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1、 第一讲 物体的平衡问题一、知识点击一、知识点击物体相对于地面处于静止、匀速直线运动或匀速转动的状态，称为物体的平衡状态，简称物体的平衡物体的平衡包括共点力作用下物体的平衡、具有固定转动轴的物体的平衡和一般物体的平衡当物体受到的力或力的作用线交于同一点时，称这几个力为共点力物体在共点力作用下，相对于地面处于静止或做匀速直线运动时，称为共点力作用下物体的平衡当物体在外力的作用下相对于地面处于静止或可绕某一固定转动轴匀速转动时，称具有固定转动轴物体的平衡当物体在非共点力的作用下处于平衡状态时，称一般物体的平衡解决共点力作用下物体的平衡问题，或具有固定转动轴物体的平衡问题，或一般物体的平衡问题，首先
2、把平衡物体隔离出来，进行受力分析，然后根据共点力作用下物体的平衡条件：物体所受的合外力为零，即F0（如果将力正交分解，平衡的条件为：Fx =0、Fy=0） ；或具有固定转动轴的物体的平衡条件：物体所受的合力矩为零，即M0；或一般物体的平衡条件：F0；M0 列方程，再结合具体问题，利用数学工具和处理有关问题的方法进行求解物体的平衡又分为随遇平衡、稳定平衡和不稳定平衡三种一、稳定平衡：如果在物体离开平衡位置时发生的合力或合力矩使物体返回平衡位置，这样的平衡叫做稳定平衡如图 11（a）中位于光滑碗底的小球的平衡状态就是稳定的二、不稳定平衡：如果在物体离开平衡位置时发生的合力或合力矩能使这种偏离继续增
3、大，这样的平衡叫做不稳定平衡，如图 11(b)中位于光滑的球形顶端的小球，其平衡状态就是不稳定平衡 三、随遇平衡：如果在物体离开平衡位置时，它所受的力或力矩不发生变化，它在新的位置上仍处于平衡，这样的平衡叫做随遇平衡，如图 11（c）中位于光滑水平板上的小球的平衡状态就是随遇的从能量方面来分析，物体系统偏离平衡位置，势能增加者，为稳定平衡；减少者为不稳定平衡；不变者，为随遇平衡如果物体所受的力是重力，则稳定平衡状态对应重力势能的极小值，亦即物体的重心有最低的位置不稳定平衡状态对应重力势能的极大值，亦即物体的重心有最高的位置随遇平衡状态对应于重力势能为常值，亦即物体的重心高度不变二、方法演练二、
4、方法演练类型一、物体平衡种类的问题一般有两种方法解题，一是根据平衡的条件类型一、物体平衡种类的问题一般有两种方法解题，一是根据平衡的条件从物体受力或力矩的特征来解题，二是根据物体发生偏离平衡位置后的能从物体受力或力矩的特征来解题，二是根据物体发生偏离平衡位置后的能量变化来解题。量变化来解题。例例 1有一玩具跷板，如图 12 所示，试讨论它的稳定性（不考虑杆的质量） 分析和解：分析和解：假定物体偏离平衡位置少许，看其势能变化是处理此类问题的主要手段之一，本题要讨论其稳定性，可假设系统发生偏离平衡位置一个 角，则：在平衡位置，系统的重力势能为(0)2(cos)ELlmg当系统偏离平衡位置 角时，如
5、图 1 一 3 所示，此时系统的重力势能为 ( ) coscos() coscos()Emg Llmg Ll2cos (cos )mgLl( )(0)2(cos 1)(cos )PEEEmgLl故只有当时，才是稳定平衡cosLl例例 2如图 14 所示，均匀杆长为 a，一端靠在光滑竖直墙上，另一端靠在光滑的固定曲面上，且均处于 Oxy 平面内如果要使杆子在该平面内为随遇平衡，试求该曲面在 Oxy 平面内的曲线方程分析和解：分析和解：本题也是一道物体平衡种类的问题，解此题显然也是要从能量的角度来考虑问题，即要使杆子在该平面内为随遇平衡，须杆子发生偏离时起重力势能不变，即杆子的质心不变，yC为常量
6、。又由于 AB 杆竖直时，1 2Cya那么 B 点的坐标为sinxa111cos(1 cos )222yaaa消去参数得222(2)xyaa类型二、物体系的平衡问题的最基本特征就是物体间受力情况、平衡条件类型二、物体系的平衡问题的最基本特征就是物体间受力情况、平衡条件互相制约，情况复杂解题时一定要正确使用好整体法和隔离法，才能比较互相制约，情况复杂解题时一定要正确使用好整体法和隔离法，才能比较容易地处理好这类问题。容易地处理好这类问题。例例 3三个完全相同的圆柱体，如图 1 一 6 叠放在水平桌面上，将 C 柱放上去之前，A、B 两柱体之间接触而无任何挤压，假设桌面和柱体之间的摩擦因数为 0，
7、柱体与柱体之间的摩擦因数为 ，若系统处于平衡，0与 必须满足什么条件？分析和解：分析和解：这是一个物体系的平衡问题，因为 A、B、C 之间相互制约着而有单个物体在力系作用下处于平衡，所以用隔离法可以比较容易地处理此类问题。设每个圆柱的重力均为 G，首先隔离 C 球，受力分析如图 1 一 7 所示，由Fcy0 可得11312()22NfG再隔留 A 球，受力分析如图 1 一 8 所示，由FAy=0 得11231022NfNG由FAx=0 得21131022fNN由EA0 得12f Rf R由以上四式可得1 1223 223NffG，11 2NG23 2NG而，202fN11fN， 023 323
8、类型三、物体在力系作用下的平衡问题中常常有摩擦力，而摩擦力类型三、物体在力系作用下的平衡问题中常常有摩擦力，而摩擦力 Ff与弹与弹力力 FN的合力凡与接触面法线方向的夹角的合力凡与接触面法线方向的夹角 不能大于摩擦角，这是判断物不能大于摩擦角，这是判断物体不发生滑动的条件在解题中经常用到摩擦角的概念体不发生滑动的条件在解题中经常用到摩擦角的概念例例 4如图 1 一 8 所示，有两根不可伸长的柔软的轻绳，长度分别为 和1l，它们的下端在 C 点相连接并悬挂一质量为 m 的重物，上端分别与质量2l可忽略的小圆环 A、B 相连，圆环套在圆形水平横杆上A、B 可在横杆上滑动，它们与横杆间的动摩擦因数分
9、别为 1和 2，且。试求 1和12ll2在各种取值情况下，此系统处于静态平衡时两环之间的距离 AB。分析和解：分析和解：本题解题的关键是首先根据物体的平衡条件，分析小环的受力情况得出小环的平衡条件，由图 19 可知fNFFsintancosfTNTFF FF定义，为摩擦角，在得出摩擦角的概念以后，再由平衡条件成tan为展开讨论则解此题就方便多了。即由tantan情况 1：BC 绳松弛的情况1=00，不论 1、2为何值，一定平衡。情况 2：二绳均张紧的情况（图 110）A 环不滑动的条件为：，即11111tantan于是有1122 111coscos tan11 11 1122 1tansins
10、in tan11 又由图 111 知1122coscosCDll2 221 2212 2sin1 cos1cosl l所以，若要 A 端不滑动，AB 必须满足2 2111 112222211sin 1sin11llABlll根据对称性，只要将上式中的下角标 1、2 对调，即可得出 B 端不滑动时，AB 必须满足的条件为： 2 2222 1222211llABl 如果系统平衡，两式必须同时满足。从式可以看出，1可能取任意正值和零，当 1=0 时，AB 只能取最小值，此时 1=0，拉直但无张力。从式可以看出 2的取值满足22 21ll2l2 2 22 11l l否则 AB 无解，时，AB 取最小值
11、。2 2 22 11l l22 21ll综上所述，AB 的取值范围为：情况 1：松弛，1、2为任意非负数。2l22 210ABll情况 2：张紧两式右边较小的，1为任意非负数，2l22 21llAB。2 2 22 11l l类型四、一般物体平衡条件的问题主要又分为刚体定轴转动平衡问题和没类型四、一般物体平衡条件的问题主要又分为刚体定轴转动平衡问题和没有固定转动轴的刚体转动平衡问题，这类问题要按一般物体平衡条件来处有固定转动轴的刚体转动平衡问题，这类问题要按一般物体平衡条件来处理，即要么既要考虑力的平衡，又要考虑力矩平衡来求解；要么就要考虑理，即要么既要考虑力的平衡，又要考虑力矩平衡来求解；要么
12、就要考虑以哪点为转动轴或哪点先动的问题。以哪点为转动轴或哪点先动的问题。例例 5质量分别为 m 和 M 的两个小球用长度为 的轻质硬杆连接，并按图l1 一 11 所示位置那样处于平衡状态杆与棱边之间的摩擦因数为 ，小球m 与竖直墙壁之间的摩擦力可以不计为使图示的平衡状态不被破坏，参数 m、M、 、a 和应满足什么条件？l分析和解：分析和解：本题是一道典型的刚体定轴转动平衡问题，解题时对整体进行受力分析，但物体的平衡不是共点力的平衡，处理时必须用正交分解法，同时还要考虑力矩的平衡，受力分析如图，根据力的平衡条件可列出：cossin()mNFMm g1sincosmNNF根据力矩平衡条件可写出：c
13、oscosNaMgl杆不滑动的条件为 Fm FN2,又因为 Ff1 =Ff2 ,所以一定是 2 z 处比 1 处容易移动,再来比较 2 处和 O处.(1)如果是 2 处先移动,必有 Ff2=FN2, 代入式,可得,将此结果tan2代入式,即有2 1 32(1)(sincos)2 (1)fG LFR2312(1)1( sincos)2 (1)NlFGR在这种情况下,如要 Ff3FN3,必须有22(1) (1)Rl 杆要能搁在柱上，当然要 tan2RRl因此在时,=2arctan。22(1) (1)tan2RRRll （2）如果是 0处先移动，必有 Ff3=FN3，代入式，可有22tan2fNFF
14、21tan2cos2NFG lR 12cos(1tan) tan22Rl 满足式的 即为平衡时的 ，这时要求 Ff2FN2，须有221 1Rl 综上所述当时，=2arctan。221 1RRl 当时， 应满足。221 1Rl 12cos(1tan) tan22Rl 三、小试身手三、小试身手1 如图 113 所示，长为 L 的均匀木杆 AB,重量为 G，系在两根长均为 L 的细绳的两端，并悬挂于 O 点，在 A、B 两端各挂一重量分别为 G1、G2的两物，求杆 AB 处于平衡时，绳 OA 与竖直方向的夹角 2 一长为 L 的均匀薄板与一圆筒按图 114 所示放置，平衡时，板与地面成 角，圆筒与薄
15、板相接触于板的中心板与圆筒的重量相同均为 G若板和圆筒与墙壁之间无摩擦，求地面对板下端施加的支持力和静摩擦力3 如图 115，两把相同的均匀梯子 AC 和 BC，由 C 端的铰链 连起来，组成人字形梯子，下端 A 和 B 相距 6m，C 端离水平地面 4m，总重 200 N，一人重 600 N，由 B 端上爬，若梯子与地面的静摩擦因数 0.6，则人爬到何处梯子就要滑动？4 如图 116 所示，一均匀梯子，一端放在水平地面上，另一端靠在竖直墙上，梯子与地面和墙间的静摩擦因数分别为 1和2，求梯子平衡时与地面所能成的最小夹角5 如图 117 所示，一个半径为 R 的四分之一光滑球面放在水平桌面上，球面上放置一光滑均
