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1、第 2 讲 点、直线、平面之间的位置关系(限时:45 分钟)【选题明细表】知识点、方法题号空间线线关系证明1,4空间线面关系证明2,3空间面面关系证明2立体几何中的折叠问题41.如图,四棱锥 P ABCD 中,底面 ABCD 为平行四边形,DAB=60,AB=2AD,PD底面 ABCD.(1)证明:PABD;(2)设 PD=AD=1,求棱锥 D-PBC 的高.(1)证明:因为DAB=60,AB=2AD.由余弦定理得 BD=AD,3所以 BD2+AD2=AB2,故 BDAD.又 PD底面 ABCD,可得 BDPD.又 ADPD=D,所以 BD平面 PAD,又 PA平面 PAD,所以 PABD.(
2、2)解:作 DEPB,垂足为 E.已知 PD底面 ABCD,则 PDBC.由(1)知 BDAD,又 BCAD,所以 BCBD.故 BC平面 PBD,BCDE,则 DE平面 PBC,由题设知 PD=1,则 BD=,PB=2.3由 DEPB=PDBD 得 DE=.32即棱锥 D-PBC 的高为.322.(2016贵州省遵义航天高中一模)在三棱柱 ABC-A1B1C1中,AA1底面 ABC,且ABC 为正三角形,AA1=AB=6,D 为 AC 的中点.(1)求证:直线 AB1平面 BC1D;(2)求证:平面 BC1D平面 ACC1A1;(3)求三棱锥 C-BC1D 的体积.(1)证明:连接 B1C
3、交 BC1于点 O,连接 OD,则点 O 为 B1C 的中点.因为 D 为 AC 中点,得 DO 为AB1C 的中位线,所以 AB1OD.因为 OD平面 BC1D,AB1平面 BC1D,所以直线 AB1平面 BC1D.(2)证明:因为 AA1底面 ABC,所以 AA1BD.因为ABC 为正三角形,D 是 AC 的中点,所以 BDAC.因为 AA1AC=A,所以 BD平面 ACC1A1.因为 BD平面 BC1D,所以平面 BC1D平面 ACC1A1.(3)解:由(2)知ABC 中,BDAC,BD=ABsin 60=3,3所以 SBCD= 33=.1 239 32又 CC1是底面 BCD 上的高,
4、所以= 6=9. 1 11 39 3233.(2016山东菏泽模拟)如图,直三棱柱 ABC-A1B1C1中,AC=4,BC=3,AA1=4,ACBC,点 M 在线段 AB 上.(1)若 M 是 AB 中点,证明 AC1平面 B1CM;(2)当 BM 长是多少时,三棱锥 B1-BCM 的体积是三棱柱 ABC-A1B1C1的体积的 ?1 9(1)证明:连接 BC1,交 B1C 于 E,连接 ME.因为直三棱柱 ABC-A1B1C1,M 是 AB 中点,所以侧面 BB1C1C 为矩形,ME 为ABC1的中位线,所以 MEAC1.因为 ME平面 B1CM,AC1平面 B1CM,所以 AC1平面 B1C
5、M.(2)解:因为 SABC= BABCsinABC,1 2SMBC= BMBCsinMBC,1 2所以= BMBCsinABCB1B,三棱锥 1 1 31 2= BABCsinABCB1B.三棱柱 1111 2由=,三棱锥 11 9三棱柱111得 BM= BA.1 3因为 ACBC,所以在 RtACB 中,BA=5,所以 BM= .2+ 25 3当 BM 长是 时,三棱锥 B1-BCM 的体积是三棱柱 ABC-A1B1C1的体积的 .5 31 94.(2016东北三省三校一模)如图,在平行四边形 ABCD 中,ADBD,AD=2,BD=4,点 M,N 分别为 BD,BC 的中点,将其沿对角线
6、 BD 折起成四面体 QBCD,使平面 QBD平面 BCD,P 为 QC 的中点.(1)求证:PMBD;(2)求点 D 到平面 QMN 的距离.(1)证明:因为平面 QBD平面 BCD, QDBD,平面 QBD平面 BCD=BD,所以 QD平面 BCD,所以 QDDC, 同理 QBBC.因为 P 是 QC 的中点,所以 DP=BP= QC, 又 M 是 DB 的中点,1 2所以 PMBD. (2)解:因为 QD平面 BCD,QD=BC=2,BD=4,M,N,P 分别是 DB,BC,QC 的中点,所以 QM=2,MN=,QN=,2521所以 SQMN=.6又 SMND=1,设点 D 到平面 QM
7、N 的距离为 h,因为 =,所以 12= h,得 h=,1 31 3663所以点 D 到平面 QMN 的距离为.63(限时:45 分钟)【选题明细表】知识点、方法题号空间线线关系1空间线面关系2,3,4空间面面关系3立体几何中的折叠问题41.如图,三棱柱 ABC-A1B1C1中,CA=CB,AB=AA1,BAA1=60.(1)证明:ABA1C;(2)若 AB=CB=2,A1C=,求三棱柱 ABC-A1B1C1的体积.6(1)证明:取 AB 的中点 O,连接 OC,OA1,A1B.因为 CA=CB,所以 OCAB.由于 AB=AA1,BAA1=60,故AA1B 为等边三角形,所以 OA1AB.因
8、为 OCOA1=O,所以 AB平面 OA1C.又 A1C平面 OA1C,故 ABA1C.(2)解:由题设知ABC 与AA1B 都是边长为 2 的等边三角形,所以 OC=OA1=.3又 A1C=,则 A1C2=OC2+O ,621故 OA1OC.因为 OCAB=O,所以 OA1平面 ABC,OA1为三棱柱 ABC A1B1C1的高.又ABC 的面积 SABC=,3故三棱柱 ABC-A1B1C1的体积 V=SABCOA1=3.2.(2016贵州省贵阳市适应性检测)如图,四棱柱 ABCD A1B1C1D1的底面是菱形,DAB=60,AA1平面 ABCD,且 AD=AA1=1,F 为棱 AA1的中点,
9、M 为线段 BD1的中点.(1)求证:FM平面 BDD1B1;(2)求三棱锥 D1-BDF 的体积.(1)证明:连接 AC,设与 BD 交于 O 点,连接 OM,因为 A1F=AF,AB=A1D1,D1A1F=FAB=90,所以 D1F=BF,又 M 为线段 BD1的中点,所以 FMBD1,因为 OMAF 且 OM=AF,所以四边形 FAOM 为平行四边形,所以 FMAO,因为底面 ABCD 是菱形,所以 AOBD,则 FMBD,又因为 BDBD1=B,所以 FM平面 BDD1B1.(2)解:由(1)知 FM平面 BDD1B1,因为= BDDD1= 11= , 11 21 21 2FM=AO=
10、,32所以=FM 1 11 3 1= 1 31 232=.3123.(2016安徽“皖南八校”联考)如图,在直三棱柱 ABC-A1B1C1中,AC=BC,AA1=3,AB=,D 是 AB 的中点,点 E 在 BB1上,B1E= BB1,求证:31 6(1)AC1平面 B1CD;(2)平面 A1C1E平面 B1CD.证明:(1)连接 BC1交 B1C 于点 F,连接 DF,则 F 是 BC1的中点,因为 D 是 AB 的中点,所以 DFAC1,因为 AC1平面 B1CD,DF平面 B1CD.所以 AC1平面 B1CD.(2)因为 AC=BC,D 是 AB 的中点,所以 CDAB,因为在直三棱柱中
11、,侧面 ABB1A1底面 ABC,且交线为 AB.所以 CD平面 ABB1A1,又 A1E平面 ABB1A1,所以 A1ECD,因为矩形 ABB1A1中,A1B1=AB=,BB1=AA1=3,B1E= BB1= ,BD= AB=,31 61 21 232所以=,=.11133133因为A1B1E=B1BD=90,所以A1B1EB1BD,所以B1A1E=BB1D,所以B1A1E+A1B1D=BB1D+A1B1D=A1B1B=90,所以 A1EB1D,因为 CDB1D=D,CD,B1D平面 B1CD,所以 A1E平面 B1CD.因为 A1E平面 A1C1E,所以平面 A1C1E平面 B1CD.4.
12、(2016湖北荆门高三调考)如图 1,在直角梯形 EFBC 中,FBEC,BFEF,且 EF= FB= EC =1,A 为线段 FB 的中点,ADEC 于 D,沿 AD 将1 21 3四边形 ADEF 翻折,使平面 ADEF 与平面 ABCD 垂直,M 为 ED 的中点,如图 2.(1)求证:BC平面 EDB;(2)求点 M 到平面 BEF 的距离.(1)证明:由题意,平面 ADEF 与平面 ABCD 垂直,而平面 ADEF 与平面ABCD 相交于 AD,ED平面 ADEF,EDAD,所以 ED平面 ABCD.又 BC平面 ABCD,所以 BCED.由于 AB=AD=1,在直角三角形 BAD 中,BD=.2在直角梯形 ABCD 中,由条件 AB=AD=1,CD=2,得 BC=.2所以 BD2+BC2=DC2,所以 BCBD,又 BDED=D,所以 BC平面 EDB.(2)解:在 RtFAB,RtEDB 中,BF=,2+ 22BE=,2+ 23又 EF=1,则 BE2=EF2+EF2,所以 EFBF,所以 SBEF= 1=,1 2222SEFM= 1= .1 21 21 4设点 M 到平面 BEF 的距离为 h.由=知,SBEFh= SEFMAB,1 31 3所以点 M 到平面 BEF 的距离 h=. 24
