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1、1第七章第七章 微分方程微分方程内容提要:内容提要: 一、一、微分方程的概念微分方程的概念1微分方程:微分方程:0),()(nyyyxFL2微分方程的阶微分方程的阶3微分方程的解微分方程的解隐式解隐式解)(xfy 0),(yxf4微分方程的通解微分方程的通解与隐式通解与隐式通解cxfy)(0),(cyxf5微分方程的特解微分方程的特解6微分方程的初值问题微分方程的初值问题7微分方程的积分曲线微分方程的积分曲线8增根与失根问题:(奇解:不能从通解中得到的解)增根与失根问题:(奇解:不能从通解中得到的解)例例 1求微分方程的通解求微分方程的通解 。 xdx ydy解:解:。kx,ycxy,xdx
2、ydy显式通解隐式通解;|ln|ln增根:原方程解的曲线不过原点增根:原方程解的曲线不过原点例例 2解方程解方程。解:。解:JCP306,通解为:,通解为:; dxdyxydxdyxy22cxyy |ln失根:实际上微分方程的解包括失根:实际上微分方程的解包括或说积分曲线过原点。或说积分曲线过原点。)0 , 0(建议:注意题目是建议:注意题目是 解方程解方程 还是还是 求方程的通解求方程的通解二、二、一阶微分方程一阶微分方程1 可分离变量方程:可分离变量方程: 例例 。dxxfdyyg)()(yxdxdy解:拆不成就捆令解:拆不成就捆令成可分离了成可分离了1,1 ,udxdu dxdu dxd
3、yuyx注意倒过来的情况:注意倒过来的情况:-JCP313 yxdxdy 12 齐次方程:齐次方程: uxyxy dxdy ),(令3 一阶线性方程:一阶线性方程:)()(xQyxPy其解:其解:CdxexQeydxxPdxxP)()()(建议:建议: dxxPexACdxxAxQxAy)()(,)()()(例例即:即: 注意倒过来的情况:注意倒过来的情况:,即,即yxdxdyxyy yxdxdy 1yxx4*贝努利方程贝努利方程 ) 1 , 0()()(nyxQyxPyn解法:令解法:令 变为变为nyz1)()1 ()()1 (xQnzxPnz25*全微分方程全微分方程 满足满足 0),()
4、,(dyyxQdxyxPxyQP例:例: 解解 1:齐次方程;解:齐次方程;解 2:凑微分法;解:凑微分法;解 3:拆微分法;:拆微分法;0)()(dyyxdxyx三、三、*可降阶的微分方程:直接积分型;不显含可降阶的微分方程:直接积分型;不显含 Y 型;不显含型;不显含 X 型型1.1.型的微分方程型的微分方程( )yf x 特点:右端仅含特点:右端仅含. .x解法:积分两次解法:积分两次. .2.2.型的微分方程型的微分方程( ,)yf x y特点:右端不显含未知函数特点:右端不显含未知函数. .y解法:换元,化为一阶方程求解解法:换元,化为一阶方程求解. . 步骤如下:步骤如下: 令令,
5、则,则,方程化为,方程化为yp dpypdx( , )pf x p (这是关于变量(这是关于变量,的一阶方程)的一阶方程) ;xp 解出解出;p 再由再由解出解出. .yp y例题例题 1 1 求微分方程求微分方程的通解的通解. . (JCP323T1-5JCP323T1-5)xyy 3.3.型的微分方程型的微分方程( ,)yf y y特点:右端不显含特点:右端不显含. .x解法:换元,化为一阶方程求解解法:换元,化为一阶方程求解. . 步骤如下:步骤如下: 令令,则,则,方程化为,方程化为yp dpdp dydpypdxdy dxdy ( , )dppf y pdy(这是关于变量(这是关于变
6、量,的一阶方程)的一阶方程) ;yp 解出解出;p 再由再由解出解出. .yp y例题例题 2 2 求微分方程求微分方程的通解的通解. .(JCP323T1-10JCP323T1-10)yyy 3)(练习题练习题1.1.微分方程微分方程的通解为的通解为 . . 【】03 yyx 22 1xCCy2.2.求初值问题求初值问题的解的解. . 【】2(1)2,(0)1,(0)3xyxyyy 22yxx3.3.解方程解方程. . 【】20yyy1 2C xyC e4.4.求初值问题求初值问题的解的解. . 【】0) 1 (, 1) 1 (,12 yyyyy)(2111xxeey5.5.求微分方程求微分
7、方程满足初始条件满足初始条件的特解的特解. . 【07-2【07-2,】2()y xyy(1)(1)1yy3 221 33yx3四、四、高阶线性微分方程解的结构高阶线性微分方程解的结构1齐次的:齐次的:0)()( yxQyxPy结论结论 1:如果:如果与与是方程的两个解,则是方程的两个解,则也是其解也是其解)(1xy)(2xy)()(2211xyCxyCy结论结论 2:如果:如果与与是方程的两个无关的解,则是方程的两个无关的解,则是方程的通解是方程的通解)(1xy)(2xy)()(2211xyCxyCy推论:如果推论:如果是齐次方程是齐次方程)()(1x,y,xynL的的 N 个无关的解,则其
8、通解为个无关的解,则其通解为0)()()(1)1( 1)(yxayxayxaynnnnL)()()(2211xyCxyCxyCynnL2 非齐次的:非齐次的:)()()(xfyxQyxPy 结论结论 1:设:设是方程是方程的一个特解,的一个特解,则是对应的齐次方程的通解,则是对应的齐次方程的通解,)(* xy)()()(xfyxQyxPy )(xY则则是非齐次的通解是非齐次的通解)(*)(xyxYy结论结论 2:如果非齐次方程为:如果非齐次方程为而而与与分别是方程分别是方程)()()()(21xfxfyxQyxPy )(*1xy)(*2xy和和的特解,则的特解,则是原方是原方)()()(1xf
9、yxQyxPy )()()(2xfyxQyxPy )(*1xy)(*2xy程的特解程的特解五、五、二阶常系数线性微分方程二阶常系数线性微分方程1常系数齐次线性微分方程常系数齐次线性微分方程0 0)()( qyypyyxQyxPy特征方程特征方程的两个根的两个根02qprr21,rr微分方程微分方程的通解的通解0 qyypy两个不相等的实根两个不相等的实根21,rr两个不相等的实根两个不相等的实根21rr 一对共轭复根一对共轭复根i,r21,xrxreCeCy21 21 ,xrexCCy1)(21)sincos(21xCxCeyx例例 1:;例;例 2: ;例;例 3:,065 yyy044 y
10、yy052 yyyi,r21212 常系数非齐次线性微分方程(简单的)常系数非齐次线性微分方程(简单的))( xfqyypy 特解的求法:特解的求法:待定系数法, (常数变易法,微分算子法)结论结论 1:如果:如果,则方程有形如,则方程有形如的特解,的特解,x mexPxf)()(x mkexQxy)(* 是特征方程的重根是特征方程的单根不是特征方程的根,k 21, 0例 1: 例 2: 例 3xeyyy22 xxeyyy 323 xexyyy3) 1(96 解 1:不是特征方程的根,故12/12, 11, 0122rrrrxCey *代入原方程得 C=1解 2:是特征方程的单根,122, 1
11、1, 0232rrrr故 ,代入原方程得xeBAxxy)(*3, 2/3BA解解 3:是特征方程是特征方程的重根,的重根, 故故3321, 0962rrrrxeBAxxy32)(*代入原方程得代入原方程得2/1, 6/1BA4结论结论 2:如果:如果,则方程有形如,则方程有形如xxPxxPexfnlxsin)(cos)()(xxRxxRexymmxksin)(cos)(*21的特解,的特解, 是特征方程的单根不是特征方程的根 )( , 1)( 0 iiii,k,max nlm 次多项式是mxRxRmm)(),(21例例 4: 例例 5xeyyyx2sin52 xxyycos4 解解 4:是特征
12、方程是特征方程的单根,故的单根,故代入代入ii21irrr212 , 1, 0522xBxAxeyx2sin2cos*原方程得原方程得即:即:0, 4/1BA4/ )2cos(*xxeyx解解 5:不是特征方程不是特征方程的单根,故的单根,故iiirr22 , 1, 042xDCxxBAxysin)(cos)(*代入原方程得代入原方程得即:即:9/2, 0, 0, 3/1DCBAxxxysin92cos31*六、六、微分方程的简单应用微分方程的简单应用1几何中的应用几何中的应用 2*力学中的应用力学中的应用例例 1 一质量均匀的链条挂在一无摩擦的钉子上,运动开始时,链条的一边下垂一质量均匀的链
13、条挂在一无摩擦的钉子上,运动开始时,链条的一边下垂 8 米,另一边下垂米,另一边下垂 10 米,米,试问整个链条滑过钉子需多长时间?试问整个链条滑过钉子需多长时间?解:设链条的线密度为解:设链条的线密度为,经过,经过 时间下滑了时间下滑了米,由牛顿第二定律,得米,由牛顿第二定律,得tx,gxgxdtxdm)8()10(22 18m0)0(, 0)0(xx即:即:解得解得,令,令,则,则 0)0(, 0)0(99 xxgxgx1)(21)(31 31 gtgteetx8x)809ln(3gt3 经济应用经济应用第七讲第七讲 微分方程微分方程-题型题型一、解与通解问题一、解与通解问题例例 ,通解,
14、通解,不包括,不包括2ydxdycxy10y二、一阶线性方程:二、一阶线性方程:其解:其解:)()(xQyxPyCdxexQeydxxPdxxP)()()(例例 1设设可导,且可导,且,求,求)(xf1)(21)(10xfduuxf)(xf解:将原方程两边乘以解:将原方程两边乘以 X,得,得对左端积分令对左端积分令 xxxfxduuxf)(21)(10tux 5,求导得:,求导得:xxxfdttfx)(21)(01)()(21)(xf xxfxf即:即:通解:通解: xxfxxf2)(1)(2)( Cxxf例例 2求解微分方程求解微分方程1)2sincos(yyxy解:解:,yxyxyyxxyyxy2sin)(cos ,2sincos ,2sincos1对应的齐次方程:对应的齐次方