高中二次函数的最值问题

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1、www.pedu.love- 0 -二次函数的最值问题二次函数的最值问题将二次函数（）进行配方，得（cbxaxy20aabac abxay44)2(2 2）.0a当时，抛物线的开口向上；当在对称轴的左边时，函数值随着0aabx2-yx时，函数取得最小值.abx2-=yabac 442当时，抛物线的开口向下；当在对称轴的左边时，函数值随着0aabx2-yx时，函数取得最大值.abx2yabac 442特别注意：自变量在某一确定范围内取值时二次函数的最值特别注意：自变量在某一确定范围内取值时二次函数的最值如果自变量的取值范围是 x1xx2,那么首先要看是否在自变量的取值范围内，若ab 2在这个范围

2、内，则当 x=时，y 的最值就是，若不在这个范围内，则要考虑ab 2abac 442在 x1xx2 范围内的增减性，利用函数的增减性求出在这个范围内的最值。1 1、应用最值问题应用最值问题1、我市某服装厂主要做外贸服装，由于技术改良，2011 年全年每月的产量y（单位：万件）与月份x之间可以用一次函数10yx表示，但由于“欧债危机”的影响，销售受困，为了不使货积压，老板只能是降低利润销售，原来每件可赚 10 元，从 1 月开始每月每件降低 0.5 元。试求：www.pedu.love- 1 -（1）几月份的单月利润是 108 万元？（2）单月最大利润是多少？是哪个月份？答案：(1)解：由题意得

3、：（100.5x）(x+10)=10822120.558010160(2)(8)02,8xxxxxxxx答：2 月份和 8 月份单月利润都是 108 万元。（2）设利润为w，则22(100.5 )(10)0.551000.5(5)112.55wx xxxxx 所以当时，w 有最大值112. 5.答：5 月份的单月利润最大，最大利润为 112.5 万元2、在长株潭建设两型社会的过程中，为推进节能减排，发展低碳经济，我市某公司以 25万元购得某项节能产品的生产技术后，再投入 100 万元购买生产设备，进行该产品的生产加工已知生产这种产品的成本价为每件 20 元经过市场调研发现，该产品的销售单价定在

4、 25 元到 30 元之间较为合理，并且该产品的年销售量 y（万件）与销售单价 x（元）之间的函数关系式为： 40x 25x30y250.5x 30x35.（年获利=年销售收入生产成本投资成本）（1）当销售单价定为 28 元时，该产品的年销售量为多少万件？（2）求该公司第一年的年获利 W（万元）与销售单价 x（元）之间的函数关系式，并说明投资的第一年，该公司是盈利还是亏损？若盈利，最大利润是多少？若亏损，最小亏损是多少？（3）第二年，该公司决定给希望工程捐款 Z 万元，该项捐款由两部分组成：一部分为 10万元的固定捐款；另一部分则为每销售一件产品，就抽出一元钱作为捐款若除去第一年的最大获利（或

5、最小亏损）以及第二年的捐款后，到第二年年底，两年的总盈利不低于 67.5万元，请你确定此时销售单价的范围www.pedu.love- 2 -【答案答案】解：（1）252830， 40x 25x30y250.5x 30x35，把 28 代入 y=40x 得， y=12（万件） 。答：当销售单价定为 28 元时，该产品的年销售量为 12 万件。（2）当 25x30 时，W=（40x） （x20）25100=x2+60x925=（x30）225，当 x=30 时，W 最大为25，即公司最少亏损 25 万。当 30x35 时，W=（250.5x） （x20）25100=1 2x2+35x625=1 2

6、（x35）212.5，当 x=35 时，W 最大为12.5，即公司最少亏损 12.5 万。综合，得，投资的第一年，公司亏损，最少亏损是 12.5 万。答：投资的第一年，公司亏损，最少亏损是 12.5 万。（3）当 25x30 时，W=（40x） （x201）12.510=x2+59x782.5，令 W=67.5，则x2+59x782.5=67.5，化简得：x259x+850=0，解得 x1=25；x2=34。此时，当两年的总盈利不低于 67.5 万元，25x30；当 30x35 时，W=（250.5x） （x201）12.510=1 2x2+35.5x547.5，令 W=67.5，则1 2x2

7、+35.5x547.5=67.5，化简得：x271x+1230=0，解得 x1=30；x2=41。此时，当两年的总盈利不低于 67.5 万元，30x35，综上所述，到第二年年底，两年的总盈利不低于 67.5 万元，此时销售单价的范围是25x35。二、线段最值问题二、线段最值问题1、如图,已知一条直线过点(0,4),且与抛物线 y= x2交于 A,B 两点,其中点 A 的横坐标是-2.(1)求这条直线的函数关系式及点 B 的坐标;(2)在 x 轴上是否存在点 C,使得ABC 是直角三角形?若存在,求出点 C 的坐标;若不存在,请www.pedu.love- 3 -说明理由;(3)过线段 AB 上

8、一点 P,作 PMx 轴,交抛物线于点 M,点 M 在第一象限,点 N(0,1),当点 M 的横坐标为何值时,MN+3MP 的长度最大?最大值是多少?答案 答案见解析 解析 (1)因为点 A 是直线与抛物线的交点,且其横坐标是-2,所以点 A 的纵坐标为 y= (-2)2=1,A 点坐标为(-2,1).设直线的函数关系式为 y=kx+b,将(0,4),(-2,1)代入得解得所以直线的函数关系式为 y= x+4.因为直线与抛物线相交,所以令 x+4= x2,即 x2-6x-16=0,解之得 x1=-2,x2=8,当 x=8 时,y= 8+4=16,所以点 B(8,16).(4 分) (2)如图

9、1,过点 B 作 BGx 轴,过点 A 作 AGy 轴,交点为 G,所以 AG2+BG2=AB2.图 1 由 A(-2,1),B(8,16)可求得 AB2=325. 设点 C(m,0),同理可得,AC2=(m+2)2+12=m2+4m+5,BC2=(m-8)2+162=m2-16m+320. 若BAC=90,则 AB2+AC2=BC2,即 325+m2+4m+5=m2-16m+320.所以 m=- .若ACB=90,则 AB2=AC2+BC2,即 325=m2+4m+5+m2-16m+320,化简得 m2-6m=0,解之得 m=0 或 m=6. 若ABC=90,则 AB2+BC2=AC2,即

10、m2-16m+320+325=m2+4m+5,所以 m=32.所以存在满足题意的点 C,点 C 的坐标为,(0,0),(6,0),(32,0).(10 分)www.pedu.love- 4 -(3)设 M,如图 2,设 MP 与 y 轴交于点 Q,在 RtMQN 中,由勾股定理得 MN= a2+1.图 2又因为点 P 与点 M 纵坐标相同,令 x+4= a2,得 x=,所以点 P 的横坐标为.所以MP=a-.所以 MN+3PM= a2+1+3=- a2+3a+9=- (a-6)2+18.又因为 268,所以当 a=6 时,- a2+3a+9 取到最大值 18.所以当点 M 的横坐标为 6 时,

11、MN+3PM 的长度最大,最大值是 18.(14 分) (备注:各题如有其他解法,只要正确,均可参照给分)2、如图，抛物线 y=x2+bx+c 与 x 轴交于点 A（2，0） ，交 y 轴于点 B（0， ） 直线 y=kx过点 A 与 y 轴交于点 C，与抛物线的另一个交点是 D（1）求抛物线 y=x2+bx+c 与直线 y=kx的解析式；（2）设点 P 是直线 AD 上方的抛物线上一动点（不与点 A、D 重合） ，过点 P 作 y 轴的平行 线，交直线 AD 于点 M，作 DEy 轴于点 E探究：是否存在这样的点 P，使四边形 PMEC 是 平行四边形？若存在请求出点 P 的坐标；若不存在，

12、请说明理由； （3）在（2）的条件下，作 PNAD 于点 N，设PMN 的周长为 l，点 P 的横坐标为 x，求 l 与 x 的函数关系式，并求出 l 的最大值www.pedu.love- 5 -考点：二次函数综合题分析：（1）将 A，B 两点分别代入 y=x2+bx+c 进而求出解析式即可；（2）首先假设出 P，M 点的坐标，进而得出 PM 的长，将两函数联立得出 D 点坐标， 进而得出 CE 的长，利用平行四边形的性质得出 PM=CE，得出等式方程求出即可； （3）利用勾股定理得出 DC 的长，进而根据PMNCDE，得出两三角形周长之比， 求出 l 与 x 的函数关系，再利用配方法求出二次

13、函数最值即可 解答：解：（1）y=x2+bx+c 经过点 A（2，0）和 B（0， ）由此得 ，解得抛物线的解析式是 y=x2x+，直线 y=kx经过点 A（2，0） 2k=0， 解得：k=， 直线的解析式是 y=x，（2）设 P 的坐标是（x，x2x+） ，则 M 的坐标是（x， x）PM=（x2x+）（x）=x2x+4，解方程 得：，点 D 在第三象限，则点 D 的坐标是（8，7） ，由 y=x得点 C 的坐标是（0，） ，CE=（7）=6， 由于 PMy 轴，要使四边形 PMEC 是平行四边形，必有 PM=CE，即x2x+=6 解这个方程得：x1=2，x2=4， 符合8x2， 当 x=2

14、 时，y=（2）2（2）+=3， 当 x=4 时，y=（4）2（4）+=， 因此，直线 AD 上方的抛物线上存在这样的点 P，使四边形 PMEC 是平行四边形，点 P 的坐标是（2，3）和（4， ） ；www.pedu.love- 6 -（3）在 RtCDE 中，DE=8，CE=6 由勾股定理得：DC=CDE 的周长是 24， PMy 轴， PMN=DCE， PNM=DEC， PMNCDE，=，即=，化简整理得：l 与 x 的函数关系式是：l=x2x+，l=x2x+=（x+3）2+15，0， l 有最大值， 当 x=3 时，l 的最大值是 153 3、最值面积问题最值面积问题 1、在平面直角坐

15、标系中，抛物线 y=x2+（k1）xk 与直线 y=kx+1 交于 A，B 两点，点 A 在点 B 的左侧 （1）如图 1，当 k=1 时，直接写出 A，B 两点的坐标； （2）在（1）的条件下，点 P 为抛物线上的一个动点，且在直线 AB 下方，试求出ABP 面 积的最大值及此时点 P 的坐标； （3）如图 2，抛物线 y=x2+（k1）xk（k0）与 x 轴交于点 C、D 两点（点 C 在点 D 的 左侧） ，在直线 y=kx+1 上是否存在唯一一点 Q，使得OQC=90？若存在，请求出此时 k 的值；若不存在，请说明理由www.pedu.love- 7 -考点： 二次函数综合题菁优网版权所有分析： （1）当 k=1 时，联立抛物线与直线的解析式，解方程求得点 A、B 的坐标； （2）如答图 2，作辅助线，求出ABP 面积的表达式，然后利用二次函数的性质求出最大值及点 P 的坐标；（3） “存在唯一一点 Q，使得OQC=90”的含义是，以 OC 为直径的圆与直线 AB 相切于点 Q，由圆周角 定理可知，此时OQC=90且点 Q 为唯一以此为基础，构造相似三角形，利用比例式列出方程，求得