《数学部分第7章 微分方程--基础》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数学部分第7章 微分方程--基础（6页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1第七章第七章 微分方程微分方程内容提要：内容提要： 一、一、微分方程的概念微分方程的概念1微分方程：微分方程：0),()(nyyyxFL2微分方程的阶微分方程的阶3微分方程的解微分方程的解隐式解隐式解)(xfy 0),(yxf4微分方程的通解微分方程的通解与隐式通解与隐式通解cxfy)(0),(cyxf5微分方程的特解微分方程的特解6微分方程的初值问题微分方程的初值问题7微分方程的积分曲线微分方程的积分曲线8增根与失根问题：（奇解：不能从通解中得到的解）增根与失根问题：（奇解：不能从通解中得到的解）例例 1求微分方程的通解求微分方程的通解 。 xdx ydy解：解：。kx，ycxy，xdx
2、ydy显式通解隐式通解;|ln|ln增根：原方程解的曲线不过原点增根：原方程解的曲线不过原点例例 2解方程解方程。解：。解：JCP306，通解为：，通解为：； dxdyxydxdyxy22cxyy |ln失根：实际上微分方程的解包括失根：实际上微分方程的解包括或说积分曲线过原点。或说积分曲线过原点。)0 , 0(建议：注意题目是建议：注意题目是 解方程解方程 还是还是 求方程的通解求方程的通解二、二、一阶微分方程一阶微分方程1 可分离变量方程：可分离变量方程： 例例 。dxxfdyyg)()(yxdxdy解：拆不成就捆令解：拆不成就捆令成可分离了成可分离了1,1 ,udxdu dxdu dxd
3、yuyx注意倒过来的情况：注意倒过来的情况：-JCP313 yxdxdy 12 齐次方程：齐次方程： uxyxy dxdy ),(令3 一阶线性方程：一阶线性方程：)()(xQyxPy其解：其解：CdxexQeydxxPdxxP)()()(建议：建议： dxxPexACdxxAxQxAy)()(,)()()(例例即：即： 注意倒过来的情况：注意倒过来的情况：，即，即yxdxdyxyy yxdxdy 1yxx4*贝努利方程贝努利方程 ) 1 , 0()()(nyxQyxPyn解法：令解法：令 变为变为nyz1)()1 ()()1 (xQnzxPnz25*全微分方程全微分方程 满足满足 0),()
4、,(dyyxQdxyxPxyQP例：例： 解解 1：齐次方程；解：齐次方程；解 2：凑微分法；解：凑微分法；解 3：拆微分法；：拆微分法；0)()(dyyxdxyx三、三、*可降阶的微分方程：直接积分型；不显含可降阶的微分方程：直接积分型；不显含 Y 型；不显含型；不显含 X 型型1.1.型的微分方程型的微分方程( )yf x 特点：右端仅含特点：右端仅含. .x解法：积分两次解法：积分两次. .2.2.型的微分方程型的微分方程( ,)yf x y特点：右端不显含未知函数特点：右端不显含未知函数. .y解法：换元，化为一阶方程求解解法：换元，化为一阶方程求解. . 步骤如下：步骤如下： 令令，
5、则，则，方程化为，方程化为yp dpypdx( , )pf x p （这是关于变量（这是关于变量，的一阶方程）的一阶方程） ；xp 解出解出；p 再由再由解出解出. .yp y例题例题 1 1 求微分方程求微分方程的通解的通解. . （JCP323T1-5JCP323T1-5）xyy 3.3.型的微分方程型的微分方程( ,)yf y y特点：右端不显含特点：右端不显含. .x解法：换元，化为一阶方程求解解法：换元，化为一阶方程求解. . 步骤如下：步骤如下： 令令，则，则，方程化为，方程化为yp dpdp dydpypdxdy dxdy ( , )dppf y pdy（这是关于变量（这是关于变
6、量，的一阶方程）的一阶方程） ；yp 解出解出；p 再由再由解出解出. .yp y例题例题 2 2 求微分方程求微分方程的通解的通解. .（JCP323T1-10JCP323T1-10）yyy 3)(练习题练习题1.1.微分方程微分方程的通解为的通解为 . . 【】03 yyx 22 1xCCy2.2.求初值问题求初值问题的解的解. . 【】2(1)2,(0)1,(0)3xyxyyy 22yxx3.3.解方程解方程. . 【】20yyy1 2C xyC e4.4.求初值问题求初值问题的解的解. . 【】0) 1 (, 1) 1 (,12 yyyyy)(2111xxeey5.5.求微分方程求微分
7、方程满足初始条件满足初始条件的特解的特解. . 【07-2【07-2，】2()y xyy(1)(1)1yy3 221 33yx3四、四、高阶线性微分方程解的结构高阶线性微分方程解的结构1齐次的：齐次的：0)()( yxQyxPy结论结论 1：如果：如果与与是方程的两个解，则是方程的两个解，则也是其解也是其解)(1xy)(2xy)()(2211xyCxyCy结论结论 2：如果：如果与与是方程的两个无关的解，则是方程的两个无关的解，则是方程的通解是方程的通解)(1xy)(2xy)()(2211xyCxyCy推论：如果推论：如果是齐次方程是齐次方程)()(1x，y，xynL的的 N 个无关的解，则其
8、通解为个无关的解，则其通解为0)()()(1)1( 1)(yxayxayxaynnnnL)()()(2211xyCxyCxyCynnL2 非齐次的：非齐次的：)()()(xfyxQyxPy 结论结论 1：设：设是方程是方程的一个特解，的一个特解，则是对应的齐次方程的通解，则是对应的齐次方程的通解，)(* xy)()()(xfyxQyxPy )(xY则则是非齐次的通解是非齐次的通解)(*)(xyxYy结论结论 2：如果非齐次方程为：如果非齐次方程为而而与与分别是方程分别是方程)()()()(21xfxfyxQyxPy )(*1xy)(*2xy和和的特解，则的特解，则是原方是原方)()()(1xf
9、yxQyxPy )()()(2xfyxQyxPy )(*1xy)(*2xy程的特解程的特解五、五、二阶常系数线性微分方程二阶常系数线性微分方程1常系数齐次线性微分方程常系数齐次线性微分方程0 0)()( qyypyyxQyxPy特征方程特征方程的两个根的两个根02qprr21,rr微分方程微分方程的通解的通解0 qyypy两个不相等的实根两个不相等的实根21,rr两个不相等的实根两个不相等的实根21rr 一对共轭复根一对共轭复根i，r21，xrxreCeCy21 21 ，xrexCCy1)(21)sincos(21xCxCeyx例例 1：；例；例 2： ；例；例 3：，065 yyy044 y
10、yy052 yyyi，r21212 常系数非齐次线性微分方程（简单的）常系数非齐次线性微分方程（简单的）)( xfqyypy 特解的求法：特解的求法：待定系数法， （常数变易法，微分算子法）结论结论 1：如果：如果，则方程有形如，则方程有形如的特解，的特解，x mexPxf)()(x mkexQxy)(* 是特征方程的重根是特征方程的单根不是特征方程的根，k 21, 0例 1： 例 2： 例 3xeyyy22 xxeyyy 323 xexyyy3) 1(96 解 1：不是特征方程的根，故12/12, 11, 0122rrrrxCey *代入原方程得 C=1解 2：是特征方程的单根，122, 1
11、1, 0232rrrr故 ，代入原方程得xeBAxxy)(*3, 2/3BA解解 3：是特征方程是特征方程的重根，的重根， 故故3321, 0962rrrrxeBAxxy32)(*代入原方程得代入原方程得2/1, 6/1BA4结论结论 2：如果：如果，则方程有形如，则方程有形如xxPxxPexfnlxsin)(cos)()(xxRxxRexymmxksin)(cos)(*21的特解，的特解， 是特征方程的单根不是特征方程的根 )( , 1)( 0 iiii，k,max nlm 次多项式是mxRxRmm)(),(21例例 4： 例例 5xeyyyx2sin52 xxyycos4 解解 4：是特征
12、方程是特征方程的单根，故的单根，故代入代入ii21irrr212 , 1, 0522xBxAxeyx2sin2cos*原方程得原方程得即：即：0, 4/1BA4/ )2cos(*xxeyx解解 5：不是特征方程不是特征方程的单根，故的单根，故iiirr22 , 1, 042xDCxxBAxysin)(cos)(*代入原方程得代入原方程得即：即：9/2, 0, 0, 3/1DCBAxxxysin92cos31*六、六、微分方程的简单应用微分方程的简单应用1几何中的应用几何中的应用 2*力学中的应用力学中的应用例例 1 一质量均匀的链条挂在一无摩擦的钉子上，运动开始时，链条的一边下垂一质量均匀的链
13、条挂在一无摩擦的钉子上，运动开始时，链条的一边下垂 8 米，另一边下垂米，另一边下垂 10 米，米，试问整个链条滑过钉子需多长时间？试问整个链条滑过钉子需多长时间？解：设链条的线密度为解：设链条的线密度为，经过，经过 时间下滑了时间下滑了米，由牛顿第二定律，得米，由牛顿第二定律，得tx，gxgxdtxdm)8()10(22 18m0)0(, 0)0(xx即：即：解得解得，令，令，则，则 0)0(, 0)0(99 xxgxgx1)(21)(31 31 gtgteetx8x)809ln(3gt3 经济应用经济应用第七讲第七讲 微分方程微分方程-题型题型一、解与通解问题一、解与通解问题例例 ，通解，
14、通解，不包括，不包括2ydxdycxy10y二、一阶线性方程：二、一阶线性方程：其解：其解：)()(xQyxPyCdxexQeydxxPdxxP)()()(例例 1设设可导，且可导，且，求，求)(xf1)(21)(10xfduuxf)(xf解：将原方程两边乘以解：将原方程两边乘以 X，得，得对左端积分令对左端积分令 xxxfxduuxf)(21)(10tux 5，求导得：，求导得：xxxfdttfx)(21)(01)()(21)(xf xxfxf即：即：通解：通解： xxfxxf2)(1)(2)( Cxxf例例 2求解微分方程求解微分方程1)2sincos(yyxy解：解：，yxyxyyxxyyxy2sin)(cos ,2sincos ,2sincos1对应的齐次方程：对应的齐次方
