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1、7-1第一章习题解答第一章习题解答1-3 一粒子按规律沿 x 轴运动，试分别求出该粒子沿 x 轴正向运动；59323tttx 沿 x 轴负向运动；加速运动；减速运动的时间间隔 解 由运动方程可得59323tttx质点的速度 （1）133963dd2tttttxv粒子的加速度 （2）16ddttva由式（1）可看出 当时，粒子沿 x 轴正向运动；3st0v当 时，粒子沿 x 轴负向运动3st0v 由式（2）可看出 当 时，粒子的加速度沿 x 轴正方向；1st0a当 时，粒子的加速度沿 x 轴负方向1st0a 因为粒子的加速度与速度同方向时，粒子加速运动，反向时，减速运动，所以，当 或间隔内粒子加
2、速运动，在间隔内里粒子减速运动s3t1s0 t3s1s t1-4 一质点的运动学方程为， （S1） 试求： （1）质点的轨迹方程;2tx 21 ty（2）在s 时，质点的速度和加速度2t解 （1） 由质点的运动方程 （1）2tx （2）21 ty消去参数 t，可得质点的轨迹方程 21xy（2） 由（1） 、 （2）对时间 t 求一阶导数和二阶导数可得任一时刻质点的速度和加速 度ttxv2dd x12dd yttyv所以 （3）jijiv122yxttvv2dd22xtxa2dd22ytya所以 （4jia22 ）把代入式（3） 、 （4） ，可得该时刻质点的速度和加速度2stjiv24 jia
3、22 1-5 质点的运动学方程为，其中 A、B、为正常数，质点的tAxsintBycos轨道为一椭圆试证明质点的加速度矢量恒指向椭圆的中心 证明 由质点的运动方程 （1）tAxsin（2）tBycos7-2对时间 t 求二阶导数，得质点的加速度 tAtxasindd2 22xtBtyacosdd2 22y所以加速度矢量为 rjia22cossintBtA可得加速度矢量恒指向原点椭圆中心1-6 质点的运动学方程为 （SI） ，试求：（1）质点的轨道方程；（2） jir222tt时质点的速度和加速度2st 解 （1） 由质点的运动方程，可得tx222ty消去参数 t，可得轨道方程 2 412xy（
4、2） 由速度、加速度定义式，有 jirvtt22d/djra2d/d22t将 代入上两式，得2stjiv42 ja21-7 已知质点的运动学方程为，其中 r、c 均为常trxcostrysinctz 量试求：（1）质点作什么运动?（2）其速度和加速度? （3）运动学方程的矢量式 解 （1） 质点的运动方程 （1）trxcos（2）trysin（3）ctz 由（1） 、 （2）消去参数 t 得 222ryx此方程表示以原点为圆心以 r 为半径的圆，即质点的轨迹在 xoy 平面上的投影为圆由式（2）可以看出，质点以速率 c 沿 z 轴匀速运动 综上可知，质点绕 z 轴作螺旋线运动 （2） 由式（1
5、） 、 （2） 、 （3）两边对时间 t 求导数可得质点的速度trtxvsinddxtrtyvcosddyctzvddz所以 kjikjivctrtrvvvcossinzyx由式（1） 、 （2） 、 （3）两边对时间求二阶导数，可得质点的加速度7-3trtxaxcosdd2 22 trtyaysindd2 22 0za所以 jikjiatrtraaasincos22 zyx（3） 由式（1） 、 （2） 、 （3）得运动方程的矢量式 kjikjircttrtrzyxsincos1-8 质点沿 x 轴运动，已知，当s 时，质点在原点左边 52m 处（向右为 x228tv8t 轴正向） 试求：（
6、1）质点的加速度和运动学方程；（2）初速度和初位置；（3）分析质 点的运动性质 解 （1） 质点的加速度 ttva4/dd 又 所以 txv/ddtvxdd 对上式两边积分，并考虑到初始条件得 ttxtttvx 82852d28dd所以 3 .4573283ttx因而质点的运动学方程为 3 3283 .457ttx（2） 将代入速度表达式和运动学方程，得0tm/s80282 0vm3 .457032083 .4573 0x（3） 质点沿轴正方向作变加速直线运动，初速度为 8m/s，初位置为m.x3 .4571-9 一物体沿 x 轴运动，其加速度与位置的关系为物体在处的速度为xa620x，求物体
7、的速度与位置的关系sm10解 根据链式法则 xvvtx xv tvadd dd dd ddxxxavvd62dd对上式两边积分并考虑到初始条件，得 xvxxvv 010d62d故物体的速度与位置的关系为100462xxvsm1-10 在重力和空气阻力的作用下，某物体下落的加速度为，g 为重力加速度，BvgaB 为与物体的质量、形状及介质有关的常数设时物体的初速度为零 （1）试求物体0t7-4的速度随时间变化的关系式；（2）当加速度为零时的速度（称为收尾速度）值为多大?解 （1） 由得 tvaddtBvgvdd两边分别积分，得 tvtBvgv00dd所以，物体的速率随时间变化的关系为： BteB
8、gv1（2） 当时 有 （或以代入）0a0Bvgat由此得收尾速率 Bgv 1-11 一物体悬挂于弹簧上沿竖直方向作谐振动，其加速，k 为常数，y 是离开平kya衡位置的坐标值设处物体的速度为，试求速度 v 与 y 的函数关系0y0v解 根据链式法则 yvvty yv tvadd dd dd ddyavvdd对上式两边积分 yyyyvykyyavv000dddv即 2 022 02 21 21yykvv故速度 v 与 y 的函数关系为 22 02 02yykvv1-12 一艘正以速率匀速行驶的舰艇，在发动机关闭之后匀减速行驶其加速度的大小0v与速度的平方成正比，即， k 为正常数试求舰艇在关闭
9、发动机后行驶了 x 距离2kva 时速度的大小解 根据链式法则 xvvtx xv tvadd dd dd ddvavxdd对上式两边积分 vvvvxkvvvavx00ddd 0化简得 0ln1 vv kx7-5所以 kxevv0l-13 一粒子沿抛物线轨道运动，且知试求粒子在处的速度和2xy sm3xvm32x加速度解 由粒子的轨道方程 2xy 对时间 t 求导数 （1）xy2dd2ddxvtxxtyv再对时间 t 求导数，并考虑到是恒量 xv（2）2 xy2ddvtva把代入式（1）得 m32xsm43322yv所以，粒子在处的速度为m32xsm543222 x2 xvvv与 x 轴正方向之
10、间的夹角 85334arctanarctan0xyvv由式（2）得粒子在处的加速度为m32x22sm1832a加速度方向沿 y 轴的正方向1-14 一物体作斜抛运动，抛射角为，初速度为，轨0v迹为一抛物线（如图所示） 试分别求抛物线顶点及下落A 点处的曲率半径B解 物体在点的速度设为，法向加速度为，曲率AAvnAa半径为，由题图显然有A（1） cos0Avv=g （2）nAa（3）An A2 Aav7-6联立上述三式得 gv22 0 Acos物体在 B 点的速度设为，法向加速度为，曲率半径为，由题图显然有BvnBaB（4）0Bvv（5）cosnBga（6）nB B2 Bav联立上述三式得 co
11、s2 0 Bgv1-15 一物体作如图所示的抛体运动，测得轨道的点 A 处，速度的大小为 v，其方向与水平线的夹角为，求点 A 的切向加速度和该处的曲率半径030解 设 A 点处物体的切向加速度为，法向加速度为，曲tana率半径为，则ntaag由图知 gga5 . 030sin0 t2/330cos0 ngga又 所以 n2 avgvgv av 3322/322n2 1-16 在一个转动的齿轮上，一个齿尖沿半径为的圆周运动，其路程随时间的变化规PR律为，其中和都是正常量求 时刻齿尖的速度及加速度的大小2 021bttvs0vbtP解 设时刻 齿尖的速率为，切向加速度，法向加速度，则 tPvta
12、naRbtv Rvabtvabtvtsv2 02nt0)(dddd所以， 时刻齿尖的加速度为tP24 022 n2 t)( Rbtvbaaa7-71-17 火车在曲率半径 R400m 的圆弧轨道上行驶已知火车的切向加速度，2 . 0ta2sm求火车的瞬时速率为时的法向加速度和加速度sm10解 火车的法向加速度 方向指向曲率中心 222nsm25. 040010Rva火车的总加速度 2222 t2 nsm32. 02 . 025. 0aaa设加速度 a 与速度 v 之间的夹角为，则025134.512 . 0 25. 0arctanarctan00tnaa1-18 一质点沿半径为的圆周运动，其角位置 （1）在时，它的法0.10m342t2st 向加速度和切向加速度各是多少?（2）切向加速度的大小恰是总加速度大小的一半时， 值为多少?（3）何时切向加速度与法向加速度大小相等?解 质点的角速度 212ddtt质点的线速度 222 . 11210. 0ttRv质点的法向加速度，切向加速度为nata（1）4222 n4 .1410. 012ttRa（2）ttva4 . 2ddt（1）把代入（1）式和（2）式，得此时2st2 t224 n m/s8 . 424 . 2m/s103 . 224 .14a
