数学100个著名的初等数学难题

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2、中，白牛数是全体黑牛数的 1/3+1/4；黑牛数是全体花牛数 1/4+1/5；花牛数是全体棕牛数的 1/5+1/6；棕牛数是全体白牛数的 1/6+1/7。问这牛群是怎样组成的？第 02 题德梅齐里亚克的法码问题 The Weight Problem of Bachet de Meziriac一位商人有一个 40 磅的砝码，由于跌落在地而碎成 4 块.后来，称得每块碎片的重量都是整磅数，而且可以用这 4 块来称从 1 至 40 磅之间的任意整数磅的重物。问这 4 块砝码碎片各重多少？第 03 题牛顿的草地与母牛问题 Newtons Problem of the Fields and Co

3、wsa 头母牛将 b 块地上的牧草在 c 天内吃完了；a头母牛将 b块地上的牧草在 c天内吃完了；a“头母牛将 b“块地上的牧草在 c“天内吃完了；求出从 a 到 c“9 个数量之间的关系？第 04 题贝韦克的七个 7 的问题 Berwicks Problem of the Seven Sevens在下面除法例题中，被除数被除数除尽：* * 7 * * * * * 7 * * * 7 * * * * * * * * * * * * * * * * 7 * * * * * * * 7 * * * * 7 * * * * * * * * * * * * * 7 * * * * * * * *

4、* * * *0用星号（*）标出的那些数位上的数字偶然被擦掉了，那些不见了的是些什么数字呢？第 05 题柯克曼的女学生问题 Kirkmans Schoolgirl Problem某寄宿学校有十五名女生，她们经常每天三人一行地散步，问要怎样安排才能使每个女生同其他每个女生同一行中散步，并恰好每周一次？第 06 题伯努利-欧拉关于装错信封的问题 The Bernoulli-Euler Problem of the Misa ddressed letters求 n 个元素的排列，要求在排列中没有一个元素处于它应当占有的位置。第 07 题欧拉关于多边形的剖分问题 Eulers Problem

5、of Polygon Division可以有多少种方法用对角线把一个 n 边多边形（平面凸多边形）剖分成三角形？第 08 题鲁卡斯的配偶夫妇问题 Lucas Problem of the Married Couplesn 对夫妇围圆桌而坐，其座次是两个妇人之间坐一个男人，而没有一个男人和自己的妻子并坐，问有多少种坐法？第 09 题卡亚姆的二项展开式 Omar Khayyams Binomial Expansion当 n 是任意正整数时，求以 a 和 b 的幂表示的二项式 a+b 的 n 次幂。第 10 题柯西的平均值定理 Cauchys Mean Theore求证 n 个正数的几何平均

6、值不大于这些数的算术平均值。第 11 题伯努利幂之和的问题 Bernoullis Power Sum Problem确定指数 p 为正整数时最初 n 个自然数的 p 次幂的和 S=1p+2p+3p+np。第 12 题欧拉数 The Euler Number求函数 (x)=(1+1/x)x 及 (x)=(1+1/x)x+1 当 x 无限增大时的极限值。第 13 题牛顿指数级数 Newtons Exponential Series将指数函数 ex 变换成各项为 x 的幂的级数。第 14 题麦凯特尔对数级数 Nicolaus Mercators Logarithmic Series不用对数表

7、，计算一个给定数的对数。第 15 题牛顿正弦及余弦级数 Newtons Sine and Cosine Series不用查表计算已知角的正弦及余弦三角函数。第 16 题正割与正切级数的安德烈推导法 Andres Derivation of the Secant and Tan gent Series在 n 个数 1，2，3，,n 的一个排列 c1，c2，cn 中，如果没有一个元素 ci 的值介于两个邻近的值 ci-1 和 ci+1 之间，则称 c1，c2，cn 为 1，2，3，,n 的一个屈折排列。试利用屈折排列推导正割与正切的级数。第 17 题格雷戈里的反正切级数 Gregorys

8、 Arc Tangent Series已知三条边，不用查表求三角形的各角。第 18 题德布封的针问题 Buffons Needle Problem在台面上画出一组间距为 d 的平行线，把长度为 l（小于 d）的一根针任意投掷在台面上，问针触及两平行线之一的概率如何？第 19 题费马-欧拉素数定理 The Fermat-Euler Prime Number Theorem每个可表示为 4n+1 形式的素数，只能用一种两数平方和的形式来表示。第 20 题费马方程 The Fermat Equation求方程 x2dy2=1 的整数解，其中 d 为非二次正整数。第 21 题费马-高斯不可能

9、性定理 The Fermat-Gauss Impossibility Theorem证明两个立方数的和不可能为一立方数。第 22 题二次互反律 The Quadratic Reciprocity Law（欧拉-勒让德-高斯定理）奇素数 p 与 q 的勒让德互反符号取决于公式（p/q）（q/p）=（1）(p-1)/2(q-1)/2第 23 题高斯的代数基本定理 Gauss Fundamental Theorem of Algebra每一个 n 次的方程 zn+c1zn-1+c2zn-2+cn=0 具有 n 个根。第 24 题斯图谟的根的个数问题 Sturms Problem of the

10、Number of Roots求实系数代数方程在已知区间上的实根的个数。第 25 题阿贝尔不可能性定理 Abels Impossibility Theorem高于四次的方程一般不可能有代数解法。第 26 题赫米特-林德曼超越性定理 The Hermite-Lindemann Transcedence Theorem系数 A 不等于零，指数为互不相等的代数数的表达式 A1e1+A2e2+A3e3+ 不可能等于零。第 27 题欧拉直线 Eulers Straight Line在所有三角形中，外接圆的圆心，各中线的交点和各高的交点在一直线欧拉线上，而且三点的分隔为：各高线的交点（垂心）至

11、各中线的交点（重心）的距离两倍于外接圆的圆心至各中线的交点的距离。第 28 题费尔巴哈圆 The Feuerbach Circle三角形中三边的三个中点、三个高的垂足和高的交点到各顶点的线段的三个中点在一个圆上。第 29 题卡斯蒂朗问题 Castillons Problem将各边通过三个已知点的一个三角形内接于一个已知圆。第 30 题马尔法蒂问题 Malfattis Problem在一个已知三角形内画三个圆，每个圆与其他两个圆以及三角形的两边相切。第 31 题蒙日问题 Monges Problem画一个圆，使其与三已知圆正交。第 32 题阿波洛尼斯相切问题 The Tangenc

12、y Problem of Apollonius画一个与三个已知圆相切的圆。第 33 题马索若尼圆规问题 Macheronis Compass Problem证明任何可用圆规和直尺所作的图均可只用圆规作出。第 34 题斯坦纳直尺问题 Steiners Straight-edge Problem证明任何一个可以用圆规和直尺作出的图，如果在平面内给出一个定圆，只用直尺便可作出。第 35 题德里安倍立方问题 The Deliaii Cube-doubling Problem画出体积为一已知立方体两倍的立方体的一边。第 36 题三等分一个角 Trisection of an Angle把一个角

13、分成三个相等的角。第 37 题正十七边形 The Regular Heptadecagon画一正十七边形。第 38 题阿基米德值确定法 Archimedes Determination of the Number Pi/color设圆的外切和内接正 2vn 边形的周长分别为 av 和 bv，便依次得到多边形周长的阿基米德数列：a0，b0，a1，b1，a2，b2，其中 av+1 是 av、bv 的调和中项，bv+1 是 bv、av+1 的等比中项。假如已知初始两项，利用这个规则便能计算出数列的所有项。这个方法叫作阿基米德算法。 color=blue第 39 题富斯弦切四边形问题 Fu

14、ss Problem of the Chord-Tangent Qua drilateral找出半径与双心四边形的外接圆和内切圆连心线之间的关系。（注：一个双心或弦切四边形的定义是既内接于一个圆而同时又外切于另一个圆的四边形）第 40 题测量附题 Annex to a Survey利用已知点的方位来确定地球表面未知但可到达的点的位置。第 41 题阿尔哈森弹子问题 Alhazens Billiard Problem在一个已知圆内，作出一个其两腰通过圆内两个已知点的等腰三角形。第 42 题由共轭半径作椭圆 An Ellipse from Conjugate Radii已知两个共轭半径的大

15、小和位置，作椭圆。第 43 题在平行四边形内作椭圆 An Ellipse in a Parallelogram在规定的平行四边形内作一内切椭圆，它与该平行四边形切于一边界点。第 44 题由四条切线作抛物线 A Parabola from Four Tangents已知抛物线的四条切线，作抛物线。第 45 题由四点作抛物线 A Parabola from Four Points过四个已知点作抛物线。第 46 题由四点作双曲线 A Hyperbola from Four Points已知直角（等轴）双曲线上四点，作出这条双曲线。第 47 题范施古登轨迹题 Van Schootens Lo

16、cus Problem平面上的固定三角形的两个顶点沿平面上一个角的两个边滑动，第三个顶点的轨迹是什么？第 48 题卡丹旋轮问题 Cardans Spur Wheel Problem一个圆盘沿着半径为其两倍的另一个圆盘的内缘滚动时，这个圆盘上标定的一点所描出的轨迹是什么？第 49 题牛顿椭圆问题 Newtons Ellipse Problem确定内切于一个已知（凸）四边形的所有椭圆的中心的轨迹。第 50 题彭赛列-布里昂匈双曲线问题 The Poncelet-Brianchon Hyperbola Problem确定内接于直角（等边）双曲线的所有三角形的顶垂线交点的轨迹。第 51 题作为包络的抛物线 A Parabola

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