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1、1第一章第一章 集集 合合第一第一讲讲 集合及其子集集合及其子集【 【知知识识要点要点】 】1集合的概念【析】 （1） 集合是一个不定义的原始概念，应注意集合概念中的“确切的对象”与“整体”两个词。（2） 集合中元素的性质：确定性；互异性；无序性。（3） 集合的分类：有限集、无限集和空集。（4） 常用数集：自然数集 N，正整数集 N*，整数集 Z，有理数集 Q，实数集 R。2集合的表示方法：列举法、描述法。 【析】 （1）列举法：将集合中的元素一一列举出来。（2）描述法：将集合中元素所具有的共同性质描述出来，起形式为x | P，其中 x 为元素的一般形式，P为元素的公共属性。（3）有时集合集合
2、也用图示法（数轴、韦恩图）来表示。3子集：若集合 A 中任何一个元素都属于集合 B，则集合 A 叫做集合 B 的子集，记作AB 或 BA。 【析】 （1）空集是任何集合的子集，即A。（2）集合 A 是其自身的子集，即 AA。（3）子集的传递性：若 AB，BC，则 AC。（4）若 AB，则 AB 或 A = B。4.相等的集合：对于两个集合 A 和 B，若 AB，且 BA，则叫做集合 A 与集合 B 相等，记作 A = B。【析】 相等的集合中的所含元素完全相同。5.真子集：对于集合 A 和 B，若 AB，且 B 中至少有一个元素不属于 A，则集合叫做集合 B的真子集，记作 AB 或 BA。【析
3、】 （1）空集是任何非空集合的真子集。（2）N*NZQR（3）连接元素与集合的符号有： 和。（4）连接集合与集合的符号有：，=等。2【 【学学习习目目标标】 】1理解集合的基本概念及元素与集合的关系；2掌握集合的表示方式；3理解子集、相等的集合、真子集的概念；4 . 能正确判断集合与集合之间的关系；5 . 培养正确使用数学语言进行表述的能力。【 【典型例典型例题题】 】1集合概念问题集合概念问题【例 1】用符号和填空：（1）若集合 A = x | x2 + 2 = 0，则 0_A；（2）若集合 B = x | x2 3x + 2 = 0，则 1_B;（3）若集合 C = y | y = -x2
4、 + 2，则 0_C；（4）若集合 D = y | y = x2 + 1，xZ，则（0，1）_D；（5）若集合 E = （x,y）| |x| = 2 且|y| = 1，则（-2,1）_E。【分析】理解集合的含义，注意集合表示的元素类型。【解答】 （1）；（2）；（3）；（4）；（5）.【例 2】已知集合 A = 1,2,3,4,n。记 A* = A 的所有子集。下列说法哪些是正确的？AA*；AA*；A*；A*；A*；A*。【分析】注意集合 A*的元素类型，并判断出 A*的元素应该有哪些。【解答】A*中的元素是 A 的子集，所以 A*是集合的集合，即 A*中的元素是集合，而 A 中的元素是数字，
5、所以是错误的；因为 A 是本身 A 的子集，所以 A 应该在集合 A*里，所以是正确的；空集是任何集合的子集，所以是正确的；又因为空集是集合 A 的子集，所以是在 A*里面，即也是正确的；表示集合的集合，这不是空集，里面有元素，而A*，显然是正确的，是错误的。【点评】注意和中的空集意义的不同，前者相当于一个没有装集合的空篮子，后者相3当于一个没有装数字的空篮子。2集合的表示方法集合的表示方法【例 1】用列举法表示下列集合：（1） A = x| 6,3Z xZx；（2） B = ( , )x y|6,xyxN yN；【分析】 （1）集合 A 中的元素 x 是整数，且 6 能被 3-x 整除；（2
6、）集合是点集，或者看成由方程 x+y=6 的所有自然数解组成的集合。【解答】 （1）集合 A 用列举法表示为-3,0,1,2,4,5,6,9；（2）取 x = 0,1,2,3,4,5,6，分别求出相应 y 的值为：6,5,4,3,2,1,0，所以集合 B 用列举法表示为（0,6） （1,5） （2,4） （3,3） （4,2） （5,1） （6,0）。【点评】注意数集与点集。【例 2】用另一种方法表示下列集合：（1）A = x|2(1)0xaxa；（2）A = x|abxab，a、b均为非零实数。【分析】根据集合元素的互易性进行分类讨论。【解答】 （1）易知方程2(1)0xaxa的实数根为 1
7、 和a，当a=1 时，A = 1；当a1 时，A = 1，a。（2）Qabxab，当0,0ab时，2x ；当0,0ab时，2x ；当0ab 时，0x 。综上，A = 2,0,2。3集合之间的关系问题集合之间的关系问题【例 1】设集合 A = 2,a aab，B = 1, , a b，且 A = B，求实数ab、的值。【分析】要使有限集合 A 与 B 相等，须使集合 A 与 B 中所有元素分别相等。4【解答】若21ab ab ，则1 1a b ，这不满足集合互异性，舍去；若21a ab b ，则1a （舍去）或1a ，1 0a b 【例 2】已知集合 B = ( , )|21x yyx，且集合
8、A、C 满足 ABC，请用列举法写出一个集合 A，用描述法写出一个集合 C。【分析】首先分析集合 B 是怎样的一个集合，由于题目只需要求出满足条件的一个集合 A和 C，所以答案是不唯一的。【解答】集合 B 的元素是一条直线上的点，要 A 是 B 的真子集，且要使用列举法来表示A，我们可以求出 B 中几个点，如令 A = （1,1） ， （2,3），则 A 是 B 的真子集。同样的，要 B 是 C 的真子集，C 集合的点一定要比 B 的多，可以用逻辑连接词“或”来解决这个问题，如令 C = ( , )|2121x yyxyx或，则 B 是 C 的真子集。当然，也可以令 C = ( , )|(21
9、)(21)0x yxyxy，和上面的 C 是一样的（思考为什么） 。【点评】答案不唯一的时候，使用最简单的答案，将犯错误的概率降到最小。【 【基基础训练础训练】 】1 下列说法中，正确的是（ ）A集合6,9和集合9.6是两个不同的集合B数轴上到原点为 1 的点的全体可构成一个集合C若*,aNbN，则ab最小值为 2D集合|y yx与集合|x yx是不同的集合2 集合 A 中的元素是被 3 除余 2 的数，用描述法表示为_；3 设集合 A = | 13xx ，B = xa，满足 AB，则a的取值范围_；4 若集合 M = 1，a，N = 1，a2，且 M = N，则实数 a 的值为_；5 集合
10、A = 21, , a aa，则a应满足的条件为_；6 已知集合 A = 1,x，B = 1,2,x，C = 21,2,4,x，且 ABC，求实数x的范围。7 已知集合 M = 22( , )|20,x yxyxyxR yR且，请写出 M 的所有子集；58 对于所含元素为实数的集合 A，若aA，则1 1aAa，请解答下列问题：（1）已知2A，求集合 A；（2）试找出一个数b，使得bA，并求出 A；（3）根据已知已知条件和（1） （2） ，你能得出什么结论？（写出一个你认为正确的即可，不必证明）【 【能力提高能力提高】 】1.若集合 A = 0,2,3，集合 B = |,x xab abA、，则
11、 B 的子集个数为（ ）A16 B14 C12 D102.若集合 A = *34|,5nn nNnN，集合 B = 2*|(21)1,x xkkN，则集合A 与 B 的关系为（ ）ABA BAB CA = B DAB3.“若集合 A = ，则一方面A，另一方面A。 ”像这样既是集合 A 的子集，又可以看成集合 A 的元素的集合还有很多，请你写出一组具有这种性质的非空集合 A与 B：_；4.集合 A = |(2)(1)(21)0xxxx ，B = 2|0x xaxb ，若 AUB = |2x x ，AIB = 1|32xx ，求, a b的值。5.已知集合 A = 1|,24x xkkZ，集合
12、B = 1|,42x xkkZ，试探索集合 A 和 B 之间的关系，并证明你的结论。6第二第二讲讲 集合及其子集集合及其子集【 【知知识识要点要点】 】1交集： |ABx xAxBI且【析】 （1） 交集的性质：;ABBAII;AAAI;A I;ABAI;ABBI（2） 若,;,ABAABABABAII则若则2并集： |ABx xAxBU或【析】 （1） “交集”与“并集”的定义仅一字之差，但结果却完成不同， “交集”中的“且”有时可省略，而“并集”中的“或”不能省略（2）并集的性质：;ABBAUU;AAAU;AA U;AABU;BABU（3）若,;ABABABAABAUU则若，则（4）集合的
13、运算满足分配率：()()()ABCABACIUIUI()()()ABCABACUIUIU3补集： |UC Ax xUxA且【析】 （1） 补集是相对于全集而言的，全集不同，相应的补集也不同（2） 补集的性质：;UAC A I;UAC AUU()UUCC AA（3） 摩根定理：();UUUCABC AC BUI()UUUCABC AC BIU【 【学学习习目目标标】 】掌握交集和并集的概念会进行交集和并集的运算理解全集和补集的概念7会借助于数轴或韦恩图进行集合的交运算，并运算和补运算【 【典型例典型例题题】 】1集合的基本运算问题集合的基本运算问题【例 1】若集合 A = |5x x ，当全集
14、U 分别取下列集合时，写出UA。（1）U = R；（2）U = |0x x ；（3）U = |5x x 。【分析】由于所给的全集不同，所以同一个集合的补集也不同。【解答】 （1）UA= |5x x ；（2）UA |05xx；（3）UA |55x x。【例 2】若222,1,31,1,3,2AaaaBaaa，当2,3AB I时，求实数a。【分析】由条件2,3AB I可知，2,3,2,3AAAB,再根据集合的互异性可求解。【解答】3AQ213313aaa 或，若前者成立，4a ，此时2313aa ，这与集合的互异性矛盾，所以只能是2313aa ，解出41aa 或，4a 舍去，所以1a ，此时集合2,3,4B 满足条件。2集合与集合之间的混合运算集合与集合之间的混合运算【例 1】2(2)10,Ax xaxxRARa I设集合, 若，求实数的集合。【分析】由题意知方程2(2)10xax 没有正实数根。【解答】当A 时，即0 ，2(2)40a，40a
