圆锥曲线中的最值问题

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1、1圆锥曲线中的最值问题圆锥曲线中的最值问题一一 重点：求圆锥曲线中的各种最值问题。重点：求圆锥曲线中的各种最值问题。 二二 难点：题目中各种基本思想方法的灵活应用。难点：题目中各种基本思想方法的灵活应用。 三三 基本方法：本节所用到换元、数形结合、目标函数等数学思想和方法。基本方法：本节所用到换元、数形结合、目标函数等数学思想和方法。 四四 例题例题 几何法几何法 （）有关点的最值问题）有关点的最值问题【练习练习】椭圆椭圆上的点到原点距离的最大值是上的点到原点距离的最大值是 ；最小值是；最小值是 22221(0)xyabab；相应点的坐标是；相应点的坐标是 【练习练习】双曲线双曲线上的点到原点

2、距离的最小值是上的点到原点距离的最小值是 ；相应点的坐标是；相应点的坐标是 22221xy ab【练习练习】椭圆椭圆上的点到焦点距离的最大值是上的点到焦点距离的最大值是 ；最小值是；最小值是 22221(0)xyabab；相应点的坐标是；相应点的坐标是 【练习练习】双曲线双曲线上的点到焦点距离的最小值是上的点到焦点距离的最小值是 ；相应点的坐标是；相应点的坐标是 22221xy ab【练习练习】抛物线抛物线上的点到焦点距离的最小值是上的点到焦点距离的最小值是 ；相应点的坐标；相应点的坐标22(0)ypx p是是 【例例】点点为抛物线上为抛物线上上一动点，定点上一动点，定点，则点，则点到到轴与到

3、轴与到点的距点的距P24xy(8,7)APxA离之和的最小值为离之和的最小值为 ，并求此时点，并求此时点的坐标的坐标 。P【解析解析】，当且仅，当且仅10 19PBPAPCBCPAPFPABCFABC 当点当点是抛物线与是抛物线与的交点时，的交点时，最小。此时，由最小。此时，由解得解得PFA9PBPA24 3440xy xy或或（舍去但，是（舍去但，是的最大值点的最大值点在线段外，有向线段方向问题。在线段外，有向线段方向问题。(4,4)P1( 1, )4P PFPAP的最小值点即线段的最小值点即线段的垂直平分线与抛物线的交点的垂直平分线与抛物线的交点） 。PFPAAF【评析评析】 （）如何判断

4、点（）如何判断点的位置。参照区域判断方法。的位置。参照区域判断方法。A （）折线和化为直线段。（）折线和化为直线段。 （）此题无最大值。（）此题无最大值。 （）若点（）若点在抛物线内部，如何？（过在抛物线内部，如何？（过作作轴的垂线，垂线段长即为所求，垂线与轴的垂线，垂线段长即为所求，垂线与AAx抛物线的交点即为抛物线的交点即为点。此情况也无最大值。点。此情况也无最大值。 ）的最大、最小值点？的最大、最小值点？PPFPA2说明：说明：“兜底兜底”；细节。细节。【变式变式】是椭圆是椭圆的右焦点，的右焦点，是其上一点，定点是其上一点，定点，则，则F22 1259xyP(2,1)B最小值为最小值为

5、；的最大、最小值为的最大、最小值为 5 4PBPFPBPF【解析解析】首先判断定点首先判断定点的位置的位置(2,1)B；5 4PBPFPBPQBC222aBFPBPFPBPFaaBF【评析评析】 （）（）的最大值存在，但求不出的最大值存在，但求不出 （涉及次方程）（涉及次方程）5 4PBPF（）（）能求最小，最大求不出能求最小，最大求不出55(2 )44PBPFPBPFa（）（）的最大、最小值点？的最大、最小值点？PBPF（）（）点在椭圆外，点在椭圆外，如何？无法求出如何？无法求出最小可求，即连接最小可求，即连接(2,4)B5 4PBPFPBPF与椭圆的交点；与椭圆的交点； 最大也可求，最大也

6、可求，连接，连接与椭圆与椭圆BFPBPF2PBPFPBPFaBF的交点；的交点；的最大值可求，最小值与的最大值可求，最小值与的垂直平分线和椭圆有无交点有关的垂直平分线和椭圆有无交点有关有交点可求，有交点可求，PBPFBF无交点存在最小值但求不出无交点存在最小值但求不出 【变式变式】已知双曲线已知双曲线上有动点上有动点和定点和定点,且且为双曲线的右焦点，则为双曲线的右焦点，则2 213yx P(2,1)AF的最小值的最小值 ；的最小值（分的最小值（分点在左、右支）点在左、右支） 。1 2PAPFPAPFPB xOyP F A(8,7)CP2P1FOBAyxPFQC3总结：（）圆锥曲线上点到定点和

7、焦点的距离和解法：总结：（）圆锥曲线上点到定点和焦点的距离和解法：折线化直线段；折线化直线段；与与PF转化。转化。PF（）任意一点到圆锥曲线的距离最值存在，但求不出（）任意一点到圆锥曲线的距离最值存在，但求不出 （）有关弦上的点最值问题）有关弦上的点最值问题【例例】定长为定长为 3 的线段的线段的端点的端点在抛物线在抛物线上移动，则上移动，则中点中点到到轴轴ABA B,2yxABMy距离的最小值为距离的最小值为 。【解析解析】通径长通径长，所以，所以过焦点是可能的。过焦点是可能的。AB 2p=1AB1 222ACBDAFBFMRMNNRNRNRABNR，当且仅当直线，当且仅当直线过焦点过焦点时

8、取最小值。时取最小值。315 244ABF【评析评析】 （）最大值不存在。（）最大值不存在。（）一般，设（）一般，设，点，点在抛物线在抛物线上，讨论上，讨论中点中点到到轴距离的最轴距离的最ABl,A B22ypxABMy小值？小值？【解析解析】设直线设直线的方程：的方程：AB,xkymF BAO MYXCDNA BxB OB 4由由 消去消去，得，得 22, ,ypx xkymx2220ypkypm设设，由，由是直线与抛物线的交点，所以，是直线与抛物线的交点，所以，1122( ,), (,)A x yB xy,A B（ ）22(2)84 (2 )0pkpmp pkm 设设，韦达定理，得，韦达定

9、理，得 从而从而00(,)M xy12122,2,yypk y ypm g0,ypk2 00xkympkm由由，得，得ABl222222 1212(1)()4(1)(48)lkyyy ykp kpm，224 (1)(2 )pkpkm 222 2 221()2 4 (1)8 (1)2llpkmpkpkpk于是，于是，2222 2 0222 2 2(1) 28 (1)28 (1)21 (1).24 (1)2pklpklpxpkmpkpklppkpk（令（令，得，得为下面分析提供依据）为下面分析提供依据）2 2 2(1)4 (1)lpkpk212lkp当当时，时，当且仅当，当且仅当，且，且时，时，

10、（ ）成立，取得最）成立，取得最2lp022lpx 212lkp2pm 小值小值；22lp当当时，由时，由“对号对号”函数的单调性，得函数的单调性，得，当且仅当，当且仅当2lp2201()2428lplxppp，且，且时，时， （ ）成立，取最小值）成立，取最小值0k 28lmp28l p【变式变式】定长为定长为的线段的线段的端点的端点在椭圆在椭圆上移上移22(2 )bllaa ABA B,22221(0)xyabab动，则动，则中点中点到右准线距离的最小值为到右准线距离的最小值为 ；最大值为；最大值为 。ABM【解析解析】11 12AABBMM2AFBF eOBAyx 5；22ABlee11

11、 12AABBMM2AFBF e11114()()2 22aAFBFAFBFa eee22 22ABaal eeee【评析评析】 （）当（）当时，如何？时，如何？220bla （）双曲线？（）双曲线？ 代数法代数法 （）焦点弦长的最值问题）焦点弦长的最值问题【练习练习】线段线段是抛物线是抛物线的焦点弦，则线段的焦点弦，则线段的最小值是的最小值是 AB22ypxAB【练习练习】线段线段是椭圆是椭圆的焦点弦，则线段的焦点弦，则线段的最小值是的最小值是 AB22221(0)xyababAB；最大值是；最大值是 。【例例】线段线段是双曲线是双曲线的焦点弦，求线段的焦点弦，求线段的最小值的最小值AB22

12、221xy abAB【解析解析】 （）若（）若，；ABx22bABa（）（）不垂直不垂直轴，设直线轴，设直线的方程：的方程：ABxAB()yk xc由由， 消去消去，得，得22221()xy ab yk xc y2222222222()2()0ba kxa k cxa c kb， 22122222a k cxxba k222212222()a c kbx xba k g22222222222 121222222224()(1)()4(1)()a k ca c kbABkxxx xkba kba k，242 2 22224(1)(1)()a bkkba k6即即22222222222 2 222

13、(1)2211abkababABba kba kcakk 当当即即时（交点不在同一支）时（交点不在同一支） ，2220ba k2 2 2bka，时取最小值；时取最小值；2222222 22 22222211abababABaccacaakk0k 当当即即时（交点在同一支）时（交点在同一支） ，2220ba k2 2 2bka，且当，且当时时2222222 22 22222211abababbABcaacaakk ABx22bABa所以，所以，22min 2 ,bABaa（）其他最值问题）其他最值问题【例例】设实数设实数 x、y 满足满足+=1，则，则 x+2y 的最大值为的最大值为 ；最小值为；最小值为 。x24y23【变式变式 1】求求的范围的范围 。y - 3x - 1【变式变式 2】A、B 是上面椭圆上的两个顶点，是上面椭圆上的两个顶点， C、D 是椭圆上的两个动点，且分别在是椭圆上的两个动点，且分别在 直线直线 AB 的两侧，则四边形的两侧，则四边形 ABCD 面积的最大值面积的最大值 。五五 课堂测试：课堂测试： 已知中心在原点的椭圆经过（，）点，则该椭圆的半长轴长的取值范围是已知中心在原点的椭圆经过（，）点，则该椭圆的半长轴长的取值范围是 过椭圆过椭圆+=1