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1、第 1 页 共 20 页空间向量与立体几何空间向量与立体几何要点考向要点考向 1 1：利用空间向量证明空间位置关系：利用空间向量证明空间位置关系例例 1 1：如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，EFAB，EFFB，2ABEF，90BFC，BFFC，H为BC的中点。(1)求证：FH平面EDB；(2)求证：AC 平面EDB；(3)求二面角BDEC的大小。解答:,/,.ABCDABBCEFFB EFABABFBBCFBBABFBCABFHBFFC HBCFHBCABBCBFHABCQQII四边形为正方形，又且，平面又为中点，且平面HHB GH HFuuu r uuu r uuu r
2、如图，以为坐标原点，分别以、的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立坐标系，1,(1, 2,0), (1,0,0),( 1,0,0),( 1, 2,0),(0, 1,1),(0,0,1).BHABCDEF 令则(1)(0,0,1),(0,0,1),/HFHFGEHFHFuu ruuu ruu ruuu rQ设AC 与BD 的交点为G ，连接G E、G H , 则G （0, -1, 0），G E又G E平面ED B,平面ED B,平面ED B(2)( 2,2,0),(0,0,1),0,.ACACACACAC uuu ruu ruuu r uu rQgIG EG EG E又BD , 且G EBD =G
3、 ，平面EBD .(3)1111 11 1(1,),( 1, 1,1),( 2, 2,0).010,10,220011,0y zBEBDBEyzyzyBD u u ruuu ruuu rQuuu r u u rguuu r u u rg u u r1111设平面BD E的法向量为nn由即，得， nn （，）AEFBCDHGXYZ第 2 页 共 20 页222 22 22(1,),(0, 2,0),(1, 1,1).00,01,10010,-1yzCDCECDyyzyzCE u u ruuu ruuu rQuuu r u u rguuu r u u rg u u r2222设平面C D E的法向
4、量为nn由即，得， nn（，）12 12 121211cos,2|2 2,60 ,n nn nnnn noou r u u ru r u u rgu ru u ru r u u r即二面角B-D E-C 为60。要点考向要点考向 2 2：利用空间向量求线线角、线面角：利用空间向量求线线角、线面角1 1利用空间向量求两异面直线所成的角,直线与平面所成的角的方法及公式为:（1）异面直线所成角设分别为异面直线的方向向量，则（2）线面角设是直线 的方向向量，是平面的法向量，则lnr2 2运用空间向量坐标运算求空间角的一般步骤为：（1）建立恰当的空间直角坐标。 （2）求出相关点的坐标。 （3）写出向量坐
5、标。 （4）结合公式进行论证、计算。 （5）转化为几何结论。例例 2 2：已知三棱锥 PABC 中，PAABC，ABAC，PA=AC=1 2AB，N 为 AB 上一点，AB=4AN,M,S 分别 为PB,BC 的中点.（）证明：CMSN；（）求 SN 与平面 CMN 所成角的大小.解答设 PA1，以 A 为原点，射线 AB、AC、AP 分别为 x,y,z 轴正方向建立空间直角坐标系，如图。则 P(0,0,1)，C(0,1,0)，B(2,0,0)，M(1,0, 1 2)，N(1 2,0,0)，S(1,1 2,0)（I）第 3 页 共 20 页111(1, 1, ),(,0),222 110022
6、1(II)(,1,0),2 ( , , )CMN022,(2,1, 2)1021-1-22|cos |=2232 SNCMNCMSNCM SNCMSNNCax y zzxy xa xya SN uuu u ruuu ruuu u r uuu rguuu rrrr uuu r因为所以设为平面的一个法向量，则令得因为所与平面所成的o45角为要点考向要点考向 3 3：利用空间向量求二面角：利用空间向量求二面角求二面角最常用的办法就是分别求出二面角的两个面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角。其计算公式为：设分别为平面的法向量，
7、则与互补或相等，例例 3 3： 如图，在长方体1111ABCDABC D中，E、F分别是棱BC,1CC上的点，2CFABCE,1:1:2:4AB AD AA （1）求异面直线EF与1AD所成角的余弦值；（2）证明AF 平面1AED（3）求二面角1AEDF的正弦值。【解答】方法一：以 A 为坐标原点，AB 所在直线为 X 轴，AD 所在直线为 Y 轴建立空间直角坐标系（如图所示） ，设1AB ,依题意得(0,2,0)D,(1,2,1)F,1(0,0,4)A,31,02E第 4 页 共 20 页（1）易得10,12EFuuu r ,1(0,2, 4)AD uuu u r ，于是1 113cos,5
8、EF ADEF AD EF AD uuu r uuu u ruuu r uuu u rguuu r uuu u r，所以异面直线EF与1AD所成角的余弦值为3 5。（2）证明：已知(1,2,1)AF uuu r ,131,42EA uuu r ,11,02ED uuu r于是AFuuu r 1EAuuu r =0，AFuuu r EDuuu r =0.因此，1AFEA,AFED,又1EAEDE所以AF 平面1AED(3)解：设平面EFD的法向量( , , )ux y zr ，则00u EFu EDr uuu rgr uuu rg,即102 102yzxy 不妨令 X=1,可得(1,2 1u ）
9、。由（2）可知，AF 为平面1A ED的一个法向量。于是2cos,=3| |AFAF|AF|uu u ，从而5sin,=3AFu所以二面角1A -ED-F的正弦值为5 3要点考向要点考向 4 4：利用空间向量解决探索性问题：利用空间向量解决探索性问题例例 4 4： 如图，圆柱 OO1内有一个三棱柱 ABC-A1B1C1,三棱柱的底面为圆柱底面的内接三角形，且 AB 是圆 O 的直径。（I）证明：平面 A1ACC1平面 B1BCC1；（II）设 ABAA1,在圆柱 OO1内随机选取一点，记该点取自三棱柱 ABC-A1B1C1内的概率为 p。（i）当点 C 在圆周上运动时，求 p 的最大值；第 5
10、 页 共 20 页（ii）记平面 A1ACC1与平面 B1OC 所成的角为（00090） 。当 p 取最大值时，求 cos的值。【解答】 （I）1Q A A平面ABC，BC平面ABC，1A ABC，又AB是e O的直径，BCAB，又1ACAAA，BC平面11A ACC，而BC平面11B BCC，所以平面11A ACC平面11B BCC；（II） （i）设圆柱的底面半径为r，则12ABAAr，故圆柱的体积为2322 Vrrr，设三棱柱ABC-A1B1C1,的体积为1V，所以1VPV，所以当1V取得最大值时P取得最大值。又因为点C在圆周上运动，所以当OCAB时，ABC的面积最大，进而，三棱柱 AB
11、C-A1B1C1,的体积1V最大，且其最大值为312222 r rrr，故P的最大值为1 ； （ii）由（i）知，P取最大值时，OCAB，于是，以O为坐标原点，建立空间直角坐标系Oxyz，则1,0,0 ,0, ,0 ,0, ,2,C rBrBrrQ BC平面11A ACC，,0uuu rBCrr是平面11A ACC的一个法向量，设平面1BOC的法向量为, ,rnx y z，由于1ruuu rruuurnOCnOB，0 20rx ryrz，所以平面1BOC的一个法向量为0, 2,1rn，00090Q，10coscos,5 r uuu rn BC。【高考真题探究高考真题探究】 1.若向量ar =（
12、1,1,x）, br =(1,2,1), cr =(1,1,1),满足条件() (2 )cabrrr =-2,则x= .【解答】carr(0,0,1)x，2(2, 4, 2)b r ，由() (2 )cabrrr 2 得(0,0,1) (2, 4,2)2x ，即2(1)2x ，解得2.x 【答案】2第 6 页 共 20 页2.如图， 在矩形ABCD中，点,E F分别在线段,AB AD上，243AEEBAFFD.沿直线EF将 AEFV翻折成AEFV，使平面AEFBEF 平面. （）求二面角AFDC的余弦值；（）点,M N分别在线段,FD BC上，若沿直线MN将四边形MNCD向上翻折，使C与A重合
13、，求线段FM的长。【解答】方法一：（）取线段 EF 的中点 H，连结AH，因为AE=AF及 H 是 EF 的中点，所以AHEF,又因为平面AEF 平面BEF.如图建立空间直角坐标系 A-xyz，则A（2，2，2 2） ，C（10，8，0） ，F（4，0，0） ，D（10，0，0）. 故FA =（-2，2，22） ，FD =（6，0，0）.设n =（x,y,z）为平面AFD的一个法向量，所以222 20 60xyz x。取2z ，则(0, 2,2)n r。又平面BEF的一个法向量(0,0,1)m r，故3cos,3n mn mn m r rgr rrrg。所以二面角的余弦值为3 3（）设,FMx
14、BNa，则(4,0,0)Mx，( ,8,0)N a，因为翻折后，C与A重合，所以CMA M，CNA N，故， 2222222222(6)80 =222 2(10)(2)6(2 2)xxaa（）（），得21 4x ，13 4a ，所以21 4FM 。第 7 页 共 20 页3. 如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形PA平面ABCD，AP=AB=2， BC=2 2，E，F分别是AD,PC的中点.（）证明：PC平面BEF；（）求平面BEF与平面BAP夹角的大小。【解答】解法一 （）如图，以 A 为坐标原点，AB，AD，AP 所在的直线分别为x，y，z 轴建立空间直角坐标系.AP=AB=2，
15、 BC=2 2，四边形ABCD是矩形.A，B，C，D 的坐标为 A(0,0,0),B(2,0,0),C(2, 2 2,0)，D(0，2 2，0)，P(0,0,2)又 E，F 分别是 AD ，PC 的中点，E(0，2，0),F(1，2，1).PCuuu r =（2，2 2，-2）BFuuu r =（-1，2，1）EFuuu r =（1,0, 1） ，PCuuu r BFuuu r =-2+4-2=0，PCuuu r EFuuu r =2+0-2=0，PCuuu r BFuuu r ，PCuuu r EFuuu r ，PCBF,PCEF,BFEFFI ,PC平面 BEF（II）由（I）知平面 BEF 的法向量
