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1、更多免费资料请访问：豆丁教育百科例谈数列中的数学思想例谈数列中的数学思想 高中数学常见的数学思想有高中数学常见的数学思想有: :方程思想、函数思想、分类讨论思想、化归与转化、整体思方程思想、函数思想、分类讨论思想、化归与转化、整体思想等；在高中数学教学过程中，加强数学思想方法的渗透，培养学生的思维能力，显得非常重想等；在高中数学教学过程中，加强数学思想方法的渗透，培养学生的思维能力，显得非常重要。下面通过几道例题浅谈数列解题过程中渗透的数学思想要。下面通过几道例题浅谈数列解题过程中渗透的数学思想, ,不当之处不当之处, ,敬请批评指正敬请批评指正. .1 1、方程思想在数列中运用、方程思想在数
2、列中运用等差（比）数列一般涉及五个基本量：等差（比）数列一般涉及五个基本量：. .于是于是“知三求二知三求二”nnSanqda,),1（或成为等差（比）数列中的基本问题，可运用方程思想，通过解方程（组）求解。成为等差（比）数列中的基本问题，可运用方程思想，通过解方程（组）求解。例例 1 1：等差数列：等差数列的前的前 n n 项和为项和为 S Sn n，且，且 S S1212=84=84，S S2020=460=460，求，求 S S2828。 na解：由已知得解：由已知得， 4602) 112(2020842) 112(121211dada解得解得. .4,151da故故. .10922)
3、128(2828128daS在解决问题中利用方程揭示问题隐含的等量关系，从而显露设问与条件的联系。等差在解决问题中利用方程揭示问题隐含的等量关系，从而显露设问与条件的联系。等差（比）数列基本量之间的关系决定了方程思想在等差（比）数列问题中得以广泛运用。（比）数列基本量之间的关系决定了方程思想在等差（比）数列问题中得以广泛运用。例例 2 2、实数、实数都不为都不为 0 0，且，且，求证：，求证：4321,aaaa0)(2)(2 32 243122 42 22 1aaaaaaaaa成等比数列，且成等比数列，且为其公比。为其公比。321,aaa4a分析：题中出现了四个变量，切不可乱了阵脚眉毛胡子一把
4、抓，要抓住一个进行研究，观分析：题中出现了四个变量，切不可乱了阵脚眉毛胡子一把抓，要抓住一个进行研究，观 察后发现以察后发现以为主研究简单。为主研究简单。4a证明：由题设知，证明：由题设知，是一元二次方程是一元二次方程的实数的实数4a0)(2)(2 32 231222 22 1aaxaaaxaa根根所以所以0)(4)(4)(42 312 22 32 22 22 12 312 2aaaaaaaaaa所以所以312 2312 20aaaaaa因为因为)4 , 3 , 2 , 1(0iai所以所以成等比数列成等比数列321,aaa由求根公式得：由求根公式得：12312 1312 2 22 1312
5、4)( )(2)(2 aa aaaaaa aaaaaa所以所以为其公比。为其公比。4a评注：对已知等式进行整体观察，发现评注：对已知等式进行整体观察，发现是某一元二次方程的根，从而得出巧妙的解答，是某一元二次方程的根，从而得出巧妙的解答，4a 颇具代表性。颇具代表性。例例 3 3、已知、已知，则，则的值是的值是_。), 0(,51cossincot分析：初观之，易两边同时平方分析：初观之，易两边同时平方-比较复杂；细察之，联想等差数列的性质，构造等差中比较复杂；细察之，联想等差数列的性质，构造等差中 项求解项求解-非常简洁。非常简洁。更多免费资料请访问：豆丁教育百科解：由解：由，知，知成等差数
6、列成等差数列), 0(,51cossincos,101,sin设公差是设公差是 ，则，则ttt101cos,101sin由由, ,解之得解之得: :1)101()101(1cossin2222tt107t又又, ,), 0(0, 0101sintt107t即即, ,所以所以53cos,54sin43cot评注：也可将评注：也可将同时平方得同时平方得，进而得到，进而得到51cossinsincos57cossin解方程组求解。解方程组求解。2 2、函数思想在数列中运用、函数思想在数列中运用数列可以看作定义域为正整数集（或其有限子集）的特殊函数。运用函数思想去研究数数列可以看作定义域为正整数集（或
7、其有限子集）的特殊函数。运用函数思想去研究数列，就是要借助于函数的单调性、图像和最值等知识解决相关问题。它不仅使问题简化，而且列，就是要借助于函数的单调性、图像和最值等知识解决相关问题。它不仅使问题简化，而且可以加深对知识的理解。可以加深对知识的理解。例例 4 4、已知数列、已知数列的通项的通项，为其前为其前项的和。求证：项的和。求证：nanan21nSnnSn证明：构造函数证明：构造函数nnnf21.321221 21)(则则112121.321221 21) 1(nnnnf两式作差得：两式作差得：nnnnnnnfnf11121)1(121)() 1(因为因为，所以，所以nnn112nnn1
8、1121即即，则函数，则函数在其定义域内是减函数在其定义域内是减函数)() 1(nfnf)(nf又因为又因为，0) 1 ()(, 021121) 1 (fnff即即，也就是，也就是021.321221 21nnnSn评注：数列是特殊的函数，构造函数后，问题转化为证明评注：数列是特殊的函数，构造函数后，问题转化为证明，即，即0)(nf0)(maxnf例例 5 5、已知数列、已知数列中，中，且点，且点，在直线，在直线na11a)(,(* 1NnaaPnn01 yx（1 1）求）求的通项公式；的通项公式；na（2 2）求）求的最小值。的最小值。)2,(1.11*21nNnananann 分析分析:(
9、1):(1)由等差数列的通项是关于由等差数列的通项是关于的一次函数的一次函数, ,易判断易判断是等差数列是等差数列; ;又一次函数的斜又一次函数的斜nna率就是其公差率就是其公差, ,易得通项公式易得通项公式; ; (2)(2)数列是特殊的函数数列是特殊的函数, ,求数列最值时往往从研究其对应的函数入手求数列最值时往往从研究其对应的函数入手, ,打开突破口打开突破口. . 解：（解：（1 1）由题设）由题设，即，即11a11nnaannan1) 1(1更多免费资料请访问：豆丁教育百科（2 2）构造函数）构造函数nnnnnf1.21 11)(则则) 1(21.31 21) 1(nnnnf于是于是
10、11111(1( )0212212122f nf nnnnnn ，即函数，即函数是增函数是增函数)() 1(nfnfNnnnfy, 2),(故故的最小值是的最小值是)(nf127 221 211)2(f评注评注: : 数列是特殊的函数，构造函数后，问题转化为判断函数的单调性，从而得到最值。数列是特殊的函数，构造函数后，问题转化为判断函数的单调性，从而得到最值。 这种看似这种看似“无中生有无中生有”的想法，决非一时的突发奇想，它靠的是扎实的基本功和对事物敏锐的的想法，决非一时的突发奇想，它靠的是扎实的基本功和对事物敏锐的 洞察力，只要我们平时注重知识的联系，善于将一个问题移植于一种崭新的情景中去
11、研究，就洞察力，只要我们平时注重知识的联系，善于将一个问题移植于一种崭新的情景中去研究，就 会灵感顿生，从而创造性解决问题。会灵感顿生，从而创造性解决问题。 例例 6 6、已知等差数列、已知等差数列的前的前 项和为项和为，前，前项和为项和为，则它的前，则它的前项和为项和为nam302m1003m（）（）A A、130130 B B、170170 C C、210210 D D、260260分析分析: :等差数列的前等差数列的前项和项和 = =, ,可以看成关于可以看成关于 的二次式函数的二次式函数, ,则则可可nnS2 1()22ddnannnS n以看成关于以看成关于的一次式函数的一次式函数.
12、 . 一次函数一次函数图像图像是一条直线是一条直线, ,那么三个点那么三个点n30( ,)mm100(2 ,)2mm就在同一条直线就在同一条直线上上, ,利用斜率相等利用斜率相等, ,得它的前得它的前项和为项和为. .选选(C).(C).3(3 ,)3mSmmyanb3m210例例 7 7、递增数列、递增数列，对任意正整数，对任意正整数，恒成立，求恒成立，求. .nan2 nann分析：分析：看成函数看成函数，它的定义域是，它的定义域是，要使函数，要使函数2 nann2( )f xxx1,x xxN为递增函数，为递增函数，即即单调增区间为单调增区间为, ,抛物线对称轴抛物线对称轴至少在至少在的
13、左的左2( )f xxx1,2x 1x 侧，不过由于函数为离散函数，对称轴侧，不过由于函数为离散函数，对称轴在在的左侧也可以，因为的左侧也可以，因为 B B 点可以比点可以比 A A 点点2x 1.5x 高。于是，高。于是，得，得3 223. 例例 8 8、若等差数列、若等差数列和等比数列和等比数列的首项均为的首项均为 1 1，且公差，且公差，公比，公比，则集合，则集合na nb0d 1q 的元素个数最多是（的元素个数最多是（ ）个）个* |,nnn abnNA A、1 1 B B、2 2 C C、3 3 D D、4 4 解析：数列是特殊的函数，等差数列解析：数列是特殊的函数，等差数列是直线上
14、的点是直线上的点na且直线的斜率是公差，由且直线的斜率是公差，由知，对应函数是增函数；知，对应函数是增函数；0d 等比数列等比数列的图象是指数函数图象上的点由图象易知选的图象是指数函数图象上的点由图象易知选 B B。 nb例例 9 9、已知、已知是等差数列，是等差数列，是等比数列，其公比是等比数列，其公比，若，若na nb1q 0nb ，则（，则（ ）111111,ab abA A、 B B、 C C、 D D、66ab66ab66ab6666abab或解析：利用指数函数是凹函数的特性，可知选解析：利用指数函数是凹函数的特性，可知选 B B；可推广至：；可推广至：(1,2,3.)iiab i例例 1010、在等差数列、在等差数列中，中，是前是前项的和，公差项的和，公差。nanSn0d （1 1）若）若，求，求；,()nmam an mnm na （2 2）若）若，求，求。()mnSSmnm nSxOy更多免费资料请访问：豆丁教育百科解析：（解析：（1 1）由）由知知是关于是关于的一次式的一次式1()nadnadnan则三点则三点三点共线，故任意两点连线斜率相等三点共线，故任意两点连线斜率相等( ,),( ,),(,)mnm nm an amn a即即，解得，解得()m nmnmaaaa mnmnm
