《数学部分第四讲带余数的除法》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数学部分第四讲带余数的除法（7页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第四讲 带余数的除法前面我们讲到除法中被除数和除数的整除问题。除此之外，例如：163=51，即 16=531，此时，被除数除以除数出现了余数，我们称之为带余数的除法。一般地，如果 a 是整数，b 是整数（b0） ，那么一定有另外两个整数 q 和 r，0rb，使得 a=bqr.当 r=0 时，我们称 a 能被 b 整除。当 r0 时，我们称 a 不能被 b 整除，r 为 a 除以 b 的余数，q 为 a 除以 b 的不完全商（亦简称为商） 。 用带余除式又可以表示为 ab=qr，0rb.一例题例 1：一个两位数去除 251，得到的余数是 41，求这个两位数。分析 这是一道带余数的除法题，且要求的
2、数是大于 41 的两位数，解题可从带余除式入手分析。解： 被除数除数=商余数，即 被除数=除数商余数， 251=除数商41，25141=除数商， 210=除数商。 210=2357， 210 的两位数的约数有10、14、15、21、30、35、42、70，其中 42 和 70 大于 41。所以除数是 42 或 70，即要求的两位数是 42 或 70。例 2：用一个自然去除另一个整数，商 40，余数是 16。被除数、除数、商与余数的和是 933，求被除数和除数各是多少。解： 被除数=除数商余数，即 被除数=除数4016。由题意可知：被除数除数=9334016=877， （除数4016）除数=87
3、7， 除数41=87716=861，除数=86141=21。 被除数=214016=856。答：被除数是 856，除数是 21。例 3：某年的十月里有 5 个星期六，4 个星期日，问这年的10 月 1 日是星期几？解：十月份共有 31 天，每周共有 7 天。 31=743， 根据题意可知：有 5 天的星期数必然是星期四、星期五和星期六。 这年的 10 月 1 日是星期四。例 4：3 月 18 日是星期日，从 3 月 17 日作为第一天开始往回数（即 3 月 16 日第二天，3 月 15 日第三天）的第 1993 天是星期几？解：每周有 7 天，19937=284（周）5（天）从星期日往回数 5
4、 天是星期二，所以第 1993 天必是星期二。例 5：一个数除以 3 余 2，除以 5 余 3，除以 7 余 2，求适合此条件的最小数。这是一道古算题，它早在孙子算经中有记载：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何”关于这道题的解法，在明朝就流传一首解题之歌：“三人同行七十稀，五树梅共廿一枝，七子团圆正半月，除百零五便得知。”意思是，用除以 3 的余数乘以 70，用除以 5 的余数乘以 21，用除以 7 的余数乘以 15，再把三个乘积相加。如果这三个数的和大于 105，那么就减去 105，直至小于 105 为止。这样就可以得到满足条件的解。其解法如下：方法一：27
5、0321215=2332331052=23符合条件的最小自然数是 23。例 5 的解答方法不仅就这一种，还可以这样解：方法二：3，72=2323 除以 5 恰好余 3。所以，符合条件的最小自然数是 23。方法 2 的思路是什么呢？让我们再来看下面两道例题。例 6：一个数除以 5 余 3，除以 6 余 4，除以 7 余 1，求适合条件的最小自然数。分析 “除以 5 余 3”即“加 2 后被 5 整除” ，同样“除以 6余 4”即“加 2 后被 6 整除” 。解：5，62=28，即 28 适合前两个条件。想：285，6？之后能满足“被 7 除余 1”的条件？285，64=148，148=2171，
6、又 148210=5，6，7所以，适合条件的最小自然数是 148。例 7：一个数除以 3 余 2，除以 5 余 3，除以 7 余 4，求符合条件的最小自然数。解：想 23？之后能满足“被 5 除余 3”的条件？232=8。再想：83，5？之后能满足“被 7 除余 4”的条件？83，53=53。所以，符合条件的最小的自然数是 53。归纳以上两例题的解法为：逐步满足条件法。当找到满足某个条件的数后，为了再满足另一个条件，需做数的调整，调整时注意要加上已满足条件中除数的倍数。解这类题目还有其他方法，将会在有关“同余”部分讲到。例 8：一个布袋中装有小球若干个。如果每次取 3 个，最后剩 1 个；如果
7、每次取 5 个或 7 个，最后都剩 2 个。布袋中至少有小球多少个？解：25，71=37（个） 37 除以 3 余 1，除以 5 余 2，除以 7 余 2， 布袋中至少有小球 37 个。例 9：69、90 和 125 被某个自然数 N 除时，余数相同，试求N 的最大值。分析 在解答此题之前，我们先来看下面的例子：15 除以 2 余 1，19 除以 2 余 1，即 15 和 19 被 2 除余数相同（余数都是 1） 。但是，1915 能被 2 整除。由此我们可以得到这样的结论：如果两个整数 a 和 b，被自然数 m 除的余数相同，那么这两个数之差（大小）一定能被 m整除。反之，如果两个整数之差恰
8、被 m 整除，那么这两个整数被 m除的余数一定相同。例 9 可做如下解答： 三个整数被 N 除余数相同， N（9069） ，即 N21；N（12590） ，即N35； N 是 21 和 35 的公约数。 要求 N 的最大值， N 是 21 和 35 的最大公约数。 21 和 35 的最大公约数是 7， N 最大是 7。习 题 四1用一个自然数去除另一个自然数，不完全商是 8，余数是16。被除数、除数、商、余数这四个数的和为 463，求除数。2某数除以 3 余 1，除以 4 余 2，除以 5 余 3，除以 6 余 4，这个数最小是多少？3某数除以 8 余 3，除以 9 余 4，除以 12 余 7。在 1000 以内这样的数有哪几个？4用卡车运货，每次运 9 袋余 1 袋，每次运 8 袋余 3 袋，每次运 7 袋余 2 袋。这批货至少有多少袋？557、96、148 被某自然数除，余数相同，且不为 0。求 284被这个自然数除的余数。
