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1、第第 2 章章 力系的简化力系的简化作用在实际物体上的力系各种各样。根据各力作用线是否位于同一平面内，力系可分 为平面力系平面力系和空间力系空间力系。根据力系中各力作用线分布形式的不同，力系可分为汇交力系汇交力系、 平行力系平行力系和任意力系任意力系。各力作用线汇交于一点的力系称为汇交力系，各力作用线相互平行 的力系称为平行力系，各力作用线任意分布，既不完全汇交于同一点，又不完全相互平行 的力系称为任意力系。两种分类标准结合，于是有平面汇交力系、空间汇交力系；平面平 行力系、空间平行力系；平面任意力系、空间任意力系等。 工程实际中，物体的受力是复杂的，为了更好地了解力系对物体的作用效应，需要对
2、 复杂力系进行等效替换，称为力系的简化力系的简化。本章主要介绍平面（空间）汇交力系、力偶系 及任意力系的简化。研究力系的简化，可以为力系平衡条件普遍形式的导出奠定基础。2.1 平面汇交力系与平面力偶系的简化平面汇交力系与平面力偶系的简化 1、平面汇交力系的合成、平面汇交力系的合成 （1）几何法（力多边形法则）几何法（力多边形法则）设一刚体受到平面汇交力系，的作用，各力作用线汇交于点，根据1Fv2Fv3Fv4FvA力在刚体上的可传性，可将各力沿其作用线滑移至汇交点，如图 2.1（a）所示。A（a） （b） （c） 图 2.1 合成此力系，既可以根据力平行四边形法则，依次两两合成各力，最后求得一个
3、通过汇交点的合力，也可以用更简便的方法求此合力的大小与方向，即任取一点 a，ARFvRFv将各分力的矢量依次首尾相连，由此组成一个不封闭的力多边形力多边形 abcde，如图 2.1（b）所示。封闭边矢量即表示此平面汇交力系合力的大小与方向（即合力矢） ，而合力的作aeuu rRFv用线仍应通过原汇交点。图中虚线矢（即）为力与的合力矢，虚线矢Aacuu r1RFv1Fv2Fv（即）为力与的合力矢，在作力多边形时不必画出。aduu r2RFv1RFv3Fv根据矢量相加的交换律，任意变换各分力矢的合成次序，将得到形状不同的力多边形，但其合力矢仍然不变，如图 2.1（c）所示。aeuu r可见，平面汇
4、交力系可简化为一合力，其合力的大小与方向等于各分力的矢量和，合力的作用线通过汇交点。设平面汇交力系包含个力，以表示它们的合力矢，则有nRFv12 1nRni iFFFFFvvvvvL本教材中，略去求和符号中的。于是，上式简写为1,in（2.1）RiFFvv合力对刚体的作用效应与原力系作用是等效的。如果一力与某一力系等效，则此力RFv称为该力系的合力合力。 如力系中各力的作用线都沿同一直线，则此力系称为共线力系，它是平面汇交力系的 特殊情况，它的力多边形在同一直线上。若沿直线的某一指向为正，相反为负，则力系合 力的大小与方向取决于各分力的代数和，即（2.2）RiFF例例 2.1 如图 2.2（a
5、）所示，固定环上作用有两个力和，其中与铅垂方向的夹角1Fv2Fv1Fv为。若希望得到垂直向下的合力，同时又要求尽量小，试确定角和、20o1RFkN2Fv1Fv的大小。2Fv图 2.2 解解：作力三角形，如图 2.2（b） 。由正弦定理，有12 sinsin20sin(18020)RFFF ooo不难看出，当力三角形为直角三角形，即 =70时，F2最小。 此时可求得 F1=940N， F2=342N （2）解析法）解析法 设由个力组成的平面汇交力系作用于一刚体上，建立直角坐标系，如图nOxy2.3（a）所示。此汇交力系的合力的解析表达式为RFv（2.3）RRxRyRxRyFFFF iFjvvvv
6、v式中，为合力在，轴上的投影（图 2.3（b） ） ，且RxFRyFRFvxy， （2.4）cosRxRFFcosRyRFF图 2.3 根据矢量投影定理，即合矢量在某一轴上的投影等于各分矢量在同一轴上投影的代数 和，将式（2.1）向、轴投影，得xy（2.5）1212RxxxnxixRyyynyiyFFFFFFFFFF LL其中和，和，和分别为力系中各力在、轴上的投影。1xF1yF2xF2yFnxFnyFxy所以，合力矢的大小和方向余弦为（2.6）2222cos,cos,RRxRxixiyRyiyixRx RR RRRRFFFFFFFFFF iFjFFFF vvvv例例 2.2 某平面汇交力系如
7、图 2.4 所示，已知，1200FN2300FN3100FN。求该力系的合力。4250FN图 2.4 解：解：根据式（2.5）和（2.6）计算。1234cos30cos60cos45cos45129.3RxixFFFFFFNoooo1234cos60cos30cos45cos45112.3RyiyFFFFFFNoooo2222171.3RRxRxixiyFFFFFNcos,0.7548ixRx R RRFFF iFFv vcos,0.6556Ryiy R RRFFFjFFv v所以，合力与，轴夹角分别为，其作用线通过汇交点。RFvxy40.99 ,49.01ooO本题也可用几何法求解，读者可自
8、行完成。2、平面力对点之矩、平面力对点之矩合力矩定理合力矩定理 一般情况下，力作用于物体可以产生移动和转动两种外效应。其中，力对物体的移动 效应可用力矢来度量，而力对物体的转动效应可用力对点的矩来度量。 （1）平面力对点之矩平面力对点之矩 用扳手拧一螺母，如图 2.5，使扳手连同螺母绕点（实际为绕通过点且垂直于图OO 面的轴）转动。由经验可知，力的数值越大，螺母拧得越紧；力的作用线离螺母中心越远，拧紧螺母越省力。同样，用钉锤拔钉子也有类似的情况。这表明：力使物体绕点转动FvO 的效应，不仅与力的大小有关，而且与点到力的作用线的垂直距离有关。因此，引入Od 乘积来度量力对物体的转动效应。该乘积结
9、合转动效应的转向取适当的正负号称为力力Fd对点对点之矩之矩（简称力矩力矩） ，以表示，即FvO( )OMFu v（2.7）( )OMFFd v其中，点称为矩心矩心，点到力作用线的垂直距离称为力臂力臂。力矩的正负号用以区OOFvd别力使物体绕点转动的两种转向，通常规定：力使物体绕矩心逆时针方向转动时为正，FvO 反之为负。力矩的单位常用或。N mkN m图 2.5 图 2.6力对点之矩的大小也可用图 2.6 中面积的两倍来表示，即FvOOABA（2.8）( )2OOABMFA u v可见，在平面问题中，力对点之矩只取决于力矩的大小及其转向，是一个代数量。 需要说明的是，上述力矩的概念是由力对物体
10、上固定点的作用引出，实际上，作用于 物体上的力可以对任意点取矩。 （2）合力矩定理）合力矩定理 平面汇交力系的合力对于平面内任一点之矩等于所有各分力对于该点之矩的代数和。 即（2.9）()()OROiMFMFvv显然，按照力系等效的概念，上式必然成立，且应适用于任何有合力存在的力系。 如图 2.7，已知力作用点及其方位角。根据合力矩定理，欲求力对坐标Fv( , )A x yFv原点之矩，可通过其分力与对点之矩而得到，即OxFvyFvO( )()()sincosOOxOyMFMFMFxFyFvvv或（2.10）( )OyxMFxFyFv式（2.10）为平面内力矩的解析表达式。其中，为力作用点的坐
11、标，为xyFvxFyF力在，轴的投影。计算时应注意它们是代数量。Fvxy图 2.7 若将式（2.10）代入式（2.9） ，可得合力对坐标原点之矩的解析表达式，即RFv（2.11）()ORiiyiixMFx Fy Fv例例 2.3 如图 2.8（a）所示，圆柱直齿轮受到啮合力的作用。设，压力Fv1000FN角，齿轮的节圆（啮合圆）半径，试计算力对于轴心的力矩。20o50rmmFu vO图 2.8 解：解：计算力对点的矩，可直接按力矩的定义求得（图 2.8（a） ） ，即FvO ( )cos46.98OMFFhFrN mu v也可以根据合力矩定理，将力分解为圆周力和径向力（图 2.8（b） ） ，
12、由于径向力FvtFvrFv通过矩心，所以rFvO( )()()cosOOtOrMFMFMFFrvvv显然，两种方法的计算结果相同。 （3）力偶与力偶矩）力偶与力偶矩 由大小相等、方向相反且不共线的两个平行力组成的力系称为力偶力偶，如图 2.8 所示，记为。组成力偶的两个力所在的平面称为力偶作用平面力偶作用平面，两个力作用线之间的距,F Fv v离称为力偶臂力偶臂。力偶在日常生产、生活实际中经常遇到，如汽车司机用双手转动方向盘d （图 2.9（a） ） 、钳工用丝锥攻螺纹（图 2.9（b） ）等。图 2.8（a） （b） 图 2.9 由于力偶不能合成为一个力，所以力偶不能用一个力来平衡。因此，力
13、和力偶是静力 学的两个基本要素。 力偶是由两个力组成的特殊力系，它的作用只改变物体的转动状态。因此，力偶对物 体的转动效应，可用力偶矩力偶矩来度量，其大小为力偶中的力与力偶臂的乘积，即。图 2.8Fd中，力偶对任一点的矩为，这表明力偶对任意点的矩都等,F Fv vO()F dxFxFd于力偶矩，与矩心位置无关。力偶在平面内的转向不同，其作用效应也不相同。因此，平面力偶对物体的作用效应， 由以下两个因素决定： （a）力偶矩的大小； （b）力偶在作用面内的转向。显然，平面力偶矩可视为代数量，以或表示，也可用图 2.8 中面积M,M F Fv vABC的两倍来表示，即A（2.12）2ABCMFdA
14、于是可得结论：平面力偶矩是一个代数量，其绝对值等于力的大小与力偶臂的乘积，正负 号表示力偶的转向，一般以逆时针转向为正，反之为负。力偶矩的单位与力矩相同，常用 或。 N mkN m （4）同平面内力偶的等效定理）同平面内力偶的等效定理 由于力偶的作用只改变物体的转动状态，而力偶对物体的转动效应是用力偶矩来度量 的，因此可得如下定理。 定理定理：同平面内的两个力偶，若力偶矩相等，则两力偶彼此等效。 该定理给出了在同一平面内力偶等效的条件。由此可得推论： （a）任一力偶可以在它的作用面内任意移转，而不改变它对刚体的作用。因此，力偶 对刚体的作用效果与力偶在其作用面内的位置无关。 （b）只要保持力偶
15、矩的大小和力偶的转向不变，可以同时改变力偶中力的大小和力偶 臂的长短，而不改变力偶对刚体的作用效果。 由此可见，力偶臂和力的大小都不是力偶的特征量，只有力偶矩是平面力偶作用效果 的唯一量度。今后常用图 2.10 所示的符号表示力偶，其中为力偶矩。M图 2.10 （5）平面力偶系的合成）平面力偶系的合成设同一平面内有两个力偶和，它们的力偶臂分别为和，如图11,F Fv v22,F Fvv1d2d2.11（a）所示。设两个力偶的力偶矩分别为和，为求它们的合成结果，在保持力1M2M偶矩不变的情况下，同时改变这两个力偶中力的大小和力偶臂的长短，使它们具有相同的 力偶臂，并将它们在平面内移转，使力的作用线重合，如图 2.11（b）所示。于是得到d与原力偶等效的两个新力偶和，即33,F Fv v44,F Fvv，11133MFdF d22244MF dF d 分别将作用在点和的力合成（设） ，得AB3F4F，34FFF34FFF图 2.11由于与是相等的，所以构成了与原力偶系等效的合力偶合力偶，如图 2.11（c）所FvFv,F Fv v示，以表示合力偶的矩，得M 343412
