空间几何体的三视图、直观图、表面积与体积

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1、11认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构。2能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合)的三视图，能识别上述三视图所表示的立体模型，会用斜二测法画出它们的直观图。3会用平行投影方法画出简单空间图形的三视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式。4了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式热点题型一热点题型一 空间几何体的结构特征空间几何体的结构特征例 1、给出下列四个命题：在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；底面为正多边形，且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱；直角三角形绕其任一边所在直线旋

2、转一周所形成的几何体都是圆锥；棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等。其中正确命题的个数是( )A0 B1 C2 D3【答案】B【提分秘籍提分秘籍】空间几何体结构特征的解题策略(1)紧扣结构特征是判断的关键，熟悉空间几何体的结构特征，依据条件构建几何模型，在条件不变的情况下，变换模型中的线面关系或增加线、面等基本元素，然后再依据题意判定。(2)通过举反例对结构特征进行辨析，即要说明一个命题是错误的，只要举出一个反例即可。【举一反三举一反三】 给出下列四个命题：有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱；侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥；侧面都是矩形的直四棱柱是长方体；若有两个侧面垂直于底面，则该四棱

3、柱为直四棱柱其中错误的命题的序号是_。【答案】热点题型二热点题型二 由几何体的直观图识别三视图由几何体的直观图识别三视图 例 2、一个四面体的顶点在空间直角坐标系 Oxyz 中的坐标分别是(1,0,1)，(1,1,0)，(0,1,1)，(0,0,0)，画该四面体三视图中的正视图时，以 zOx 平面为投影面，则得到的正(主)视图可以为( )【解析】如图所示，该四面体在空间直角坐标系 Oxyz 的图像为下图：2则它在平面 zOx 上的投影即正视图为，故选 A 项。【提分秘籍提分秘籍】 由几何体的直观图识别三视图的解题策略空间几何体的三视图是分别从空间几何体的正面、左面、上面用平行投影的方法得到的三

4、个平面投影图，因此在分析空间几何体的三视图时，先根据俯视图确定几何体的底面，然后根据正视图或侧视图确定几何体的侧棱与侧面的特征，调整实线和虚线所对应的棱、面的位置，再确定几何体的形状，即可得到结果。【举一反三举一反三】 一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的主视图与侧视图分别如图所示，则该几何体的俯视图为( )主视图 侧视图A B C D【解析】由三视图中的主、侧视图得到几何体的直观图如图所示。所以该几何体的俯视图为 C。热点题型三热点题型三 由几何体的三视图识别直观图由几何体的三视图识别直观图例 3、若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是( )A B C D【答案】D【提分

5、秘籍提分秘籍】由几何体的三视图识别直观图的解题策略在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，要结合三个视图综合考虑，根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线。在还原空间几何体实际形状时，一般是以正视图和俯视图为主，结合侧视图进行综合考虑。【举一反三举一反三】 三视图如图所示的几何体是( )A三棱锥 B四棱锥C四棱台 D三棱台3【答案】B热点题型四热点题型四 空间几何体的侧面积与表面积空间几何体的侧面积与表面积例 4、 (1)一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为( )A21 B1833C21 D18(2)个几何体的三视图如图所示，则该几何体

6、的表面积为_。(2)由三视图可知，该几何体是一个长方体内挖去一个圆柱体，如图所示。长方体的长、宽、高分别为 4,3,1，表面积为 43231241238，圆柱的底面圆直径为 2，母线长为 1，侧面积为 2112，圆柱的两个底面面积和为 2122。故该几何体的表面积为 382238。【提分秘籍提分秘籍】几何体表面积的求法(1)多面体：其表面积是各个面的面积之和。(2)旋转体：其表面积等于侧面面积与底面面积的和。计算旋转体的侧面积时，一般采用转化的方法来进行，即将侧面展开化为平面图形来解决。(3)简单组合体：应搞清各构成部分，并注意重合部分的处理。(4)若以三视图的形式给出，解题的关键是对给出的三

7、视图进行分析，从中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系，得到几何体的直观图，然后根据条件求解。【举一反三举一反三】 如图所示，某几何体的正视图和俯视图都是矩形，侧视图是平行四边形，则该几何体的表面积为( )4A153 B933C306 D1833【答案】C热点题型五热点题型五 空间几何体的体积空间几何体的体积例 5、 (1)如图所示，已知三棱柱 ABCA1B1C1的所有棱长均为 1，且 AA1底面 ABC，则三棱锥 B1ABC1的体积为( )A. B. C. D.3123461264(2)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A168 B88C1616 D816【提分秘籍提分秘

8、籍】计算几何体体积的常见类型及解题策略常见类型解题策略球的体积问题直接利用球的体积公式求解，在实际问题中要根据题意作出图形，构造直角三角形确定球的半径锥体、柱体的体积问题根据题设条件求出所给几何体的底面积和高，直接套用公式求解以三视图为载体的几何体体积问题将三视图还原为几何体，利用空间几何体的体积公式求解不规则几何体的体积问题常用分割或补形的思想，若几何体的底不规则，也需采用同样的方法，将不规则的几何体或平面图形转化为规则的几何体或平面图形，易于求解【举一反三举一反三】 一个几何体的三视图如图所示，该几何体从上到下由四个简单几何体组成，其体积分别记为 V1，V2，V3，V4，上面两个简单几何体

9、均为旋转体，下面两个简单几何体均为多面体，则有( )5AV1V2V4V3 BV1V3V2V4CV2V1V3V4 DV2V3V1V4热点题型六热点题型六 空间几何体的外接球与内切球空间几何体的外接球与内切球例 6、 (1)已知直三棱柱 ABCA1B1C1的 6 个顶点都在球 O 的球面上，若AB3，AC4，ABAC，AA112，则球 O 的半径为( )A. B23 17210C. D313210(2)若一个正四面体的表面积为 S1，其内切球的表面积为 S2，则_。S1S2【解析】(1)如图，由球心作平面 ABC 的垂线，则垂足为 BC 的中点 M。又 AM BC ，1252OM AA16，所以球

10、 O 的半径12ROA。(52)262132【提分秘籍提分秘籍】空间几何体与球接、切问题的求解方法(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截图，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解。(2)若球面上四点 P，A，B，C 构成的三条线段 PA，PB，PC 两两互相垂直，且PAa，PBb，PCc，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用4R2a2b2c2求解。【举一反三举一反三】 一个正方体削去一个角所得到的几何体的三视图如图所示(图中三个四边形都是边长为 2的正方形)，则该几何体外接球的体积为_。6【答案】431.【2

11、016 高考天津文数】将一个长方形沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥，得到的几何体的正视图与俯视图如图所示，则该几何体的侧（左）视图为（ ）【答案】B【解析】由题意得截去的是长方体前右上方的顶点，故选 B.2.【2016 高考浙江文数】某几何体的三视图如图所示（单位：cm） ，则该几何体的表面 积是_cm2,体积是_cm3.【答案】80；40【解析】由三视图知该组合体是一个长方体上面放置了一个小正方体， 2226 22 44 2 42 280S 表，324 4 240V 1.【2016 高考新课标 1 文数】如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是

12、,则它的表面积是（ ）283（A）17 （B）18 （C）20 （D）28 7【答案】A是一个球被切掉左上角的,即该几何体是7 8个球，设球的半径为R，则37428R833V ，解得R2，所以它的表面积是7 8的球面面积和三个扇形面积之和,即22734221784 ，故选 A2. 2016 高考新课标文数如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实现画出的是某多 面体的三视图， 则该多面体的表面积为（ ）（A）1836 5（B）54 18 5 （C）90 （D）81 【答案】B3.【2016 高考山东文数】一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示.则该几 何体的体积为（ ）（A）12+33

13、（B）12+33（C）12+36（D）21+6【答案】C4.【2016 高考四川文科】已知某三菱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积 .8侧 侧 侧侧 侧 侧【答案】3 3【解析】由三视图可知该几何体是一个三棱锥，且底面积为12 3 132S ，高为1，所以该三棱锥的体积为1133 1333VSh 5.【2016 高考北京文数】某四棱柱的三视图如图所示，则该四棱柱的体积为_.【答案】3. 2【解析】四棱柱高为 1，底面为等腰梯形，面积为13(12) 122 ，因此体积为3. 21.【2015 高考浙江，文 2】某几何体的三视图如图所示（单位：cm） ，则该几何体的体 积是（ ）A 3cm B1

14、23cm C32 33cm D40 33cm【答案】C2.【2015 高考重庆，文 5】某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）123 (B) 13 6(C) 7 3(D) 5 2【答案】B【解析】由三视图可知该几何体是由一个底面半径为 1，高为 2 的圆柱，再加上一个半圆锥：其底面半径为 1，高也为 1，构成的一个组合体，故其体积为61311612122，故选 B.3.【2015 高考陕西，文 5】一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）9A3 B4 C24 D34【答案】D【解析】由几何体的三视图可知该几何体为圆柱的截去一半，所以该几何体的表面积为211 2122 2342 ，故答案选 D4、 【2015 高考新课标 1，文 11】圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为）组成一个几何体，该几何体的三视图中的正视图和俯视图如图所示，若该几何体的表面积为 1620，则r ( ) （A） （B）（C） （D）【答案】B5.【2015 高考福建，文 9】某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于（ ）1112A82 2 B112 2 C142 2 D15【答案】B6.【2015 高考山东，文 9】已知等腰直角三角形的直角边的长为侧，将该三角形绕其斜边 所在的直线旋转