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1、第五章 数列5.1 数列的概念及函数特征一、选择题1数列1, ,的一个通项公式 an是( )85157249A(1)nn22n1B(1)nnn2n1C(1)nn2212n1D(1)nnn22n1解析:将数列中的各项变为,故其通项 an(1)1 332 453 574 69n.nn22n1答案:D2数列an中,a11,对于所有 n2,nN*都有 a1a2a3ann2,则 a3a5等于( )A B6116259CD25163115解析:解法一 由已知得 a1a222,a24.a1a2a332,a3 ,94a1a2a3a442,a4,169a1a2a3a4a552,a5.2516a3a5 .9425
2、166116解法二 由 a1a2a3ann2,得 a1a2a3an1(n1)2,an()2(n2),nn1a3a5( )2( )2.32546116答案:A3数列 1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5,的第 100 项是( )A14B12C13D15解析:易知数字为 n 时共有 n 个,到数字 n 时,总共的数字的个数为123n.易得 n13 时,最后一项为 91,n14 共有 14 个,故第 100 项为nn1214.答案:A4若数列an的通项公式 an,记 f(n)2(1a1)(1a2)(1an),试通过计1n12算 f(1),f(2),f(3)的值,推测出 f(n)为( )ABn1
3、nn3n1CDn2n1n3n2解析:f(1)2(1a1) ,321211f(2)2(1 )(1 ) ,1419432221f(3)2(1a1)(1a2)(1a3)2(1 )(1 )(1) ,1419116543231可猜测 f(n).n2n1答案:C5已知数列an的通项 an(nN*),则数列an的前 30 项中,最大项和最小n 98n 99项分别是( )Aa10,a9Ba1,a9Ca1,a30Da9,a30解析:an1,记函数 f(x)1,n 99 99 98n 9999 98n 9999 98x 99函数 f(x)的大致图象如右图所示,当 n10 时,a10最大,当 n9 时,a9最小答案
4、:A6(2009福建模拟)把正整数按一定的规则排成了如图所示的三角形数表设aij(i,jN*)是位于这个三角形数表中从上往下数第 i 行、从左往右数第 j 个数,如 a428.若 aij2009,则 i 与 j 的和为( )A105B106C107D108解析:由数表知,第一行 1 个奇数,第 3 行 3 个奇数,第 5 行 5 个奇数,第 61 行 61 个奇数,前 61 行用去 13561961 个奇数62 312而 2009 是第 1005 个奇数,故应是第 63 行第 44 个数,即 ij6344107.答案:C二、填空题7已知数列an满足 a12,an1(nN*),则 a3的值为1a
5、n1an_,a1a2a3a2007的值为_解析:根据已知数列an的递推公式得a23,a3 ,a4 ,a52,故可知数列an为以1a11a1131312112112131131134 为周期的周期数列,故 a1a2a20073.a1a2a3a4502a2008a1a2a3a4502a4答案: 3128数列an的前 n 项和 Snn24n2,则|a1|a2|a10|_.解析:据公式法得 n2 时,anSnSn1(n24n2)(n1)24(n1)22n5,当 n1 时,S1a11,故 anError!据通项公式得|a1|a2|a10|(a1a2)(a3a4a10)S102S266.答案:669已知数
6、列an是递增数列,且 ann2n,则实数 的范围是_解法一:an1an(n1)2(n1)n2n2n1,数列an的单调递增的,an1an2n10 恒成立只要 2n1 的最小值大于 0 即可,30.3.解法二:ann2n 且an是单调递增的, 3.232答案:3三、解答题10已知数列an的前 n 项和为 Sn,满足 log2(1Sn)n1,求数列的通项公式解:Sn满足 log2(1Sn)n1,1Sn2n1,Sn2n11.a13,anSnSn1(2n11)(2n1)2n(n2),an的通项公式为 anError!11在数列an中,a1 ,an1(n2,nN*),数列an的前 n 项和为 Sn.121
7、an1(1)求证:an3an;(2)求 a2008.(1)证明:an3111an2111an11111111an111an1an1111anan11an1anan111(1an)an.11an1an3an.(2)解:由(1)知数列an的周期 T3,a1 ,a21,a32.12又a2008a36691a1 .a2008 .121212(2009山东济宁模拟)设同时满足条件:bn1(nN*);bnbn22bnM(nN*,M 是与 n 无关的常数)的无穷数列bn叫“特界”数列(1)若数列an为等差数列,Sn是其前 n 项和,a34,S318,求 Sn;(2)判断(1)中的数列Sn是否为“特界”数列,
8、并说明理由解:(1)设等差数列an的公差为 d,即 a12d4,3a13d18,解得 a18,d2,Snna1dn29n.nn12(2)由Sn1SnSn22Sn2Sn1Sn1Sn2 10 解得 q2,d2.故所求的通公式为 an2n1,bn32n1.11(2009江苏卷)设an是公差不为零的等差数列,Sn为其前 n 项和,满足 a a a2 22 3a ,S77.2 42 5(1)求数列an的通项公式及前 n 项和 Sn;(2)试求所有的正整数 m,使得为数列 Sn中的项amam1am2解:(1)由题意,设等差数列an的通项公式 ana1(n1)d,d0.a a a a 知 2a15d0.2
9、22 32 42 5又因为 S77,所以 a13d1.由可得 a15,d2.所以数列an的通项公式 an2n7,Snn26n.na1an2(2)因为am26为数列an中的项,故amam1am2am24am22am28am2为整数,又由(1)知 am2为奇数,所以 am22m31,即 m1,2.8am2经检验,符合题意的正整数只有 m2.12(2009广东湛师附中模拟)在数列an中,a11,3anan1anan10(n2)(1)证明数列的等差数列:1an(2)求数列an的通项;(3)若 an 对任意 n2 的整数恒成立,求实数 的取值范围1an1解:(1)证明:将 3anan1anan10(n2
10、),整理得3(n2)1an1an1所以数列是以 1 为首项,3 为公差的等差数列1an(2)由(1)可得13(n1)3n2,1an所以 an13n2(3)若 an 对 n2 的整数恒成立,1an1即3n1 对 n2 的整数恒成立3n2整理得 ,3n13n23n1令 cn,3n13n23n1cn1cn3n43n13n3n13n23n1.3n13n43nn1因为 n2,所以 cn1cn0,即数列cn为单调递增数列,所以 c2最小,c2.283所以 的取值范围为(,.2835.3 等比数列一、选择题1已知等比数列an满足 a1a23,a2a36,则 a7( )A64 B81C128D243解析:设首
11、项为 a1,公比为 q,则Error!Error!,a7a1q664.答案:A2在等比数列an中,an10,n1,2,且 a5a2n522n(n3),则当 n1 时,log2a1log2a3log2a2n1( )A(n1)2Bn2C(n1)2Dn(2n1)解析:a5a2n522na ,an0,an2n,2 nlog2a1log2a3log2a2n1log2(a1a3an1)log2213(2n1)log22n2n2.故选 B答案:B4等比数列an中,Tn表示前 n 项的积,若 T51,则( )Aa21Ba31Ca51Da91解析:T5a1a2a3a4a5a 1,5 3a31.答案:B5在等比数
12、列an中,a2a616,a4a88,则( )a20a10A1B3C1 或3D1 或 3解析:由 a2a616,得 a 16,2 4解得 a44,由 a4a88,可得 a4(1q4)8.q40,a44,q21,q101.a20a10答案:A6(2009浙江金华模拟)由 9 个正数组成的矩阵中,每行中的三个数成(a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33)等差数列,且 a11a12a13,a21a22a23,a31a32a33成等比数列给出下列判断:第 2 列中的 a12,a22,a32必成等比数列;第 1 列中的 a11,a21,a31不一定成等比数列;a12a32a
13、21a23;若 9 个数之和等于 9,则 a221.其中正确的个数有( )A1 个B2 个C3 个D4 个解析:由等差数列和等比数列的性质可知,a11a132a12,a21a232a22,a31a332a32,3a12,3a22,3a32成等比,a12、a22、a32成等比,正确;a11,a21,a31不一定成等比,正确;由等比数列的性质和均值不等式可知,a12a3222a22a21a23,a 2 22正确;而 93(a12a22a32)3(2a22)a 2 229a22,即 a221,错误故正确,故选 C答案:C二、填空题7(2009浙江卷)设等比数列an的公比 q ,前 n 项和为 Sn,则_.12S4a4解析:a4a1( )3 a1,S4a1,1218a1112411215815.S4a4答案:158(2009江苏卷)设an是公比为 q 的等比数列,|q|1,令