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1、解无理不等式解无理不等式教案教案北京市五中北京市五中 李颖李颖教学目标教学目标1初步理解无理不等式的求解基本思路2进一步培养学生的逻辑推理能力和运算能力3进一步养成规范表述的习惯，提高学生思维的严谨性教学重点和难点教学重点和难点重点：求解的基本思路的形成与落实难点：分类讨论的正确使用教学过程设计教学过程设计（一）新课引入（一）新课引入师：前面我们已经研究了一元一次不等式、一元二次不等式和一元高次 不等式，它们统称为整式不等式，继续又学了分式不等式它们又统称为有 理不等式，今天我们该学习无理不等式的解法（板书：4无理不等式）（二）讲解新课（二）讲解新课师：无理不等式一般是指在根号下含有未知数的不
2、等式今天我们主要 研究在二次根号下含有未知数的简单的无理不等式的解法（板书）师：要解这个不等式，你的第一个想法是什么？生：想保证根式有意义，让被开方式非负即 5-2x0生：想去掉根号师：这两个想法都有道理，也是我们必须要做的，若在这两件事中选择 一个做为第一件事，应该是谁呢？生：应该先保证根式有意义，这是解决这个不等式的大前提师：讲得很好，但有了 5-2x0 这个条件，我们并没有开始解，如果开 始解的话，应该做的仍然是去掉根号为什么一定要去掉根号呢？生：想把它化成学过的有理不等式师：用什么方法化去根号呢？生：两边平方师：解不等式所进行的变换必须保证是等价变换，平方之后能保证与原 不等式等价吗？
3、生：不能保证等价师：为保证等价，不等式有什么根据可以用吗？师：要平方，就应以此为根据就需看不等式两边是否符合条件，先看 左式是否符合条件生齐答：没有问题，能保证它大于等于零师：右式怎样？生：右式的符号不能确定，可能正，可能负，也可能为零师：怎么解决右式的符号问题呢？生：进行讨论，对于大于等于零情况，根据性质，可以平方对于小于 零情况可以单独研究师：好，思路搞清楚了，下面把刚才分析的内容表述出来，先说能平方 部分师：另一种情况该怎样研究呢？生：若 x-10，则此时左式是非负数，右式是个负数，左式大于要求解无理不等式必须两边平方，但我们找到的可等价平方的根据是有 条件的如果满足条件都是正的，那就可
4、以平方；如果不满足条件像 x-1 就 必须进行分类讨论，这样将一个不等式等价地变换成两个不等式组下面我们继续把它解出来，先把第一组解到底，每人只解一步（每一个不等式由一个学生来解，并明确要求解到什么程度）（解到这里要求一定要画数轴找公共部分）师：观察数轴，公共部分是什么？生：等价于 1x2（最后指出表述上要加上等价符号，以体现各组不等式间的关系）师：下面再解第二组不等式师：两个不等式组的解都有了，怎么处理两个组的解呢？生：应该取并师：那么此不等式最终的解应是什么？生：是 x2师：经过我们共同研究，完成了这个不等式的求解，把刚才的过程简单 小结一下刚才我们主要做了这样两件事（1）搞清了求解的基本
5、思路，求解无理不等式必有理化，手段是平方， 平方的根据是有条件的，满足条件直接平方，若不满足则需分类讨论（2）在运算上，注意顺序要合理，采用先横（写出等价组）再二竖（分 别解两个不等式组），最后再横（求两组的并），同时给出规范的表述，以 作为示范所以原不等式解集为x|x2师：对于以上这两件事是否真清楚了，下面几个题目有了一些变化，看 能否处理好（先解决思路问题，第一组练习只要求做出等价变换）（三）巩固练习（三）巩固练习板书：（要求学生讲清每个不等式的由来，讲清理由才是真正理解每个不等式 的功能）师：不仅等价组是正确的，而且也讲清了为什么是这样两个不等式组师：为什么只有这一个不等式组？生：不等式
6、两边均大于零，符合平方的条件，可以直接平方，无需讨 论师：讲得非常好，通过这个题目再次认识到分类讨论这种方法，一定要 想清楚使用原因再正确使用，不能盲目套用，下面再看第（3）题师：此题在结构上与前面几个题目略有变化，请注意不等号的方向，这 种结构上的变化，是否会带来解法上的变化呢？生：在解法上没有什么变化（此时有些学生开始议论并举于提出异议）生：我觉得解得不对，不应有第二个不等式组，原不等式应等价于师：他们两人的意见到底谁对呢？请大家讨论一下，发表意见，说明理 由生甲：由于右式 x3 的符号不能确定，所以要平方就必须进行分类讨论， 所以应该有两组生乙：由于左式是个非负数，右式大于等于一个非负数
7、，所以右式也应 为非负数，故无需讨论，即可平方，只有第一个不等式组就够了生丙：我也认为应只有第一个不等式组但我是这样考虑的如果对右 式的符号进行分类讨论，当 x30 时，此时不等式变为“非负数小于等于 一个负数”，这是个矛盾不等式，故不等式无解因此，第二个不等式组写 完整应该写为这个不等式组的解集应为空集，这个不等式组就可以被省掉不写，从形 式上看就只有一个不等式组师：以上几位同学的意见都有一定的道理，表明同学们对于求解思路都 有自己的见解，通过分析最终我们发现这个不等式的求解应当等价理由除了刚才后两位同学的解释以外（它们的解释角度不同，本质相同） ，还有一点重要的补充说明，由于两个不等式组之
8、间是并的关系，所以第二 组不等式才可以被省掉通过这几个小题，帮助我们真正理解了等价变换思想的使用，对搞清求 解思路有一定的帮助下面再来解决运算问题，大家一起解两个题，注意运 算的正确性和合理性（板书）练习二：解下列不等式：（由两个学生上黑板来做）解：（1）原不等式所以原不等式解集为x|x0（2）原不等式所以原不等式的解集为x|-9x-1（待黑板上的同学完成后，老师根据巡视中发现的问题进行简单的讲评）师：两位同学的答案都是正确的，但在表述上有个别不规范之处提醒大 家注意每一步之间应当用等价符号连结，以表明实施的是等价变换；求解不等式组的解应画出数轴，以便更直观地取公共部分此外，请同学们再反思一下
9、整个求解过程，看有什么地方可以改进生：我觉得第（1）题中第一个不等式组可以不解 2x2-3x10，解另外 两个就够了师：这个想法很大胆，不过必须能讲得清理由这件事可以从等价角度 来加以解释，即是否等价的问题生：这两个不等式组等价因为是没有问题的，而根据不等式的传递性，由 2x2-3x1（12x）2，说明这两个不等式组是等价的因此可以将 2x2-3x+10 省掉这种不 等式组间的等价又称为系统等价系统等价对这个题目来说能起到一定的简化作用，这种简化的思想应当 贯穿于我们整个求解过程之中，但必须真正搞清原因才能省略（四）小结（四）小结师：这节课的主要内容是无理不等式的求解问题，对这个问题的掌握主
10、要体现在（1）把握求解基本思路，能正确实现等价转化（2）在表述上要规范，有条理，能在旧知识配合下，合理准确进行运 算（五）布置作业（五）布置作业 课本习题略课堂教学设计说明课堂教学设计说明无理不等式的求解是解不等式中的重点内容，也是学生学习比较困难的 课题，困难主要发生在等价转化为有理不等式的思路上，所以本节课的设计 重点放在求解思路形成与落实上思路的形成重在学生的思维参与，学生获取知识必须通过学生自己的一 系列思维活动来完成教师的课堂设计应给学生设计好符合学生认知结构的 学习程序，通过设问、提示、课堂讨论等多种方式，启发诱导学生，激发学 生的学习热情，使学生思维从始至终处于一种积极进取的兴奋
11、状态，这样通 过教师引导，学生可自然有效地获取知识，就本节课而言，通过学生研究探 索，得到求解的基本思路与方法，最终教师再进行概括、总结和提高思路的落实是教学效果的体现一节课课堂上再热闹，再活跃，而学生 不能准确完成一个无理不等式的求解，这样的课堂设计是华而不实的，真正 的课堂必须讲究落实且在课堂上尽量提高落实的效果，为了解决这个问题又 重点在表述上下功夫思维有方、表达无术，是很多学生一个突出的毛病， 教师的示范和对学生进行适当的训练是纠正这一毛病的重要措施例 1 的解 题过程，既是利用学生思维得到求解思路，又是通过教师的示范，达到明确 要求，规范书写的目的，而两个巩固练习题让学生通过必要的模仿，克服表 达无术的不足，且在讲评中再次强化表述的要求，因此，无理不等式的求解， 只有双管齐下，既理清思路又规范表述，才能保证运算的合理性和准确性
