《抛物线及其几何性质2013》由会员分享，可在线阅读，更多相关《抛物线及其几何性质2013（7页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、抛物线及其几何性质 12013安徽卷 已知直线 ya 交抛物线 yx2于 A，B 两点若该抛物线上存在 点 C，使得ACB 为直角，则 a 的取值范围为_ 22013福建卷 如图 15 所示，在正方形 OABC 中，O 为坐标原点，点 A 的坐标为 (10，0)，点 C 的坐标为(0，10)分别将线段 OA 和 AB 十等分，分点分别记为 A1，A2， A9和 B1，B2，B9，联结 OBi，过 Ai作 x 轴的垂线与 OBi交于点 Pi(iN N* *，1i9) (1)求证：点 Pi(iN N* *，1i9)都在同一条抛物线上，并求该抛物线 E 的方程； (2)过点 C 作直线 l 与抛物线
2、 E 交于不同的两点 M，N，若OCM 与OCN 的面积比为41， 求直线 l 的方程32013山东卷 抛物线 C1：yx2(p0)的焦点与双曲线 C2：y21 的右焦点的12px23 连线交 C1于第一象限的点 M.若 C1在点 M 处的切线平行于 C2的一条渐近线，则 p( )A. B. C. D.316382 334 3342013陕西卷 已知动圆过定点 A(4，0)，且在 y 轴上截得弦 MN 的长为 8. (1)求动圆圆心的轨迹 C 的方程； (2)已知点 B(1，0)，设不垂直于 x 轴的直线 l 与轨迹 C 交于不同的两点 P，Q，若 x 轴是PBQ 的角平分线，证明直线 l 过
3、定点52013四川卷 抛物线 y24x 的焦点到双曲线 x21 的渐近线的距离是( )y2 3A. B. C1 D.1 232362013天津卷 已知双曲线1(a0，b0)的两条渐近线与抛物线x2 a2y2 b2y22px(p0)的准线分别交于 A，B 两点，O 为坐标原点若双曲线的离心率为 2，AOB 的面积为，则 p( )3A1 B. C2 D33 272013新课标全国卷 设抛物线 C：y22px(p0)的焦点为 F，点 M 在 C 上， |MF|5.若以 MF 为直径的圆过点(0，2)，则 C 的方程为( ) Ay24x 或 y28x By22x 或 y28xCy24x 或 y216x
4、 Dy22x 或 y216x82013全国卷 已知抛物线 C：y28x 与点 M(2，2)，过 C 的焦点且斜率为 k的直线与 C 交于 A，B 两点若MB0，则 k( )MAA. B. 1 222C. D22图 17 92013辽宁卷 如图，抛物线 C1：x24y，C2：x22py(p0)点 M(x0，y0)在 抛物线 C2上，过 M 作 C1的切线，切点为 A，B(M 为原点 O 时，A，B 重合于 O)当 x01时，切线 MA 的斜率为 .21 2(1)求 p 的值； (2)当 M 在 C2上运动时，求线段 AB 中点 N 的轨迹方程(A，B 重合于 O 时，中点为 O)102013浙江
5、卷 设 F 为抛物线 C：y24x 的焦点，过点 P(1，0)的直线 l 交抛 物线 C 于 A，B 两点，点 Q 为线段 AB 的中点若|FQ|2，则直线 l 的斜率等于_ 112013湖南卷 过抛物线 E：x22py(p0)的焦点 F 作斜率分别为 k1，k2的两条 不同直线 l1，l2，且 k1k22.l1与 E 相交于点 A，B ，l2与 E 相交于点 C，D 以 AB，CD 为直径的圆 M，圆 N(M，N 为圆心)的公共弦所在直线记为 l.(1)若 k10，k20，证明：0，所以 a1.a方法二：设 C(m，m2)，由已知可令 A(，a)，B(，a)，则(m，m2a)，aaACa(m
6、，m2a)，因为，所以 m2am42am2a20，可得(m2a)(m21a)BCaACBC0，解得 m2a0 且 m2a10，故 a1，) 图 152解：(1)方法一：依题意，过 Ai(iN N* *，1i9)且与 x 轴垂直的直线方程为xi，Bi的坐标为(10，i)，所以直线 OBi的方程为 yx.i 10设 Pi的坐标为(x，y)，由xi，yi 10x，)得 yx2，即 x210y.1 10所以点 Pi(iN N* *，1i9)都在同一条抛物线上，且抛物线 E 的方程为 x210y. 方法二：点 Pi(iN N* *，1i9)都在抛物线 E：x210y 上 证明如下：过 Ai(iN N*
7、*，1i9)且与 x 轴垂直的直线方程为 xi，Bi的坐标为(10，i)，所以直线 OBi的方程为 yx.由解得 Pi的坐标为i 10xi，yi 10x)，(i，i2 10) 因为点 Pi的坐标都满足方程 x210y， 所以点 Pi(iN N* *，1i9)都在同一条抛物线上，且抛物线 E 的方程为 x210y. (2)依题意，直线 l 的斜率存在，设直线 l 的方程为 ykx10.由ykx10， x210y，)得 x210kx1000. 此时 100k24000，直线 l 与抛物线 E 恒有两个不同的交点 M，N.设 M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1x210k， x1x2100，)
8、因为 SOCM4SOCN，所以|x1|4|x2|. 又 x1x2 0)(0，p 2)x2 3焦点坐标为，连线的方程为 y，联立 得(2，0)p 4(x2)yp4（x2），y1 2px2)2x2p2x2p20.设点 M 的横坐标为 a，则在点 M 处切线的斜率为y|xaError!) .又双曲线y21 的渐近线方程为y0，其与(1 2px2)xaa px2 3x3切线平行， ，即 ap，代入 2x2p2x2p20 得，p或 p0(舍去)a p33334 334解：(1)如图所示，设动圆圆心 O1(x，y)，由题意， |O1A|O1M|， 当 O1不在 y 轴上时， 过 O1作 O1HMN 交 M
9、N 于 H，则 H 是 MN 的中点， |O1M|，又|O1A|，x242（x4）2y2.（x4）2y2x242化简得 y28x(x0) 又当 O1在 y 轴上时，O1与 O 重合，点 O1的坐标(0，0)也满足方程 y28x， 动圆圆心的轨迹 C 的方程为 y28x. (2)由题意，设直线 l 的方程为 ykxb(k0)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)， 将 ykxb 代入 y28x 中， 得 k2x2(2bk8)xb20， 其中 32kb640.由求根公式得，x1x2，82bk k2x1x2.b2 k2因为 x 轴是PBQ 的角平分线，所以.y1 x11y2 x21即 y1(x21)y
10、2(x11)0， (kx1b)(x21)(kx2b)(x11)0， 2kx1x2(bk)(x1x2)2b0， 将，代入得 2kb2(kb)(82bk)2k2b0， kb，此时 0， 直线 l 的方程为 yk(x1)， 即直线 l 过定点(1，0)5B 解析 抛物线 y24x 的焦点坐标为 F(1，0)，双曲线 x21 的渐近线为y2 3xy0，故点 F 到xy0 的距离 d.33| 3|13326C 解析 双曲线的离心率 e 2，解得 ，联立得c aa2b2ab a3ybax，xp2，)y.又因为 SOAB ，将 代入解得 p2.bp 2ap 2bp 2a3b a37C 解析 抛物线焦点为 F
11、 ，0 ，由抛物线的定义，设 M5 ，设 N 点坐p 2p 22p5p2标为(0，2)因为圆过点 N(0，2)，故 NFNM1，2p22p5p225p2设t，则式可化为 t24 t80t2 p210p160p2 或p5p222p8 .8D 解析 抛物线的焦点坐标为(2，0)，设直线 l 的方程为 xty2，与抛物线 方程联立得 y28ty160.设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 y1y216，y1y28t，x1x2t(y1y2)48t24，x1x2t2y1y22t(y1y2) 416t216t244.(x12，y12)(x22，y22)x1x22(x1x2)4y1y22(y1y2)4
12、MAMB416t2841616t416t216t44(2t1)20，解得 t ，所以1 2k 2.1 t9解： (1)因为抛物线 C1：x24y 上任意一点(x，y)的切线斜率为 y ，且切线x 2MA 的斜率为 ，所以 A 点坐标为.故切线 MA 的方程为1 2(1，1 4)y (x1) .1 21 4因为点 M(1，y0)在切线 MA 及抛物线 C2上，于是2y0 (2) ，1 221 432 24y0.（1 2）22p32 22p由得 p2.(2)设 N(x，y)，A，B，x1x2，由 N 为线段 AB 中点知x，x1x2 2y.切线 MA，MB 的方程为y(xx1)，x1 2y(xx2
13、).x2 2由得 MA，MB 的交点 M(x0，y0)的坐标为x0，y0.x1x2 2x1x2 4因为点 M(x0，y0)在 C2上，即 x 4y0，所以2 0x1x2.由得 x2 y，x0.4 3当 x1x2时，A，B 重合于原点 O，AB 中点 N 为 O，坐标满足 x2 y.4 3因此 AB 中点 N 的轨迹方程为 x2 y.4 3101 解析 设直线 l：myx1，代入 y24x 得 y24my40，则yAyB4m，因为 Q 为线段 AB 的中点，则 yQ2m，xQmyQ12m21，故yAyB 2Q(2m21，2m)，又|FQ|24，(2m22)2(2m)24m4m20，所以 m1.1
14、1解：(1)证明：由题意，抛物线 E 的焦点为 F，直线 l1的方程为 yk1x .(0，p 2)p 2由得 x22pk1xp20.yk1xp2， x22py)设 A，B 两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则 x1，x2是上述方程的两个实数根， 从而 x1x22pk1. y1y2k1(x1x2)p2pk p.2 1所以点 M 的坐标为，(pk1，pk )FM2 1同理可得点 N 的坐标为，(pk2，pk )于是p2(k1k2k k )FN2 2FMFN2 1 2 2由题设，k1k22，k10，k20，k1k2，所以 00，所以点 M 到直线 l 的距离d.p2(k114)27 85故当 k1 时，d 取最小值.1 47p8 5由题设，7p8 57 55解得 p8. 故所求的抛物线 E 的方程为 x216y.
