《高中数学 函数的基本性质考点和习题训练》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学 函数的基本性质考点和习题训练（14页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、普通高中课程标准实验教科书数学 人教版高三新高三新数学数学第一轮复习教案（讲座第一轮复习教案（讲座 3）函数的基本性质函数的基本性质一课标要求一课标要求 1通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性、最大（小）值及其几 何意义； 2结合具体函数，了解奇偶性的含义； 二命题走向二命题走向 从近几年来看，函数性质是高考命题的主线索，不论是何种函数，必须与函数性质 相关联，因此在复习中，针对不同的函数类别及综合情况，归纳出一定的复习线索。 预测 2007 年高考的出题思路是：通过研究函数的定义域、值域，进而研究函数的 单调性、奇偶性以及最值。 预测明年的对本讲的考察是： （1）考察函数性质的选
2、择题 1 个或 1 个填空题，还可能结合导数出研究函数性质 的大题； （2）以中等难度、题型新颖的试题综合考察函数的性质，以组合形式、一题多角 度考察函数性质预计成为新的热点。 三要点精讲三要点精讲 1奇偶性 （1）定义：如果对于函数 f(x)定义域内的任意 x 都有 f(x)=f(x)，则称 f(x)为奇函 数；如果对于函数 f(x)定义域内的任意 x 都有 f(x)=f(x)，则称 f(x)为偶函数。 如果函数 f(x)不具有上述性质，则 f(x)不具有奇偶性.如果函数同时具有上述两条性 质，则 f(x)既是奇函数，又是偶函数。 注意：函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是
3、函数的整体性质；1由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内2的任意一个 x，则x 也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称） 。 （2）利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；1确定 f(x)与 f(x)的关系；2作出相应结论：3若 f(x) = f(x) 或 f(x)f(x) = 0，则 f(x)是偶函数； 若 f(x) =f(x) 或 f(x)f(x) = 0，则 f(x)是奇函数。 （3）简单性质： 图象的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称；一个 函数是偶函数的充要条件是它的图象
4、关于 y 轴对称；设，的定义域分别是，那么在它们的公共定义域上：( )f x( )g x12,D D奇+奇=奇，奇奇=偶，偶+偶=偶，偶偶=偶，奇偶=奇 2单调性 （1）定义：一般地，设函数 y=f(x)的定义域为 I， 如果对于定义域 I 内的某个区间 D 内的任意两个自变量 x1，x2，当 x1f(x2)） ，那么就说 f(x) 在区间 D 上是增函数（减函数） ； 注意：函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；1必须是对于区间 D 内的任意两个自变量 x1，x2；当 x10 与 a 0 时，), 0()0 ,(|aaaaxaxaU 函数的定义域为，当 a 0 时，f
5、(x)为奇函数；xxaxfax22 )(, 0|,2,2,2)(, 0|2122axaxaxxaxfax称的两点取定义域内关于原点对Q既不是奇函数，也不是偶函)(,0, 033 53)2()2(xfaafaf时当 Q数. 点评：判断函数的奇偶性是比较基本的问题，难度不大，解决问题时应先考察函数 的定义域，若函数的解析式能化简，一般应考虑先化简，但化简必须是等价变换过程 （要保证定义域不变） 。 例 2(2002 天津文.16)设函数 f（x）在（，+）内有定义，下列函数：y=|f（x）|；y=xf（x2） ；y=f（x） ；y=f（x）f（x） 。 必为奇函数的有_（要求填写正确答案的序号）
6、答案：；解析：y=（x）f（x）2=xf（x2）=y；y=f（x）f（x） =y。 点评：该题考察了判断抽象函数奇偶性的问题。对学生逻辑思维能力有较高的要求。题型二：奇偶性的应用 例 3 （2002 上海春，4）设 f（x）是定义在 R 上的奇函数，若当 x0 时，f（x） =log3（1+x） ，则 f（2）=_ _。 答案：1；解：因为 x0 时，f（x）=log3（1+x） ，又 f（x）为奇函数，所以 f（x）=f（x） ，设 x0，所以 f（x）=f（x）=f（1x） ，所以 f（2） =log33=1。 点评：该题考察函数奇偶性的应用。解题思路是利用函数的奇偶性得到函数在对称 区域
7、上函数的取值。 例 4已知定义在 R 上的函数 y= f(x)满足 f(2+x)= f(2x)，且 f(x)是偶函数，当x0，2时，f(x)=2x1，求 x4，0时 f(x)的表达式。 解：由条件可以看出，应将区间4，0分成两段考虑： 若 x2，0，x0，2，f(x)为偶函数， 当 x2，0时，f(x)= f(x)=2x1,若 x4，2 ，)4+ x0，2 ，)f(2+x)+ f(2x)， f(x)= f(4x)， f(x)= f(x)= f4（x）= f(4+x)=2（x+4）1=2x+7；综上，.)02(12)24(72)( xxxxxf点评：结合函数的数字特征，借助函数的奇偶性，处理函数
8、的解析式。题型三：判断证明函数的单调性例 5 （2001 天津，19）设，是上的偶函数。0a ( )xxeaf xaeR（1）求的值；（2）证明在上为增函数。a( )f x(0,)解：（1）依题意，对一切，有，即。xR()( )fxf x1x x xxeaaeaeae对一切成立，则，11()()x xaeae0xR10aa1a ，。0a 1a （2）(定义法)设，则120xx12121211()()xx xxf xf xeeee，2121121122111()(1)(1)xx xxxxx xxxxeeeeeee 由，得，12210,0,0xxxx21 120,10xxxxe 2110xxe，1
9、2()()0f xf x即，在上为增函数。12()()f xf x( )f x(0,)（导数法），1a (0,)x211()1( )()0x xx xxxefxeeeee在上为增函数头 头头 头 头 头 头 头头 头 头 头 头 头 头http:/ 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头( )f x(0,)点评：本题用了两种方法：定义法和导数法，相比之下导数法比定义法更为简洁。例 6已知 f(x)是定义在 R 上的增函数，对 xR 有 f(x)0，且 f(5)=1，设 F(x)= f(x)+，讨论 F (x)的单调性，并证明你的结论。)(1 xf解：这是抽角函数的单调性问题，应该用单
10、调性定义解决。 在 R 上任取 x1、x2，设 x110 时 f(x)1; 若 x1x15，则 f(x2)f(x1)1 , f(x1)f(x2)1, 0, )()(1121xfxf F(x2) F (x1)；综上，F (x)在（，5）为减函数，在（5，+）为增函数。点评：该题属于判断抽象函数的单调性。抽象函数问题是函数学习中一类比较特殊的问题，其基本能力是变量代换、换元等，应熟练掌握它们的这些特点。题型四：函数的单调区间例 7 （2001 春季北京、安徽，12）设函数 f（x）（ab0） ，求 f（x）bxax 的单调区间，并证明 f（x）在其单调区间上的单调性。.解：在定义域内任取 x1x2
11、，f（x1）f（x2）)()()(2121212221 bxbxaxbxbxax bxax bxax ，)()(2121 bxbxxxab ab0，ba0，x1x20， 只有当 x1x2b 或bx1x2时函数才单调 当 x1x2b 或bx1x2时 f（x1）f（x2）0f（x）在（b，）上是单调减函数，在（，b）上是单调减函数点评：本小题主要考查了函数单调性的基本知识。对于含参数的函数应用函数单调性的定义求函数的单调区间。例 8 （1）求函数的单调区间；2 0.7log(32)yxx（2）已知若试确定的单调区间和单调2( )82,f xxx2( )(2)g xfx( )g x性。解：（1）函数
12、的定义域为，), 2() 1 ,(分解基本函数为、ty7 . 0log232xxt显然在上是单调递减的，而在ty7 . 0log), 0( 232xxt上分别是单调递减和单调递增的。根据复合函数的单调性的规则：), 2(),1 ,(所以函数在上分别单调递增、单调递减。2 0.7log(32)yxx), 2(),1 ,(（2）解法一：函数的定义域为 R，分解基本函数为和。82)(2xttfg22tt显然在上是单调递减的，上单调递增；82)(2xttfg), 1 ( ) 1 ,(而在上分别是单调递增和单调递减的。且22xt), 0(),0 ,(，1122xx根据复合函数的单调性的规则：所以函数的单
13、调增区间为；单调减区间为。(, 1),(0,1) (1,),( 1,0)解法二：，222( )82(2)(2)g xxx4228xx ，3( )44g xxx 令 ，得或，( )0g x1x 01x令 ，或( )0g x1x 10x 单调增区间为；单调减区间为。(, 1),(0,1) (1,),( 1,0)点评：该题考察了复合函数的单调性。要记住“同向增、异向减”的规则。题型五：单调性的应用例 9已知偶函数 f(x)在(0，+)上为增函数，且 f(2)=0，解不等式 flog2(x2+5x+4)0。 解：f(2)=0,原不等式可化为 flog2(x2+5x+4)f(2)。 又f(x)为偶函数，
14、且 f(x)在(0，+)上为增函数，f(x)在(,0)上为减函数且 f(2)=f(2)=0。 不等式可化为 log2(x2+5x+4)2 或 log2(x2+5x+4)2 由得 x2+5x+44，x5 或 x0由得 0x2+5x+4得41x4 或1x2105 2105由得原不等式的解集为x|x5 或x4 或1x或 x0 。2105 2105例 10已知奇函数 f(x)的定义域为 R，且 f(x)在0，+上是增函数，是否存在实数 m，使 f(cos23)+f(4m2mcos)f(0)对所有0,都成立？若存在，求2出符合条件的所有实数 m 的范围，若不存在，说明理由。解：f(x)是 R 上的奇函数，且在0，+上是增函数，f(x)是 R 上的增函数，于是不等式可等价地转化为 f(cos23)f(2mcos4m)，即 cos232mcos4m,即 cos2mcos+2m20。 设 t=cos,则问题等价地转化为函数g(t)=t2mt+2m2=(t)2+2m2 在0，1上的值恒
