2008年数学建模b题

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1、1高等教育学费标准探讨摘要：高等教育是一个国家综合国力提升的根本，而其合理的教育收费对教育的良 好推行有着很深的影响。如何从国家、社会、家庭、个人等各方面效益进行权衡 来制定一个合理的收费标准是一个很值得探讨的问题。 首先，用模糊数学的方法建立模糊数学模型，通过对所收集到的大量数据进 行分析研究，将学费分成五个学费段，并对影响学费的几个主要因素-培养成本、 政府经费、家庭收入、学校财力和社会捐赠进行分析。利用模糊矩阵与权重向量 相乘得到待解决问题的评价向量，并对得到的评价向量进行分析，从而利用该模 型得到一个合适收费段作为最佳学费标准；其次，使用基于多智能体系统 （MultiAgent Sys

2、tem,MAS）建立高校学费定价模型，通过 MAS 仿真得到高等教 育对社会的经济收益和公平性反映的社会收益，通过使用已有方法实现该仿真系 统进行仿真实验，并得到收费定价最优值与经济效率、教育公平的关系，在社会 收益最大时的学费即为最优学费。建立的模糊模型是从教育的多种主要成本方面 考虑教育收费；而建立的高校学费定价模型则是从社会包含经济效率和教育公平 两方面的社会利益出发，来弥补模糊模型带来的不足!从而保证结果更加合理、全 面和有效。本文从对部属重点高校与普通高校的培养成本、政府经费、家庭收入等五个 方面的数据分析，运用我们所建立的数学模型得出结果，对于中等收入家庭来说 我们得出部属重点高校

3、学费为 70007999 元，普通高校的学费为 6000 6999 元是合理的。该结果与当前社会现状相吻合。 （我们所论的学费包括住宿费 在内）但是对于农村及低收入家庭来说，这个费用偏高，超出了他们的支付能力。 为解决困难家庭孩子的大学费用问题，对政策制定部门提出了一些相关的建议。 运用此模型能较广泛方便的得到学校的合理收费标准，适可推广使用！关键词：模糊模型 高校学费定价模型 多智能体系统 家庭收入 2一、问题重述随着我国高校招生规模的不断扩大,我国高等教育已提前进入大众化教育阶段,大 学收费也创历史新高，这直接触动了广大人民群众的切身利益,引起了全社会的高 度关注,成为当前社会的热点问题之

4、一。高等教育事关高素质人才培养、国家创新能力增强、和谐社会建设的大局， 因此受到党和政府及社会各方面的高度重视和广泛关注。培养质量是高等教育的 一个核心指标，不同的学科、专业在设定不同的培养目标后，其质量需要有相应 的经费保障。高等教育属于非义务教育，其经费在世界各国都由政府财政拨款、 学校自筹、社会捐赠和学费收入等几部分组成。对适合接受高等教育的经济困难 的学生，一般可通过贷款和学费减、免、补等方式获得资助，品学兼优者还能享 受政府、学校、企业等给予的奖学金。 学费问题涉及到每一个大学生及其家庭，是一个敏感而又复杂的问题：过高 的学费会使很多学生无力支付，过低的学费又使学校财力不足而无法保证

5、质量。 学费问题近来在各种媒体上引起了热烈的讨论。 我们的目标就是根据中国国情，收集诸如国家生均拨款、培养费用、家庭收 入等相关数据，并据此通过数学建模的方法，就几类学校或专业的学费标准进行 定量分析，得出明确、有说服力的结论。对数据进行收集和分析后整理编写出一 篇观点鲜明、分析有据、结论明确的数学建模论文。 最后，根据建模分析的结果，给有关部门写一份报告，提出具体建议。 二、模型的假设与符号约定2.12.1 模型的假设模型的假设 1) 假设学校的收费只受培养成本、学校财力、社会捐赠、国家扶持、 家庭收入五个因素的影响，忽略其他因素的关系。 2) 忽略社会经济的动荡影响。 3) 在高校学费定价

6、模型中，学校和社会的投资都归于政府投资。2.22.2 符号的约定符号的约定 A1 : 培养成本 A2 : 政府经费 A3 : 家庭收入 A4 : 学校财力 A5 : 社会捐赠 U : 模糊矩阵 C : 权重向量 Ci : 第 i 个影响因素的权重3D : 评价向量 dj ： 评价向量中的第 j 项 G : 社会的最大效益 E ： 为经济效率量度 F ： 公平性度量 w1 ： E 效益值的权重系数 w2 ： F 效益值的权重系数 N1 ： 能支付起学费的学生数 N2 ： 为总招收人数 N3 ： 为总招收人数中具有最强学习能力的人三、模型的建立3.13.1 概述概述我国现行的大学学费标准是依据高校

7、年日常运行费用生均值的 25%计算出来 的。同时国家，社会、学校对大学生都设有各项奖学金及资助措施！国家社会不 可能全额的去承担大学生高等教育的费用，个人及家庭也无法去全部承受，其间 就存在一个最合理的值，能让国家和社会在为大学生付费后能较大限度的获得收 益，并且在个人及家庭能够承受的学费的情况下让个人及家庭也能获得较大的收 益。则找到其中的各项制约因素，并建立他们之间的关系成为解决问题的重点。 我们认为 个人主观因素对整个过程的影响有：培养费用，政府经费，家庭收入、学校财力，社会捐赠 从社会包含经济效率和教育公平两方面的社会利益出发去验证能更完善模型3.23.2 模糊模型的建立模糊模型的建立

8、3.2.13.2.1 模型中对象确定对于求得大学学费标准的模型有很多种。如模糊模型，微分方程模型，MAS 仿真模型，层次分析模型也能对即定的收费方案进行合理的选择。各种方法各有 自身的优点，模型的选择可根据所拥有的数据特点、预测范围特点进行预测。由 于学费是一个相对不需要太精准的数值，所以我们可以把学费列成好多段， 如 ： 段 B1 : 学费为 4000 元4999 元 段 B2 : 学费为 5000 元5999 元 段 B3 : 学费为 6000 元6999 元 段 B4 : 学费为 7000 元7999 元4段 B5 : 学费为 8000 元8999 元 3.2.23.2.2 模型中性质的

9、确定由于能够找到影响学费选择的因素，有足够的数据来确定因素与学费段对应 的权值，所以我们能用模糊模型对各个学费段做出合理的评价，从而得出最佳的 收费标准。从中国的具体国情考虑，应该收多少学费才是相对最合适的会受到很 多因素的影响，其主要因素有政府经费、培养费用、家庭收入、学校财力及社会 捐赠等。 在此，我们的模糊模型就取定这五项作为大学收费合理性的评价指标。分别 把培养费用、政府经费、家庭收入、学校财力和社会捐赠用符号记为 A1，A2，A3，A4，A5。 而对应的学费段我们有在“模型建立” 部分提出的五个学费段即 B1，B2，B3，B4，B5。3.2.33.2.3 确立模糊矩阵如果记评价指标

10、Ai 在某一学费段 Bj 上的程度为 uij，则称以下矩阵为研究多 个评价指标 Ai 和多个学费段 Bj 间关系的模糊矩阵：U = ( )m*niju其中，m 为对象的个数，n 为性质的种数。 进一步，如果获得的权重向量 C 为：C = ( ci )1xm 表示各个评价指标在待选择方案中的不同的重要性，其中它的元素（又称为权 重系数）满足：ci 0而且，由于我们取到了影响学费的最主要的一些因素，则有：即所有的权重系数和为 1权重系 数 B1B2B3B4B5c1A1u11u12u13u14u15c2A2u21u22u23u24u25c3A3u31u32u33u34u35c4A4u41u42u43

11、u44u451 1 miic5表一 权重比例表中 uij 表示影响因素 Ai 对学费段 Bj 的程度，uij 的具体数值最好是从一次广 泛的市场调研与专家的审议后得到。 （市场调研方面是考虑到单个家庭经济状况， 而专家审议则是考虑到了社会的效益。 ）在建模过程中，由于时间原因，在针对建 模过程中要定量分析的学校专业的学费，我们所取定的 uij 的值则是由我们分析往 年的各项数据得到的。现在我们可以定义待选择方案的评价向量D=(dj)1xn，它满足：D=C*U （1）那么，评价向量的每一项的计算公式为：(j=1,2,3,n) （2）这一过程往往称为模糊线性加权变换。最后得出 di 的值，然后比较

12、各大小，得出其中 di 值最大的那个对应的第 i 个 方案，即为最后结果。3.33.3 基于基于 MASMAS 高校学费定价模型的建立高校学费定价模型的建立 3.3.13.3.1 模型前期分析前面通过模糊模型能够得出最优的学费方案。由于模糊模型中个人主观因素 对整个过程的影响较大，从而有必要通过其它模型来对结果进行验证。所以我们 从社会包含经济效率和教育公平两方面的社会利益出发，基于多智能体系统 （MultiAgent System,MAS）建立高校学费定价模型对高校收费进行研究。该模 型以学费对学生接受高等教育的影响为微观准则，以此为基础通过 MAS 仿真得到 高等教育对社会的以经济收益经济

13、收益和公平性公平性反映的社会收益社会收益。最后，实现了该仿真系 统，进行了仿真实验，并得到收费定价最优值与经济效率、教育公平的关系。 从社会整体的角度考虑，高等教育的投资收益率较高，有利于社会整体的发 展。从实质来讲投资的来源总的来分有居民储蓄和政府投资。 （为使问题直观，把 学校和社会的投资都归于政府投资） 一方面，由于居民储蓄投资会使得一部分成绩好的学生国为没钱交学费而失 去了接受高等教育的机会，产生不公平性；另一方面，由于居民储蓄的很大一部c5A5u51u52u53u54u55 miijiucdj16分并不用于再投资生产。3.3.23.3.2 模型的建立采用政府投资而不用居民储蓄投资的方

14、式来解决教育投资问题不利于提高当 前的经济效率。这两者投资额度的比例决定了整体的社会效益，而最大化社会效 益是国家高等教育的最终目标。因此，本模型的目标函数表达式为（3）其中，G 为整体的社会效益； w1 和 w2 分别为两者效益值的权重系数； E 为经济效率量度； F 为公平性量度。 因为社会的发展对高等教育人口的需求为一定值，如果所有的高校学生都能 支付起学费则可以得到最的经济效率。因此，E 可以采用可以支付起学费的学生 比例数来衡量。见(4)式：E=N1/N2 （4） 其中，N1 为能支付起学费的学生数；N2 为总招收人数。 公平性的最大体现是具有最强学习能力的人进入了高校接受了高等教育

15、，因 此，F 可以采用接受高等教育的人数中在最前 N2 名占有的人数的比例来衡量。见 （5）式：F=N3/N2 （5）其中，N3 为总招收人数中具有最强学习能力的人。 总结以上， （3）式中的目标函数可以转化为max G=(w1*N1+w2*N3)/N2 （6）1=w2+w1F*w2+E*w1=GMax 7此目标函数即为求最大社会效益3.3.33.3.3 模型理论构架MAS 是指由多个 Agent 组成的系统。MAS 的优点表现在其核心思想“适应 性造就复杂性”, 体现为：(1)主体是主动的、活的实体。主体所具有的主动性、 适应性是系统进化的基本动因，而成为考察整体现象的出发点（2）把主体与系统 整体、宏观与考察整体现象联系起来。它通过主体与环境的相互作用，使得主体 的变化成为整个系统变化的基础，统一考察（3）引进了随机因素的作用，具有更 强的描述和表达能力。 主体方面，根据“输入 规则处理 输出”模式，对于外界环境及其他 主体的刺激，主体根据自身的规则来做出其反应；整体方面，通过运行结果数据， 对整体加以考察。MAS 就在主体与整体之间起到联结作用。构架示意图由下图 1 所示：学费输入Agent 1Agent 3.