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1、2000 年全国硕士研究生入学统一考试年全国硕士研究生入学统一考试 经济数学三试题详解及评析经济数学三试题详解及评析 一、 填空题一、 填空题 （1） 设,xyzfxygyx=+其中, f g均可微，则z x=_. 【答答】 1221.yyffgxx+ 【详解详解】2122211.zyyfyfgyffgxyxxx=+ =+（2） 设21xxdx ee+=+_ 【答答】 .4e【详解详解】 ()22221111arctan0x x xxxxdxe dxdtteteeeteeee+=+1 244ee=（ 3 ） 已 知 四 阶 矩 阵A与B相 似 ； 矩 阵 为A的 特 征 值1 1 1 1,2
2、3 4 5则 行 列 式-1B - E=_. 【答答】 24 【详解详解】 因为A与B相似， 而相似矩阵有相同的特征值， 所以B得四个特征值1 1 1 1,2 3 4 5又由0,iiBx =x,有()-111ixx=B - E，可见矩阵B - E有特征值11i，即 1，2，3，4.从而有行列式-1B - E=123424 （3） 设随机变量 X 的概率密度为 ( )1, 0,1 ,3 2, 3,6 ,9 0, xf xx = 其他若k使得2,3P Xk=则k的取值范围是_ 【答答】 1,3 【详解详解】 由题设2,3P Xk=知道 211,33P Xk=010X001xxY若若若，则方差DY=
3、_. 【答答】 98【详解详解】因为 X在区间2 , 1上服从均匀分布，所以其密度函数为 = 其他02131 )(xxf 于是310-1PY=XP 因此 31 32100311)(=+=YE 13210031) 1()(2222=+=YE 故 98 911)()()(22=YEYEYD 二、 选择题二、 选择题 （1）设对任意的x，总有),()()(xgxfx且0)()(lim= xxg x，则)(limxf x(A) 存在且等于零 (B)存在但不一定为零 (C) 一定不存在 (D) 不一定存在 【 】 【答答】 D 【详解详解】 若令1)(,1)(,1)(=+=xfexgexxx ，则有 )
4、,()()(xgxfx 且 , 0)()(lim= xxg x1)(lim= xf x可排除（A） （C）两个选项. 又如 xxxxxexfeexgeex=+=)(,)(,)( 显然)(),(),(xfxgx满足题设条件，但)(limxf x不存在。 因此（B）也可排除，剩下（D）为正确选项. （2）设函数( )f x在点ax =处可导，则函数)(xf在点ax=处不可导的充分条件是 (A) 0)(0)(=afaf且 （B）0)(0)(=afaf且 (C) 0)(0)(afaf且 (D) 0)(0)(f，0) 1 (f，但2)(xxf=在点1=x处可导，排除（C） ； 同样，2)(xxf=在点1
5、=x处，0) 1 (? 即当()1 121n na aa+ ?时，此时二次型()12,nf x xx?为正定二次型 . 十一十一、 （本题满分 8 分） 假设 05.50、1.25、0.80、2.00 是来自总体 X 的简单随机样本值.已知lnYX=服从正态分布(),1N （1） 求 X 的数学期望值 E(X)（记 E(X)为 b） ； （2） 求的置信度为 0.95 的置信区间； （3） 利用上述结果求 b 的置信度为 0.95 的置信区间. 【详解详解】 （1）Y 的概率密度为 ( )()2 21,2y fyex= + 于是有 ()()()222211 22yt YytbE XE ee e
6、dtyteedt+=()211 222y eedte+=. （2） 当置信度10.95=时，标准正态分布对应于0.05=的双侧分位数等于 1.96。 故1,4YN,可得参数的置信度为 0.95 的置信区间为 ()111.96,1.960.98,0.9844YYYY+=+其中Y表示总体 Y 的样本均值，有 ()11ln0.5ln0.8ln1.25ln2ln10,44Y =+= 将其代入上式，得的置信度为()0.98,0.98 . （4） 由指数函数xe的严格单调递增性，知 10.980.980.480.482PP=+1 0.481.480.481.4820.95P eeeP ebe+=因此 b
7、的置信度为 0.95 的置信区间为()0.481.48,.ee十二、十二、 （本题满分 8 分） 设BA,是二随机事件，随机变量 =不出现若出现若A1A1X， =不出现若出现若B1B1Y 试证明随机变量YX和不相关的充分必要条件是BA和相互独立. 【详解详解】 记1212( ), ( ), ()P Ap P Bp P ABp=,由数学期望的定义,有 1()( )( )21,E XP AP Ap= 2( )( )( )21,E YP BP Bp= 进一步().E XY由于只有两个可能值 1 和-1,因此 12121()()21,P XYP ABP ABppp=+=+ 12121112,P XYp XYppp= = =+ 于是 ()11E XYP XYP XY= 12124221,ppp=+ 从而 1212(, )()()( )44.Cov X YE XYE XE Ypp p=i 可见 1212(, )0,Cov X Ypp p=即()( ) ( )P ABP A P B=,也即YX和不相关的充分必要条件是BA和相互独立.
