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1、第 1 页 版权所有版权所有 不得复制不得复制年年 级级高二学学 科科数学版版 本本人教版内容标题内容标题不等式的证明编稿老师编稿老师李美臣【本讲教育信息本讲教育信息】一. 教学内容：不等式的证明教学目标1. 掌握不等式证明的作差比较法和作商比较法。2. 在熟悉一些常用基本不等式的基础上，掌握不等式证明的综合法；3. 掌握分析法证明不等式的要求和格式；4. 通过本节内容的复习，提高同学们的化简意识、变形意识，拓宽解题思路，提高推理论证能力。二. 重点、难点：1. 教学重点：理解并掌握不等式证明的三种方法。即：比较法、综合法、分析法。2. 教学难点：正确理解三种证明方法的证题思想，准确把握证明步
2、骤和书写格式。【例题分析例题分析】（一）比较法：比较法有作差比较法和作商比较法两种。1. 作差比较法：一般适用于具有多项式结构的题目。其步骤是：作差变形判断差的符号（与 0 比较大小） 。2. 作商比较法：一般适用于不等式两边恒为正且具有乘积式幂指数结构的题目。其步骤是：作商变形判断商与 1 的大小。例 1. 已知： ，求证：xyRxxyyxy221解析：解析：这个不等式两边是多项式结构的，因此可采用作差比较法，最后的结果与 0 比大小。xxyyxy221xxyyxy2211 222222222xxyyxy1 2212122222xxyyxyxy1 211222xyxyQ xyxy101002
3、22，1 2110222xyxy第 2 页 版权所有版权所有 不得复制不得复制xxyyxy221说明：采用作差法证明不等式，作差后经常采用配方的办法，判断结果与 0 的大小。例 2. 已知：，求证：abcabcabcabcb cc aa b0222解析：解析：此题具有积的结构，且两边恒为正的不等式。因此，采用作商比较法，最后的结果与 1 比较大小。证明：证明：abc abcabcb cc aa b222abcab cba cca b222()()()abca ba cb ab cc ac b() ()() ()() () a bb ca ca bb ca cQabc 0a bb ca cabb
4、cac111000， a bb ca ca bb ca c 1又，Qabcabcabcb cc aa b22200abcabcabcb cc aa b222说明：在上述讨论中，要求必须对指数函数的性质清楚。例 3. 已知：，求证：abab abab ab 02222解析：解析：根据已知条件及要证的不等式的结构，既可以用作差比较法也可以用作商比较法。证法一：证法一：ab abab ab2222 ababababab22222 2022ab ababab原不等式成立证法二：证法二：左边 右边 ab abab abab abab ab222222222121原不等式成立（二）综合法：就是从已知的不等
5、式出发，用必要条件代替前面的不等式，直至推出欲证 的不等式。常用的重要不等式有：（ ）若 ，则，；100022abRaaab（ ）若 ，则；2222abRabab（ ）若 ，则；32abRabab第 3 页 版权所有版权所有 不得复制不得复制（ ）若 ，则。402abb aa b例 1. 已知：，且，求证：abcabcabc00011119解析：解析：要证此不等式，应充分使用已知条件，同时改变要证不等式左边的现状，使之可以运 算且大于或等于 9。证明：证明：111 abcabc aabc babc c3b ac aa bc bb ca c 3b aa bc aa cc bb c32229111
6、9abc例 2. 已知： 、 、 为的三边，求证：abcABCabcabbcca2222解析：解析：a、b、c 为ABC 的三边，可以挖掘出 a、b、c 均为正数，且 a式中至少有一个不取“”号abbc acabc222给上式两边同取以 10 为底的对数lglgab acbcabc222即lglglglglglgabbcacabc222（三）分析法：分析法就是从求证的不等式出发，逐步寻求使这个不等式成立的充分条件， 把证明不等式问题转化为判定这些充分条件是否具备的问题，如果能肯定这些充分条件都 已具备，那么就可以判定原不等式成立。分析法的特点：执果索因。例 1. 已知： 、 、 、，求证：ab
7、cdRabcdacbd222222解析：解析：分析法有两种书写格式：（1）使用“连接”关键词，如“为了证明” ， “只需证明” ， “即证”等。（）全部使用逆推符号“”。2证明：证明：abcdacbd222222abcdacbd2222222abcdacbda b c dR2222Q , , ,abcdacbd22222b ca dbcad22222即显然成立bcad20所证不等式成立例 2. 已知：，求证：abab aababab b082822解析：解析：这是一个含两个不等号的连不等式，因此得分别证明两个不等号都成立。先证：ababab b 282证明：证明：Qab 0第 5 页 版权所有
8、版权所有 不得复制不得复制要证：ababab b282只需证：，从而ababab b242只需证：，从而0422 abab b只需证：，从而abab b 2只需证：，从而22abbab只需证：，aabb20即abab 2Qab 0abab2成立ababab b282 成立留给学生自己证。另一部分：abba aba 282同时，练习一下书写格式。【模拟试题模拟试题】1. ，求证：已知：a bR,aba ba b5532232. 已知：x、y、z 是互不相等的正数，且。xyz1求证：1111118xyz 3. 已知：，求证：abc22211 21abacbc4. 且，求证：（要求用三种方法）已知：
9、a bR,ababa bab3322第 6 页 版权所有版权所有 不得复制不得复制【试题答案试题答案】1. 这是一个多项式结构的不等式，显然是用作差比较法。2. 先把每一个小括号内的两项通分看看，即，再把 1 换为111 xx x11y yz z，x+y+z112011120211203xyz xyz xyxz yxz yzxy zxy zx、y、z 均为正数且 x+y+z=10111110xxx，同理，110110yz，则可得出要证的不等式：1111118xyz 3. 先证abbcacabc2221由重要不等式：ababbcbcacac222222222 221 1 2222abcabbcacabbcacabbcac再证：由重要性质：abc20abcabacbc222222021abacbc abacbc 1 2综上，1 21abbcac4. 此题思路简单，不再具体提示，此题主要目的是训练三种方法的书写格式。
