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1、常微分方程的初等解法11 1常微分方程的基本概况常微分方程的基本概况 1.1.1.1.定义：定义：自变量未知函数及函数的导数（或微分）组成的关系式，得到的便是微分方程，通过求解微分方程求出未知函数，自变量只有一个的微分方程称为常微分方程。1.2.1.2.研究对象：研究对象：常微分方程是研究自然科学和社会科学中的事物、物体和现象运动演化和变化规律的最为基本的数学理论和方法。物理化学生物工程航空航天医学经济和金融领域中的许多原理和规律都可以描述成适当的常微分方程。如牛顿运动规律、万有引力能量守恒人口发展规律生态总群竞争疾病传染遗传基因变异股票的涨伏趋势利率的浮动市场均衡价格的变化等。对这些规律的描
2、述认识和分析就归结为对相应的常微分方程的理论和方法不仅广泛应用于自然科学，而且越来越多的应用于社会科学各个领域。1.3.1.3.特点：特点：常微分方程的概念、解法、和其它理论很多，比如，方程和方程组的种类及解法、解的存在性和唯一性、奇解、定性理论等等。下面就方程解的有关几点简述一下，以了解常微分方程的特点。求通解在历史上曾作为微分方程的主要目标，一旦求出通解的表达式，就容易从中得到问题所需要的特解。也可以由通解的表达式，了解对某些参数的依赖情况，便于参数取值适宜，使它对应的解具有所需要的性能，还有助于进行关于解的其他研究。 1.4.1.4.应用：应用：现在，常微分方程在很多学科领域内有着重要的
3、应用，自动控制、各种电子学装置的设计、弹道的计算、飞机和导弹飞行的稳定性的研究、化学反应过程稳定性的研究等。这些问题都可以化为求常微分方程的解，或者化为研究解的性质的问题。应该说，应用常微分方程理论已经取得了很大的成就，但是，它的现有理论也还远远不能满足需要，还有待于进一步的发展，使这门学科的理论更加完善。2.2.一阶的常微分方程的初等解法一阶的常微分方程的初等解法常微分方程的初等解法2一阶常微分的初等解法包括变量分离方程与变量变换可以化为变量分离方程的类型线性微分方程与常数变易法恰当微分方程与积分因子，下面我们就具体分析一阶常微分方程的初等解法。2.12.1、变量分离方程法、变量分离方程法形
4、如， （2.1）的方程，称为变量分离方程，这里的，分别)()(yxfdxdy)(xf)(y是 x，y 的连续函数。如果，我们可将（2.1）改写成，这样变量0)(ydxxfydy)()(就“分离”开来了。两边积分得到， （2.2） 。 cdxxfydy)()(例例 1 1：方程就可以用变量分离法求解方程yx dxdy解：解： 变量分离，得到 ，xdxydy两边积分，即得 ，22222cxy因而，通解为 ， （c 为任意常数）cyx222.22.2、可化为变量分离方程的类型、可化为变量分离方程的类型(1) 形如， （2.3）的方程，称为齐次微分方程，这里是 u 的连续函数。)(xygdxdy)(u
5、g作变量变换， （2.4）即，于是， （2.5）.将（2.4） ， （2.5）代xyu uxy udxduxdxdy入（2.3） ，则原方程变为，整理后，得到,(2.6).方程)(ugudxduxxuug dxdu)(（2.6）是一个变量分离方程，这就所为的可以化为变量分离的方程。例例 2 2 方程 就是一个可以化为变量分离的方程。xy xy dxdytan常微分方程的初等解法3解解 这是齐次微分方程，以 及代入，则原方程变为uxyudxduxdxdy。即。uuudxduxtanxu dxdutan将上式分离变量，既有 ，xdxudu cot两边积分，得到 ， （ 为任意常数）cxu lnsi
6、nlnc整理，得到 ，xeucsin令，得到 ceccxu sin将代入上式，得到方程的通解为 xyu cxxysin(2)形如,(2.7)的方程也可以经变量变换化为变量分离方程，222111 cybxacybxa dxdy ，均为常数。1a2a1b2b1c2c我们分三种情况来讨论：(常数)情形。这时方程化为，有通解，其中 c kcc bb aa212121kdxdyckxy为任意常数。情形。令，这时有212121 cckbb aaybxau22是变量分离方程。21 2222cuckubadxdybadxdu 情形。如果方程(2.7)中，不全为零，方程右端分子分母都是2121 bb aa1c2
7、cx，y 的一次多项式，因此（2.8）.代表 Oxy 平面上两条相交的直线， 00222111 cybxacybxa常微分方程的初等解法4设交点为。若令（2.9） 。则（2.8）化为从而（2.7）)( yYxX 002211 YbXaYbXa变为， （2.10） 。因此，求解上述变量分离方程，最后代回原变)(2211 YXgYbXaYbXa dXdY量即可得原方程（2.7）的解。如果方程（2.7）中，可不必求解（2.8） ，直021 cc接取变换即可。xyu 上述解题的方法和步骤也适用于比方程（2.7）更一般的方程类型。)(222111 cybxacybxafdxdy 例例 3 3 方程就可以
8、用上述方法来求解。31 yxyx dxdy解解 解方程组 0301 yxyx得 x=1，y=2.令 2 1 YyXx代入原方程，则有,YXYX dXdY 再令,即,则上式化为，XYu uXY duuuu XdX2211 两边积分，得 ，cuuX12lnln22因此 ，ceuuX) 12(22记，并代回原变量，得，1cec1222cXXYY把代入上式 得 21 yYxX122) 1()2)(1(2)2(cxyxy常微分方程的初等解法5整理，得 (c 为任意常数)cxyxxyy262222.32.3、线性微分方程与常数变易法、线性微分方程与常数变易法一阶线性微分方程， （2.9） 。其中 P（x）
9、 ，Q（x）在考虑的区间)()(xQyxPdxdy上是 x 的连续函数。若 Q（x）=0， （2.9）变为， （2.10） ，(2.10)称为一阶其yxPdydx)(次线性微分方程。若， （2.9）称为一阶非其次线性微分方程。 （2.10）是变量分0)(xQ离方程它的解为， （2.11）这里的 c 为任意常数。dxxpcey)(现在讨论非奇次线性微分方程（2.9）通解的求法。不难看出， （2.10）是（2.9）的特殊情形，可以设想（2.11）中将常数 c 变易为 x的待定函数 c(x).令， （2.12）微分之，得到dxxpexcy)()(， （2.13）.将（2.12）,(2.13)代入（2
10、.9） ，得到dxxpdxxpexpxcedxxdc dxdy)()()()()(。)()()()()()()()()(xQexcxPexPxcedxxdcdxxpdxxpdxxp即，积分后得到，这里的 是任意常dxxpexQdxxdc)()()(cdxexQxcdxxp)()()(c数。将上式代入（2.12） ，得到方程（2.9）的通解，)()()(cdxexQeydxxpdxxp（2.14） 。这种将常数变易为待定函数的方法，我们通称为常数变易法。常数变易法实际上也是一种变量变换的方法，通过变换（2.12）可将方程（2.9）化为变量分离方程。若方程不能化为（2.9）形式，可将 x 看作 y
11、 的函数，再看是否为（2.9）形式。例例 4 4 方程（n 为常数）就可以用常数变易法求解。1) 1() 1(nxxenydxdyx解解 将方程改写为 ，nxxeyxn dxdy) 1(1常微分方程的初等解法6首先，求齐次线性微分方程 的通解01yxn dxdy从 ，得到齐次线性微分方程的通解dxxn ydy 1nxcy) 1( 其次，应用常数变易法求非齐次线性微分方程的通解。为此，在上式中把 c 看成为 x 的待定函数 c（x）,即，nxxcy) 1)(微分之，得到 ，)() 1() 1()(1xcxnxdxxdc dxdynn把，代入，得到 ，xedxxdc)(积分之，求得 cexcx)(
12、因此，以所求的 c（x）代入，即得原方程的通解， （ 为任意常数）)() 1(cexyxnc2.42.4、恰当微分方程与积分因子、恰当微分方程与积分因子2.4.12.4.1 恰当微分方程恰当微分方程如果方程，的左端恰好是某个二元函数的0y)dy(y)dx(xNxMy)(xu全微分，即+=则称原式为恰当微分y)dx(xMy)dy(xNdyyudxxduxuy)(方程。容易验证恰当微分方程的通解就是,这里的 c 为任意常数。cy)(xu如果方程是恰当微分方程时，函数应该具有以下性质。y)N(xy)(xM和分别对 y，x 求偏导，得到，由MxuNyu yM xyu 2xM yxu 2常微分方程的初等
13、解法7得连续性，可得，故,这就是恰当微分方程的必要条xN yM yxu xyu 22xN yM 件。如果是恰当微分方程我们可以利用“分项组合”的办法来求解。利用公式（2.15） )(ln21 )(arctanxxdy-ydx )(ln )(xdyydx- )(xdy-ydx )(222222yxyxdyxxdyydxyxdyyxdxyxdyydxxydxyxdyxydxdyydx例例 5 5 方程就可以用“分项组合” 方法来求解。0)46()63(3222dyyyxdxxyx解解 把方程重新“分项组合”得到066432232ydyxdxxydyydxx即 033222243dyxdxydydx
14、或者写成 0)3(2243yxyxd于是，方程的通解为 ， （c 为任意）cyxyx224332.4.22.4.2、积分因子、积分因子如果存在连续可微的函数，使得x+0y)(xy)M(xy)d(x=0 为一恰当微分方程，即存在函数，使，则y)dyy)N(x,(xdNdyMdx称为方程的积分因子，而积分因子不是唯一的。y)(x0y)dy(x)( NdxyxM这时是方程的通解，因而也就是cyx)(dNdyMdx常微分方程的初等解法8的通解。0)()(dyyxNdxyxM由（2.15）看到，同一方程可以有不同的积分因子，0 xdyydx21 x21 y，。可以证明，只要方程有解存在，则必有积分因子存在，并且不是唯xy1221 yx 一的。因此，在具体解题过程中，由于求出的积分因子不同从而通解可能具有不同的形式。根据上述可知，函数为方程的积分因子的充要条件是，)(yxxN yM )()(即。)(xN yM yMxN对于方程，如果存在只与 x 有关的积分因子0y)dy(x)( NdxyxM，则，这时方程变成)(x0 y)(xN yM yMxN，即，由此可知，方程)(xN yM dxdNdxNxN yM d有只与 x 有关的积分因子的充要条件是0
