xf上实根分布的情况，得出结果，在令和检查端点的情况。),(nmnx mx 13、对于以下类型的目标函数问题需
11、要注意：可分别;)3( ;)2( ;)()() 1 (22ByAxbxaybyax;)5();sin,(cos)4(22babaF通过构造距离函数、斜率函数、截距函数、单位圆 x2+y2=1 上的点及余弦定)sin,(cos理进行转化达到解题目的。 14.方程 k=f(x)有解kD(D 为 f(x)的值域)； 15.恒成立问题的处理方法：（1）分离参数法；（2）主元法，转化为函数的最值问题。（三）导数及应用（三）导数及应用1.导数的定义：f(x)在点 x0处的导数记作；注意； xxfxxfxfy xxx )()(lim)(00000导数的定义的运用：瞬时变化率及膨胀率等。 2.根据导数的定义，
12、求函数的导数步骤为：（1）求函数的增量(2)求);()(xfxxfy平均变化率;(3)取极限,得导数;xxfxxf xy )()( xyxf x 0lim)(3.导数的几何意义：曲线 yf（x）在点 P（x0,f(x0)）处的切线的斜率是相应地，切).(0xf 线方程是);)(000xxxfyy4.常见函数的导数公式：，Q);(mmx)(x);(C01 -mm为常数C(sin )cosxx ，(cos )sinxx 2( )uu vv u vv 1(ln )xx ()xxee 1(log)lnaxxa ()lnxxaaa 5.复合函数的求导法则：（不考）;xuxuyy6、导数的应用：（1）利用
13、导数判断函数的单调性：设函数 yf（x）在某个区间内可导， 如果那么 f(x)为增函数；如果那么 f(x)为减函数；如果在某个区间, 0)( xf, 0)( xf内恒有那么 f(x)为常数；, 0)( xf（2）求可导函数极值的步骤：求导数；求方程的根；检验)(xf 0)( xf在方程根的左右的符号，如果左正右负，那么函数 y=f(x)在这个根处取)(xf 0)( xf 得最大值；如果左负右正，那么函数 y=f(x)在这个根处取得最小值； （3）求可导函数最大值与最小值的步骤：求 y=f(x)在(a,b)内的极值；将 y=f(x)在各极值 点的极值与 f（a） 、f（b）比较，其中最大的一个为
14、最大值，最小的一个是最小值。4（四）数列（四）数列1.由 Sn求 an，an= 注意验证 a1是否包含在后面 an 的公式中，若不 ), 2() 1(* 11 NnnSSnSnn 符合要单独列出。一般已知条件中含 an与 Sn的关系的数列题均可考虑用上述公式； 2.等差数列111(2(2)nnnnnnaaad daaan为常数）；BnAnsbanann23.等比数列； 21 11(2)n nnnn naaq qaaana 为常数）1 1n naa q4.首项为正（或为负）的递减（或递增）的等差数列前 n 项和的最大（或最小）问题，转化为解不等式解决；或通过 Sn 对称轴解决； 00 0011n
15、nnn aa aa或5数列an中最大（小）项求法：利用数列单调性： 11nnnn aaaa 单调增单调减11nnnn aaaa6.熟记等差、等比数列的定义，通项公式，前 n 项和公式，在用等比数列前 n 项和公式时， 勿忘分类讨论思想（q 是否等于 1） ；7. 在等差数列中，；在等比数列中，;()nmaanm dnmaadnmn m nmaa q8. 当时，对等差数列有；对等比数列有；mnpqqpnmaaaaqpnmaaaa9.若an、bn是等差数列，则kan+pbn(k、p 是非零常数)是等差数列；若an、bn是等比数 列，则kan 、anbn等也是等比数列； 10. 若数列为等差（比）数列，则也是等差（比）数列；注na
