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1、彦文娇：等参函数及相关问题研究 我们回忆单位球面sn+ 中的超曲面Mn叫作等参的，若它是Sn+ 上某个局部定义的等参函数， 的水平超曲面，这里的等参函数厂是指一个非常值的光滑函数，： + (参见文献【1)满足 IVfl2= b( f 其中V，和Af分别表示，的梯度和Laplace算子，b和a分别是 上的光滑函数和连续函数Cartan 指出，对应，的正则值t的等参超曲面Mt：=f (t)是互相平行的，且主曲率为常数 我们把等参函数，的临界值的逆像叫作等参超曲面的焦流形实际上，焦流形是Sn+ 的极小子 流形Miinzner2】证明了无论Mn有几个主曲率，在每个等参超曲面的平行族里，只有两个不同的焦
2、 流形，记为 和M2，并且任何等参超曲面都是它的焦流形上的常半径管道 设为M 在S”+ (1)的一个单位法向量场，g是M的不同主曲率的个数，cot0 (Q=1，9； 00， zm一10，其中f= (m)(尼=1，2，3，)， (m)是Clifford代数Cm-1的不可约模的维数 2 等参叶状结构与Yau第一特征值猜想 LaplaceBeltrami算子是Riemann流形上的最重要的算子之一在过去的几十年里，对Laplace Beltrami算子的谱的研究一直是几何研究的核心问题例如，单位球面中闭的嵌入极小子流形的几何 与特征值问题就是息息相关的 设(Mn，g)是一个佗维紧致连通无边的Riem
3、ann流形，其上的LaplaceBeltrami算子记作A，其 在M t-_j coo函数厂上的作用为Af=一div(V)众所周知，A是一个椭圆算子，有如下离散的谱： 0= o(M)10 基于以上结论和 + (1)中等参超曲面的分类，我们利用下面的定理来证明定理21 定理22【1g设 n为 + (1)中的有4个不同主曲率的闭极小等参超曲面，且m1，m22，则 注21 如引言所述，当g=1，2，3，6时，单位球面中的等参超曲面都是齐性的，所以文献20，211 的结论就足以给出定理21在g=1，2，3，6情形下的证明此外，Takagi23】证明了重数为(1，k)的 9=4的等参超曲面都是齐性的，由
4、此结合文献f201可知，定理22直接给出了定理21 注22 我们知道，对于9：4的等参超曲面，除了可能的(m ，m2)=(7，8)的情形外，它们都是 齐性的或者OTFKM一型的实际上，定理22仅依赖于(ml，m2)的取值，而不是齐性的性质，所以与 9=4的等参超曲面的分类情况无关除此之外 我们的方法也适用于g=6的情况 注23 Chern猜想说，若其第二基本型的长度为常数，则Sn+ f1)中的闭的极小浸入超曲面是 等参超曲面(参见文献f241)若这个猜想得以证明，则我们就正面回答了加入第二基本型长度为常数 这一限制的 猜想，也就使我们更加相信Yau猜想的正确性 本节更加有趣的部分是给出了 +
5、(1)的焦流形的第一特征值，这依赖于等参叶状结构的更加深 刻的几何性质 为了清晰的表述定理23，我们先作一些准备Cartan曾论证过，等参超曲面是一族平行超曲面 确切的讲，给定一个 (1)中的等参超曲面Mn，及其上的一个光滑单位法向量场 ，对每一点 M 和 ，我们可以定义映射 ：Mn_sn+ (1)， ( )=COS +sinei(x) 861 彦文娇：等参函数及相关问题研究 显然， ( )是沿穿过 的法测地线到M的定向距离为0的点如果对任意的 ：1， ，有00 ， 则 是与M定向距离为0的平行超曲面，记作mo如果对某个OL=1，g有0：0 ，容易发现对 于主分布Ec(z)= M J =cot
6、 )( 是关于 的形状算子)中的任意向量 ， ( ) X：(c0s0一sin0 c删 ) ： X：0， SIII 换言之，若cot0=cot0 为M的主曲率，则 8是等参超曲面的焦流形，也是S卅 (11的一个余维数 是m +1的子流形 我们把沿与 的定向距离为01的焦流形记作 ，其在Sn+ (1)中余维数为m1+1；把沿一 与M的定向距离为 一01的焦流形记作M2，其在sn+ (1)中余维数为m2+1根据Caftan恒等 式，焦流形尬和M2在 + (1)中都是极小的(参见文献1) 本节的另一个主要结果是关于维数在非稳定范围(参见文献25)内的焦流形的第一特征值 定理23 I19设M1为单位球面
7、Sn+ f1)1中有4个不同主曲率的等参超曲面的焦流形，其在 + (1)中余维数是m1+1如果其维数满足dimMt 2几+1，则 A1(M1)=dimM1 且 的重数为n+2类似的结论在M2上也成立 由这个定理，结合“9=4”时的已有分类结果，本文将着重研宄OTFKM一型的焦流形首先关注 OTFKM一型焦流形 如果3 dimM22n+3，或等价地，ml (m2+3)，定理23推出入1( ) =dimM2=2ml+m2这里假设条件3dimM22n+3是不可少的例如，Solomon26在OTFKM一 型的焦流形212上构造了一个特征值是4m的特征函数所以在稳定范围3dimM20自然地，人们会问 “
8、哪些流形具有正数量曲率的Riemann度量呢?”在近几十年，这个问题一直受到广泛而活跃的研究 首先，Lichnerowicz271在1962年证明了一个紧致spin流形上，如果它的A-genus非零，那么在其上 就不存在有正数量曲率的Riemann度量继他之后，Hitchin2s推广了这一结论，证明了若 上存 在有正数量曲率的Riemann度量，则KO一示性数 (M)KO一(pt)(当礼三0(mod 4)时，与A(M) 只相差一个因子1为零一个非常漂亮的推论是在一半的8j +1维和8 +2维怪球上是不存在有正 数量曲率的Riemann度量的针对上述问题的另一个里程碑式的结果是由Schoen和Y
9、au29给出 的fGromov和Lawson3o也独立地得到了相同结论)，他们建立了下面关于正数量曲率度量的“手术 定理” 定理GLsY 设 是一个有正数量曲率Riemann度量的紧致流形，则在任何通过在 上进 行余维数不小于3的手术得到的流形上，总能找到有正数量曲率的Riemann度量 受到SchoenYauGromovLawson的手术理论的启发，我们在一个有嵌入超曲面的Riemann流形 上，构造了新的具有丰富的几何性质的流形特别地，我们在单位球面的极小等参超曲面上实行了这 一方法，发现得到的新流形不仅有很复杂的拓扑，还有正数量曲率度量，甚至还保持了等参叶状结构 具体构造方法如下 给定一
10、个紧致连通的无边流形Xn(n3)设y一 c-_ n是 中的一个法丛平凡的连通嵌 入超曲面，满足-o(XY)0，那么y 把 n分成两个分支，记成 和X2，它们有相同的边 界y一 既然y在 中有平凡法丛，我们总可以取y上的一个单位法向量场，相对于 +，f是内 法方向 定义连续函数r：X -+ dist(x,y)， 【-dist( ，l，) 若z-X ， 若 X一， 其中dist(x，y)表示从点X到Y的距离显然， +( 一)恰好是满足r0(r0)的集合定义 ：X l r( )=r，让 足够小使得 仍然是一个嵌入超曲面我们把在y的一个邻域内 扩张成一个单位向量场，使得是 的法向 接下来，不失一般性，
11、我们只分析 考虑Riemann乘积空间x ，其上坐标为( ， )，对于 一个较小的 0，仿照文献30，我们可以定义一个 军X 中的超曲面M ， M ：=( ，t) X ：(r( )，t) ，r( ) ) 其中 是(7，)一平面上的一条曲线(如图1所示) 曲线7从t=0，r1r 的一个线段出发，以水平线段r：ro。0结束，这里ro。如我们要 求的足够小现在固定一点q=( ，t)M，对应到曲线 上的点(r，t)选择切空间 的一组单位 正交基e1，e2，e 一1，使得形状算子 可以表示为 e ： (r)e ，i=1，n一1那么，M在q 点处的相应主曲率可以写作入 = t(r)sin ，i=l，几一1
12、类似于Gromov和LAWSONS0J的观察， M n(2 X )的切向量也是M在x n 中的第二基本型的一个主方向，这里f是 +中从y出发的 彦文娇：等参函数及相关问题研究 图1 M 上的单位“外”法向量场，sin：=(N，) 一条测地线我们把这个切向量记为e N4,在q点处的第 n个主曲率即为 ： ， 在点(r，t)处 的(非负)曲率 注意到Gauss方程 硝=碟 +九 ， 1 ，J佗， 其中踏是M在平面e A ej上的截面曲率，Kix 是 + 上相应的截面曲率，以及x+ 上 的度量是乘积度量，即 其中 是 _的截面曲率我们得到M在诱导度量下的数量曲率 其中 RM= =R +2A sin
13、0+2kH(r)sin0 J ：= 。(r) (r) i10， 1 dim 去m(m+1)dim Span Pzx 1 ， =0，1，m，oL ) (43) 二 则对于 上的任意单位切向量X ，其Ricci曲率 Ric( )=2(fm一2)+2 ( ， )。 d，p=0， 卢 都不是常数，换言之，帆不是Einstein流形 我们继续挖掘单位球面中g=4的等参超曲面及其焦流形的几何性质，得到了下面这个更为广泛 的定理 定理42431单位球面中g=4的等参超曲面的两个： 流形都是单位球面的Willmore子流形 注43 对比可知，定理42大大推广了定理41的内容，这个结论不依赖于单位球面中g=4的
14、 等参超曲面的分类情况 如前所述，单位球面中的极小Einstein子流形都是Willmore子流形，那么就有一个自然的问题， 既然焦流形都是极小的，它们是Einstein的吗?我们提到了，对于OTFKM型等参超曲面，其焦流 形M+大部分都不是Einstein的实际上，根据(43)给出的充分条件，只有7个情况下， 可能是 Einstein的在这里，分别考虑9=4的等参超曲面的各个焦流形，我们给出了更加全面的回答 867 彦文娇：等参函数及相关问题研究 定理4343对于单位球面 + 中的9=4的等参超曲面的焦流形，有 (1)OTFKM一型的焦流形肌都不是Einstein的；OTFKM一型的焦流形
15、是Einstein流形 当且仅当它是(m+，m一)=(4，3)的齐性等参超曲面的焦流形，且微分同胚于 (2)； (2)当(m十，m一)=(2，2)时，微分同胚于定向Grassmann流形 ( s)的焦流形是 另一个微分同胚于Cp3的焦流形不是Einstein的； Einstein的 (3)当(m+，m一)=(4，5)时，两个焦流形都不是Einstein的 注44 在OT FKM一型等参族中，对应(m+，m一)=(4，3)有两个不等同的例子，一个是齐性的 另一个是非齐性的奇怪的是，只有对应齐性情形的 才是Einstein的 注45 根据单位球面中g=4的等参超曲面的分类，定理43实际上给出了除fm+，m一)：f7，8) 以外的所有Einstein的焦流形的分类，而且，所有己知的( rn+，m一)=(7，8)的例子都是OTFKM一型 的，所以定理43也证明了它们都不是Einstein的 致谢衷心感谢唐梓洲教授在作者5年研究生期间给予的细心指导和大力帮助，感谢葛建全博士、谢余铨博士和钱超 博士在作者研究生期间的学术合作及交流 参考文献 868 cecil T E，Ryan P TTight and Taut Immersions of Manifo
