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1、上页下页第四章 n维向量空间第一节 向量空间的概念一、n维向量和n维向量空间定义1（n维向量） n个有顺序的数 所在组成的数组称为一个n维向量。 上页下页定义3（n维向量空间）： 以实数域中的数作为分量的n维向量的全体同时考虑到如上定义的向量的加法和数乘运算。称R上的n维向量空间，记为上页下页二、向量空间则称V是实数域R上的向量空间，也称V是 的子空间。定义4.1 设V是 的非空子集合，如果（1）V对加法运算具有封闭性，即 ，有（2） V对数乘运算具有封闭性，即只有一个零向量所构成的向量空间 称为零空间。零空间以及 本身称为 的平凡子空间上页下页例2：对于向量的加法和数乘是否是R上的向量空间？
2、例1：上页下页定义 设 是m个n维向量，记 则 是一个向量空间，称为由 张成（或生成）的向量空间。记作：span 定义 矩阵A的列向量组成的向量空间称为A的列空间（ 的子空间）；矩阵A的行向量组成的向量空间称为A的行空间（ 的子空间）。上页下页定义 齐次线性方程组AX=0，记其解向量的全体为N(A)称N(A)为A的零空间。齐次线性方程组ATY=0，记其解向量的全体为N(AT)称N(AT)为A的左零空间。上页下页第二节 向量组的线性相关性定义4.3（线性组合）重点：如何判断线性相关和线性无关？注：上页下页定理：注：解的唯一性和非唯一性！例：上页下页定义4.4（线性相关） 定义4.4（线性无关）若
3、只有在 时，才有等式成立，则称是线性无关的上页下页例：如何判断线性相关和线性无关？定理：其中上页下页回顾： Gauss消去法中阶梯形拐角元素1的个数的问题当mn时，即向量的个数大于向量的维数或未知量的个数大于方程的个数，Ax=0有自由变量，故必有非零解，因此，n+1个n维向量都是线性相关的。上页下页定理4.1：注1：并非所有向量均可由其余m-1表示。2：逆否命题上页下页定理4.2：三维的情况！推论：上页下页例1：证明： 例2：例3：上页下页定理4.6：定理：部分相关整体相关 整体无关部分无关上页下页总 结线性表示线性相关（无关）证明线性无关的方法反证法!上页下页引子: 线性相关组中含有线性无关
4、的部分向量组. 第三节 向量组的极大无关组与秩定义1（等价）：一、等价向量组性质：自反性 对称性 传递性上页下页定理1：推论1：推论2：推论3：设T是由n维向量所组成的向量组，则 （1） T的每个极大线性无关组与之等价 （2）T的任意两个极大线性无关组所含向量的个数是相同的。上页下页二、向量组的极大线性无关组与向量组的秩定义1（极大线性无关组） 注1、条件（2）表示2、只有零向量构成的向量组没有极大无关组上页下页定义2（秩）推论4：推论5：等价的向量组有相同的秩。推论6：上页下页定理1：推论1：如果一矩阵列向量组的秩是r，那矩阵的秩为r.推论2：Problem:如何求向量组的秩和极大线形无关组
5、?上页下页求 法1、2、对A进行初等行变换，直至阶梯形矩阵A3、 A的秩r即为所求，再找一个r阶非零子式（取拐角1所在的列），对应的向量构成一个极大线性无关组。上页下页例1：例2：证明：例3：上页下页重点：确定坐标，求解过渡矩阵引子：向量空间-广义向量组 （张成的概念）定义4.7（基和维数）第四节 向量空间的基和维数上页下页定义4.8（坐标）注：向量空间的基不是唯一的，可以相互线性表示。相应地，同一向量在不同的基下的坐标也存在着某种关系过渡矩阵。定义4.9（过渡矩阵）上页下页定理：过渡矩阵A是可逆阵。定理4.9：上页下页例1：对于n维空间中的两组基求过渡矩阵，并求向量 在后一组基下 的坐标。上
6、页下页例2：引：三维空间中有放射坐标系，直角坐标系（两两正交，单位向量）上页下页第四节 标准正交基与Schmidt正交化方法回顾：两个n维向量内积的定义定义（正交）定理4.10：若n维向量 是一组两两正交的非零向量，则 线性无关。上页下页定义4.10（标准正交基）问：给定一组基求出相应的正交化基？思考：上页下页得到标准正交基：施密特（Schmidt）正交化方法再令 ：上页下页上页下页例2：证明下向量组是一组正交基上页下页定义4.11（正交矩阵）定理4.11：性质： 上页下页第六节 线性方程组解的结构一、齐次线性方程组解的结构设n个未知量m个方程的齐次线性方程组为AX=0， 其中 上页下页定义1 齐次线性方程组AX=0，记其解向量的全体为N(A)称为方程组AX=0 的解空间（又称为A的零空间） 。定理1：齐次线性方程组AX=0的解向量的线性组合仍然是这个方程组的解向量。上页下页定义2（基础解系）定理2：上页下页求AX=0基础解系的方法！上页下页上页下页注1：非唯一性2：3：只有零解的齐次线性方程组没有基础解系。定理3：上页下页例1：求解AX=0的通解，其中上页下页定理4：解法：二、非齐次线性方程组解的结构注意：非齐次线性方程组解的全体不构成一个向量空间!上页下页例3：例2：求解非齐次线性方程组上页下页例4：
