《知识讲解_函数与方程_基础》由会员分享，可在线阅读，更多相关《知识讲解_函数与方程_基础（11页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、函数与方程函数与方程【学习目标学习目标】 (1)重点理解函数零点的概念，判定二次函数零点的个数，会求函数的零点； (2)结合二次函数的图象，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数零点与方程根的联 系； (3)根据具体函数的图象，能够借助计算器用二分法求函数零点的近似解，了解这种方法是求函数零点 近似解的常用方法. 【要点梳理要点梳理】 要点一、函数的零点要点一、函数的零点 1.1.函数的零点函数的零点（1）一般地，如果函数在实数处的值等于零，即，则叫做这个函数的零点.( )yf x( )0fa要点诠释：要点诠释： 函数的零点是一个实数，当函数的自变量取这个实数时，其函数值等于零；函
2、数的零点也就是函数的图象与轴交点的横坐标；)(xfy x函数的零点就是方程的实数根)(xfy 0)(xf零点都是指变号零点（变号零点（函数图象通过零点时穿过 x 轴，则称这样的零点为变号零点） 归纳：归纳：方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点0)(xf)(xfy x)(xfy （2）二次函数的零点二次函数的零点个数，方程的实根个数见下表.2yaxbxc20axbxc判别式方程的根函数的零点 0两个不相等的实根两个零点 0 两个相等的实根一个二重零点 0 无实根无零点（3）二次函数零点的性质 二次函数的图象是连续的，当它通过零点时（不是二重零点） ，函数值变号. 相邻两个零点之间的所有的函
3、数值保持同号. 引伸：引伸：对任意函数，只要它的图象是连续不间断的，上述性质同样成立. 2 2函数零点的判定函数零点的判定 （1）利用函数零点存在性的判定定理如果函数在一个区间上的图象不间断，并且在它的两个端点处的函数值异号，即( )yf xab ，则这个函数在这个区间上，至少有一个零点，即存在一点，使， 0f a f b 0xab 00f x这个也就是方程的根.0x( )0f x 要点诠释：要点诠释： 满足上述条件，我们只能判定区间内有零点，但不能确定有几个若函数在区间内单调，则只有一个；若不单调，则个数不确定若函数在区间上有，在内也可能有零点，例如在( )f x, a b( )( )0f
4、af b( )f x( , )a b2( )f xx上，在区间上就是这样的故在内有零点，不一定有1,12( )23f xxx2,4( )f x, a b( )( )0f af b若函数在区间上的图象不是连续不断的曲线，在内也可能是有零点，例如函( )f x, a b( )f x, a b数在上就是这样的1( )1f xx2,2（2）利用方程求解法求函数的零点时，先考虑解方程，方程无实根则函数无零点，方程有实( )0f x ( )0f x ( )0f x 根则函数有零点 （3）利用数形结合法函数的零点就是方程的实数根，也就是函数的图象与( )( )( )F xf xg x( )( )f xg x
5、( )yf x的图象交点的横坐标( )yg x要点二、一元二次方程根的分布与方程系数的关系要点二、一元二次方程根的分布与方程系数的关系 （1）设 x1、x2是一元二次方程 ax2+bx+c=0（a0）的两实根，则 x1、x2的分布范围与一元二次方程 的系数之间的关系是：当 x1x2k 时，有；0 ( )02f k bka 当 kx1x2时，有；0 ( )02f k bka 当 x1kx2时，；( )0f k 当 x1，x2（k1，k2）时，有；12120( )0()02f kf kbkka 当 x1、x2有且仅有一个在（k1，k2）时，有12( ) ()0f kf k要点诠释：要点诠释： 讨论
6、二次函数的根在区间的分布情况一般需从三方面考虑：判别式；区间端点的函数值的符号； 对称轴与区间的相对位置当 k=0 时，也就是一元二次方程根的零分布 （2）所谓一元二次方程根的零分布，是指方程的根相对于零的关系比如一元二次方程有一正根， 有一负根，其实就是指这个二次方程一个根比零大，一个根比零小，或者说这两个根分布在零的两侧 设一元二次方程 ax2+bx+c=0（a0）的两个实根为 x1，x2，且 x1x2；2121212400,000bac bxxxxa cx xa ；2121212400,000bac bxxxxa cx xa ；1200cxxax1=0，x20c=0，且；x10，x2=0
7、c=0，且0b a0b a要点三、二分法要点三、二分法 1.1.二分法二分法 所谓二分法就是通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进 而得到零点近似值的方法. 2.2.用二分法求函数零点的一般步骤：用二分法求函数零点的一般步骤：已知函数定义在区间 D 上，求它在 D 上的一个零点 x0的近似值 x，使它满足给定的精确度. yf x第一步：在 D 内取一个闭区间，使与异号，即，零点位00,a bD 0f a 0f b 000f af b于区间中.00,a b第二步：取区间的中点，则此中点对应的坐标为00,a b.00000011 22xabaab计算和，并判断：
8、 0f x 0f a如果，则就是的零点，计算终止； 00f x0x f x如果，则零点位于区间中，令； 000f af x00,a x1010,aa bx如果，则零点位于区间中，令 000f af x00,x b1010,ax bb第三步：取区间的中点，则此中点对应的坐标为 11,a b.11111111 22xabaab计算和，并判断： 1f x 1f a如果，则就是的零点，计算终止； 10f x1x f x如果，则零点位于区间中，令； 110f af x11,a x2121,aa bx如果，则零点位于区间中，令； 110f af x11,x b2121,ax bb继续实施上述步骤，直到区间
9、，函数的零点总位于区间上，当和按照给定的精,nna b,nna bnanb确度所取的近似值相同时，这个相同的近似值就是函数的近似零点，计算终止.这时函数 yf x的近似零点满足给定的精确度. yf x要点诠释：要点诠释：（1）第一步中要使：区间长度尽量小；、的值比较容易计算且( )f a( )f b( )( ) 0f af bg（2）根据函数的零点与相应方程的根的关系，求函数的零点和求相应方程的根式等价的对于求方程的根，可以构造函数，函数的零点即为方程的根( )( )f xg x( )( )( )F xf xg x( )F x( )( )f xg x【经典例题经典例题】 类型一、求函数的零点类
10、型一、求函数的零点例 1已知函数( )(3)(1)(2)f xxxx（1）解方程(x+3)(x+1)(x2)=0；（2）画出函数的图象（简图） ，并求出函数( )(3)(1)(2)f xxxx的零点；( )(3)(1)(2)f xxxx（3）讨论函数在零点两侧的函数值的正负( )(3)(1)(2)f xxxx【解析】 （1）方程有三个根 x1=3，x2=1，x3=2（2）函数的图象如右图，零点为3，1，2( )(3)(1)(2)f xxxx（3）由函数的图象可以直观地看出，在函数的零点3 左侧( )(3)(1)(2)f xxxx的函数值为负，在零点3 的右侧与零点1 的左侧的函数值为正，零点1
11、 的右侧与零点 2 的左侧的函数值为负，零点 2 右侧的函数值为正 【总结升华】 （1）方程(x+3)(x+1)(x2)=0 左边是三个因式的积的形式，只要有一个因式为 0，方程就 成立，所以 x+3=0 或 x+1=0 或 x2=0，所以 x=3 或 x=1 或 x=2； （2）可以用描点的方法画出函数图象的简图； （3）在 x 轴的上方，纵坐标为正，相应的函数值就为正；在 x 轴的下方，纵坐标为负，相应的函数 值就为负举一反三：举一反三：【变式 1】已知函数，且 m，n 是方程的两个根（mn） ，( )()() 1()f xxa xbab( )0f x 则实数 a、b、m、n 的大小关系可
12、能是（ ） Amabn Bamnb Cmanb Dambn 【答案】 B【解析】由函数，我们可以看到 a、b 为( )()() 1f xxa xb的零点，且，如右图，则应有( )()()g xxa xb( )( )1f af b0( )( )f nf mamnb，故选 B 例 2. 求下列函数的零点.(1)； 32f xx(2). 41f xx【答案】 （1）；（2）-1，12 3 【解析】根据函数零点与方程的根之间的关系，要求函数的零点，就是求相应方程的实数根.(1)由得，所以函数的零点是； 320f xx2 3x 2 3(2)由，令得 x=1，-1，故函数的零点是-1，1. 421111f
13、 xxxxx 0f x 【总结升华】：求函数的零点就是求相应方程的实数根，一般可以借助求根公式或因式分解等方法， 求出方程的根，从而得到函数的零点.举一反三：举一反三：【变式 1】求函数：(1)；(2)的零点.223yxx 376yxx【答案】 （1）-3，1；（2）-3，1，2【解析】(1)由求根公式解得121,3.xx (2)方程可化为3760xx 322661611161161230xxxx xxx xxxxxxxxx 由知1230xxx1233,1,2.xxx 所以函数的零点为-3，1；函数的零点为-3，1，2.223yxx 376yxx【总结升华】三次因式分解的关键是，裂项后的两组分
14、别要有公因式可提取，函数求零点的题目和解 方程的题目可相互转化. 类型二、函数零点的存在性定理类型二、函数零点的存在性定理例 3已知函数，问：方程在区间内有没有实数根？为什么？2( )3xf xx( )0f x 1,0【答案】没有实数根【解析】先求出及的值，进而确定和的符号，当它们其中一个值小于零另一( 1)f (0)f( 1)f (0)f个值大于零时，便可确定在上有实数根( )f x1,0，122( 1)3( 1)03f Q02(0)3010,f 且函数的图象是连续曲线，2( )3xf xx在区间内有实数根( )f x1,0【总结升华】利用函数零点的存在性定理可以判断方程在某区间内是否有实数根，是利用计( )0f x 算机求方程近似根的重要依据，因此必须熟练掌握这个定理需要注意的是，方程在区间( )0f x 内有实数根，不一定有, a b( )( )0f af b举一反三：举一反三：【变式 1】判断下列函数在给定区间上是否存在零点：（1） 2( )318,1,8 ;f xxxx（2）；3( )1,1,2f
