数学建模 电力生产问题

《数学建模 电力生产问题》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数学建模 电力生产问题（15页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。

1、电力生产最优化问题电力生产最优化问题摘要摘要本文解决的是发电机使用的非线性最优化问题。为满足每日电力需求，且 总成本最小，可把每天分为七个时间段，要计算一天的最小成本即是分别求出 每个时间段的最小成本，从而累加得出一天的最小总成本。我们采用了 LINGO 软件实现整个流程，最终求出七个时段总成本的最优解，即每天使用发电机的 总成本的最小值，并进行了误差分析，模型的评价与推广。 对于问题一：对数据进行初步分析和处理后，考虑到数据的复杂性及多样 性，我们应用普遍的分段思想以及最优化思想，建立二次规划模型。将每天分为 7 个时段，通过利用第 i 时段型号 j 发电机的使用数量及其功率，并应ijXij

2、Y用 LINGO 程序，最终分别计算出每个时段使用发电机所花费的成本最小值，然后累加得每天使用发电机的总成本的最小值，最终结果如下miniWminW表：06699121214141818222224 型号 1 发电机使用数量0255110 型号 2 发电机使用数量4444444 型号 3 发电机使用数量3848886 型号 4 发电机使用数量0333130 时段最小成本17662027040019782018493024554030780085480一天最小总成本1468590对于问题二：本问是要在问题一的基础上加以改进，要求在任何时刻，正 在工作的发电机组必须留出 20%的发电能力余量，即发

3、电机在任何时刻其输出 功率均要满足要求，在计算电力需求量时，发电机要按 80%的输出功率计算； 最终得出此情况下每天最小成本为 1913537 元。 最后，观察模型结果可发现，型号 2 与型号 3 发电机使用相当频繁，建议 可适当增加此类发电机台数。关键词关键词：lingo 软件软件 最优化思想最优化思想 二次规划模型二次规划模型一一 问题重述问题重述问题背景：问题背景： 电是我们这个社会不可缺少的资源之一。我们身边处处都需要电，小到电 灯、电扇，大到飞机、卫星。对电力资源的合理利用是目前重要任务之一。在 可持续发展的社会中，如何节约资源、提高效率是当前社会面临的重要问题之 一，本题即是要求合

4、理分配发电机使用数量，以减小发电成本的问题。 题目要求：题目要求： 为满足每日电力需求（单位为兆瓦（MW） ） ，可以选用四种不同类型的发电 机。每日电力需求如下表 1。 表 1：每日用电需求（兆瓦） 时段（0- 24）0-66-99-1212-1414-1818-2222-24需求12000320002500036000250003000018000每种发电机都有一个最大发电能力，当接入电网时，其输出功率不应低于 某一最小输出功率。所有发电机都存在一个启动成本，以及工作于最小功率状 态时的固定的每小时成本，并且如果功率高于最小功率，则超出部分的功率每 兆瓦每小时还存在一个成本，即边际成本。这

5、些数据均列于表 2 中。 表 2：发电机情况 可用数量最小输出 功率 （MW）最大输出 功率 （MW）固定成本 （元/小时）每兆瓦边际 成本（元/ 小时）启动 成本型号 110750175022502.75000 型号 241000150018002.21600 型号 381200200037501.82400 型号 431800350048003.81200只有在每个时段开始时才允许启动或关闭发电机。与启动发电机不同，关 闭发电机不需要付出任何代价。本文要解决的问题有：本文要解决的问题有： 问题一：试确定在每个时段应分别使用各型号发电机的数量，以使每天的 总成本最小，并求出最小总成本。 问题

6、二：在现实生活中，用电量不可能恒定不变，所以为了更符合实际， 增强方案的可行性，要求发电机要保留一定的发电能力，以应对突发情况。所 以假设：在任何时刻，正在工作的发电机组必须留出 20%的发电能力余量，以 防用电量突然上升。试确定每个时段又应分别使用各型号发电机的数量，以使 每天的总成本最小，并求出此时的最小总成本。二二 模型的假设模型的假设假设 1：在每个时段开始时才允许启动或关闭发电机。 假设 2：发电机工作期间不发生任何故障。 假设 3：发电机之间的摩擦不消耗功率。 假设 4：发电机输出过程其功率始终保持不变。 假设 5：关闭发电机过程不做任何考虑。 假设 6：关闭和启动发电机时均是瞬时

7、完成，不记相应使用的时间。 假设 7：发电机自身不消耗功率。假设 8：在一时段内，每小时所需要的功率相等。iG三三 符号说明符号说明符号符号说明i时段，取 1、2、3、4、5、6、7j发电机型号，取 1、2、3、4ijX第 i 时段型号 j 发电机使用数量ijY第 i 时段单个型号 j 的功率iT发电机在第 i 时段的工作时间iW发电机在第 i 时段的总成本W每天的总成本jM型号 j 发电机的最小输出功率jA型号 j 发电机的固定成本jB型号 j 发电机工作时的每兆瓦边际成本jC每台型号 j 的启动成本ijF第 i 时段 j 型号发电机的总启动成本iG第 i 时段每小时所需要的功率四四 模型的

8、建立与求解模型的建立与求解问题（一）问题（一） 1.1 模型分析模型分析该问题是一个分段求解问题，比较复杂不易求出精确的最优解，故只能近 似求出其最优解来。我们把每天分为 7 个时段，通过求每个时段发电机使用的总成本来求每天 的总成本，即为各各时段总成本之和。然后要确定发电机在每个时段所使用的 发电机的型号以及所使用的数量和输出的实际功率，而每个时段的总成本是由 三个部分组成的，分别为：固定成本、启动成本、边际成本。据此对每个时段 建立模型及其相应的约束条件，又各各时段中若已经启动的发电机就不用再启 动，所以无需相应的额外启动成本，故第 1 时段与后 6 个时段计算情况不同， 所以我们要分时段

9、来求各时段的启动成本。 1.2 模型的建立模型的建立 1.2.1 确定目标函数确定目标函数 我们确定的目标函数是为了解决电力生产优化问题。在满足需求量的情况 下，为了使每天发电成本最低，则需要每个时段有最小成本，所以我们建立如 下目标函数71minmini iWW为了解决问题，我们进一步研究每个时段的最小成本，由于成本由启动成 本、固定成本、边际成本组成，所以我们经分析可得出第 i 时段的总成本为：41*()*iijjijiijjjiij jWFAXTYMBTX因为代表第 i 时段 j 型号发电机的总启动成本，在第 1 是时段时，开多少ijF发电机，就需要多少次启动成本。而从第二次开始，如果比

10、上一时间段开机少， 本时段就不需要此启动成本；如果开机比上一时段多，则只需要计算多出发电 机的启动成本。所以，我们最终得出第 i 时段 j 型号的启动成本公式为：(1)(1)(1)*,1*(),2,3,4,5,6,7,0,jijijjijijijijijijCXiFCXXiXXXX 1.2.2 确定约束条件确定约束条件. 因为代表第 i 时段型号 j 发电机使用数量，所以应小于等于本型ijXijX号发电机总的数量，且为整数，即：（为整数）1234010040803iiiiXXXX ijX. 同时由于代表第 i 时段单个型号 j 的功率，所以的大小应该介于最ijYijY小输出功率与最大输出功率之

11、间，即：12347501500100017501200200018003500iiiiYYYY . 发电机的发电量要满足电量需求，而代表第 i 时段每小时所需要的功iG率，所以每小时发电量要大于等于，即：iG41*iijij jGXY1.2.3 综上所述，得到问题一的最优化模型综上所述，得到问题一的最优化模型 7141minmin*()*i iiijjijiijjjiij jWWWFAXTYMBTX （必须取整数）4111223344*010,7501500;. . 04,10001750;08,12002000;03,18003500;iijij jiiiiiiiiGXYXYstXYXYXY

12、 ijX1.3 模型的求解模型的求解.首先，我们分析题目得到，总成本由启动成本、固定成本、边际成本组成。启动成本：分析易知，启动成本只与本型号发电机的数量有关，与其输出 功率无关。其值为：各型号发电机数量与其各自的启动成本之积的求和。固定成本：因为当发电机接入电网时，其输出功率不应低于其最小输出功 率，而发电机功率大于等于最小功率时有固定的每小时成本（即固定成本） ，所 以固定成本与其输出功率大小无关，只与本型号启动的发电机数量有关。其值 为：各型号发电机数量与其固定成本、工作时间之积的求和。 边际成本：如果发电机输出功率高于最小功率，则超出部分的功率每兆瓦 每小时还存在一个成本，即边际成本，

13、此部分成本不仅与发电机数量有关，还 与发电机输出功率有关。其值为：各型号发电机数量乘以工作时间乘以各自边 际成本乘以超出功率。 所以，经过上述分析，我们应用 LINGO 程序进行编程（程序见附录）计 算，最终得出每时段各型号发电机的使用数量及其各自的功率。由各型号发电 机使用数量及各自功率可求出各时段内的最小成本及一天的最小总成本，具体 的数据见表一： 表一：问题一求解结果06699121214141818222224型号 1 发电 机数量0255110型号 1 发电 机功率-17501750172012001750-型号 2 发电 机数量4444444型号 2 发电 机功率150015001

14、5001500150015001500型号 3 发电 机数量3848886型号 3 发电 机功率2000200012002000200020002000型号 4 发电 机数量0333130型号 4 发电 机功率-21671816180018002083-时段最小成 本17662027040019782018493024554030780085480一天最小总 成本1468590注：表中“-”表示发电机数量为 0 时，讨论功率没意义。1.4 问题一的结果分析问题一的结果分析 对表一进行深入观察可知：型号 2、型号 3 发电机使用频率相当高，且多为 满功率工作，而型号 1 发电机虽然有 10 台，

15、但其使用数量不多，所以建议对型 号 2、型号 3 进行定时维修，或增配型号 2 及型号 3 发电机数量，可适当减少 型号 1 发电机的数量，以降低成本。 经过对结果数据的再分析、再检验，结合网上的调查情况与相关资料，我 们的结果的确较为符合实际情况，有较大的参考价值，比较优越。问题（二）问题（二） 2.1 模型的讨论模型的讨论根据对问题一的分析，我们已经基本理清了计算发电成本的思路。在本问中， 我们只需对问题一加以约束、改进，就可以得出结果。 本问所加要求为：在任何时刻，正在工作的发电机组必须留出 20%的发电 余量，以防止突然上升。我们对此问题进行安全性较高的保守计算：在计算电 力需求量时，

16、由于发电机在某些时候可能保留了 20%的发电能力，所以此时发 电机要按 80%的输出功率计算；而在考虑成本及限制条件时，又因为发电机在 某些时候可能会全力发动，所以此时发电机要按 100%的输出功率计算，而其余 的求解思路与问题一一致。 2.2 模型建立模型建立 2.2.1 确定目标函数确定目标函数 我们确定的目标函数是为了解决电力生产优化问题。在满足需求量的情况 下，为了使每天发电成本最低，则需要每个时段有最小成本，所以我们建立如 下目标函数71minmini iWW为了解决问题，我们进一步研究每个时段的最小成本，由于成本由启动成 本、固定成本、边际成本组成，所以我们经分析可得出第 i 时段的总成