《二次函数知识点(2012版)好好好!》由会员分享，可在线阅读，更多相关《二次函数知识点(2012版)好好好!（12页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1二次函数秘籍一、二次函数概念：1一般地，形如2yaxbxc（abc，是常数，0a ）的函数，叫做二次函数。当 时，它是二次函数；当 时，它是一次函数；当 时，它是正比例函数。2. 二次函数2yaxbxc（0a ）的结构特征： 等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是 2 abc，是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项二、二次函数图像与性质1、二次函数基本形式：2yax（0a ，b=0,c=0） a a 的绝对值越大，抛物线的开口越小；的绝对值越大，抛物线的开口越小；a a 的绝对值越小，抛物线的开口越大的绝对值越小，抛物线的开口越大a的符号图像开口方 向顶点坐标
2、对称轴增减性最值与坐标轴交点与 x 轴交点个数及距离0a y=x22y=2x2y=x2向上00，y轴 即：直线X=0当0x 时，y随x的增大而增大；当0x 时，y随x的增大而减小；0x 时， y有最小值0X 轴（0,0）Y 轴（0,0）1 个距离：00a y=-2x2y= -x2y= -x22向下00，y轴 即：直线X=0当0x 时，y随x的增大而减小；当0x 时，y随x的增大而增大；0x 时， y有最大值0X 轴（0,0）Y 轴（0,0）1 个距离：022、二次函数基本形式： （0a ，b=0,k0） 2yaxka的符号图像开口方 向顶点坐标对称轴增减性最值与坐标轴交点与 x 轴交点个数及距
3、离0a 向上(0, )ky轴 即：直线X=0当0x 时，y随x的增大而增大；当0x 时，y随x的增大而减小；0x 时， y有最小值 kX 轴：无Y 轴(0, )k0 个距离：不存在0a 向下(0, )ky轴 即：直线X=0当0x 时，y随x的增大而减小；当0x 时，y随x的增大而增大；0x 时， y有最大值 kX 轴：无Y 轴(0, )k0 个距离：不存在3、二次函数基本形式：2ya xh（0a ）a的符号图像开口方 向顶点坐标对称轴增减性最值与坐标轴交点与 x 轴交点个数及距离0a 向上0h，直线 X=h当xh时，y随x的增大而增大；当xh时，y随x的增大而减小；当xh时， y有最小值0X
4、轴：0h，Y 轴：(0, )2ah1 个距离：00a 向下0h，直线 X=h当xh时，y随x的增大而减小；当xh时，y随x的增大而增大；当xh时， y有最大值0X 轴：0h，Y 轴：(0, )2ah1 个距离：034、二次函数基本形式：顶点式2ya xhk（0a ）a的符号图像开口方 向顶点坐标对称轴增减性最值与坐标轴交点与 x 轴交点个数及距离0a 向上hk，直线 X=h当xh时，y随x的增大而增大；当xh时，y随x的增大而减小；当xh时， y有最小值kX 轴： 令 y=0Y 轴：令 x=00a 向下hk，直线 X=h当xh时，y随x的增大而减小；当xh时，y随x的增大而增大；当xh时， y
5、有最大值kX 轴：令 y=0Y 轴：令 x=05、二次函数基本形式：交点式 (注意：只有抛物线与轴有交点，即时，抛物线的解析式才可以用交点式表示)12()()ya xxxxx240baca的符号图像开口方 向顶点坐标对称轴增减性（对称轴 h=x=）12 2xx最值与坐标轴交点与 x 轴交点个数及距离0a 向上将对称轴代入算出y 的值?直线X= 12 2xx当xh时，y随x的增大而增大；当xh时，y随x的增大而减小；当 x= 12 2xxy有最小值?X 轴：A1( ,0)xB2(,0)xY 轴：令 x=02 个2214bacABxxa0a 向下将对称轴代入算出y 的值?直线X= 12 2xx当x
6、h时，y随x的增大而减小；当xh时，y随x的增大而增大；当 x= 12 2xxy有最大值?X 轴：A1( ,0)x同上4B2(,0)xY 轴：令 x=06、二次函数基本形式：一般式（，为常数，）配方！顶点式2yaxbxcabc0a 224 24bacbya xaa（1 1）配方：）配方：1.1.提取提取 a a（有负号要带）（有负号要带） ，常数，常数 C C 不动；不动；2.2.括号内加（减）一次项系数一半的平方；括号内加（减）一次项系数一半的平方；3 3 整理成顶点式整理成顶点式（2 2）图像与性质）图像与性质 a的符号图像开口方向顶点坐标对称轴增减性 (对称轴 h=)2bxa 最值与坐标
7、轴交点与 x 轴交点个数及距离0a 向上最低点：24 24bacb aa，直线2bxa 当xh时，y随x的增大而增大；当xh时，y随x的增大而减小；当时，2bxa 有最小值y24 4acb aX 轴： 令 y=0解方程！Y 轴：(0,c)2 个2214bacABxxa0a 向下最高点：24 24bacb aa，直线2bxa 当xh时，y随x的增大而减小；当xh时，y随x的增大而增大；当时，2bxa 有最大值y24 4acb aX 轴：令 y=0解方程！Y 轴：(0,c)同上！（3 3）二次函数）二次函数（）图象的画法：）图象的画法：2yaxbxc0a 五点绘图法：利用配方法将二次函数化为顶点式
8、，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.2yaxbxc2()ya xhk一般我们选取的五点五点为：顶点、与轴的交点、以及关于对称轴对称的点、与轴的交点，（若与轴没有交点，则取两组关于对称y0c，0c，2hc，x10x ，20x ，x轴对称的点）.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与轴的交点，与轴的交点.xy（4 4）二次函数的图象与系数）二次函数的图象与系数 a,b,ca,b,c 之间的关系之间的关系51. 二次项系数：二次函数中，作为二次项系数，显然 当时，抛物线开口向上，的值越大，开口越小，反之的值越小，开口越大；a2yaxbxca0a 0a
9、 aa 当时，抛物线开口向下，的值越小，开口越小，反之的值越大，开口越大决定了抛物线开口的大小和方向，的正负决定开口方向，的大小决定开口的大0a aaaaa小2. 一次项系数：在二次项系数确定的前提下，决定了抛物线的对称轴 “左同右异”的符号的判定：对称轴在轴左边则，在轴的右侧则babababx2y0aby0ab3. 常数项：决定了抛物线与轴交点的位置 当时，抛物线与轴的交点在轴上方，即抛物线与轴交点的纵坐标为正； 当时，抛物线与轴的交点ccy0c yxy0c y为坐标原点，即抛物线与轴交点的纵坐标为； 当时，抛物线与轴的交点在轴下方，即抛物线与轴交点的纵坐标为负y00c yxy4. a+b+
10、c 的值：当 x=1 时，函数取值； a-b+c 的值：当 x=1 时，函数取值。三、二次函数的平移问题：（口诀：（口诀：“变顶点式，左加右减，上加下减变顶点式，左加右减，上加下减” ）平移步骤： 将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标； 保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到处，具体平移方法如下：2ya xhkhk，2yaxhk，【 【 (h0)【 【 【 (h0)【 【 【 (k0)【 【 【 (h0)【 【 【 (h0)【 【 【 (k0)【 【 【 【 (k0）的图象2yaxbxc根的情况20(0)axbxca有两相异实根：12xx没有实根有两相同实根122bxxa 的解集（即 y0
11、）20(0)axbxca12|x xxxx或X 取一切实数 |2bx xa 10的解集（即 y0 必过一、三象限；k0 交 y 轴正半轴；b=0 过原点（0，0） ；b0 交 y 轴负半轴） 分类讨论：(1)轴（即 x=0）与抛物线得交点为()ycbxaxy2c,0(2)与轴平行的直线与抛物线有且只有一个交点(,).yhx cbxaxy2hcbhah2(3)抛物线与轴（即 y=0）的交点：x 有两个交点抛物线与轴相交；0x 有一个交点(顶点在轴上)抛物线与轴相切；x0x 没有交点抛物线与轴相离.0x (4)平行于轴的直线（y=k ,k 为常数）与抛物线的交点x112 2ykaxbxckyaxb
12、xc0 个交点.k 小于函数最小值，或 k 大于函数最大值。 1 个交点.直线过抛物线的顶点。k 等于函数的最值。2 个交点.k 大于函数最小值，或 k 小于函数最大值。两交点的纵坐标相等，设纵坐标为，则横坐标是的两个实数根.kkcbxax2(5)一次函数的图像 与二次函数的图像的交点0knkxyl02acbxaxyG的解的个数来确定：22 2()0ykxnaxbxckxnaxbk xnyaxbxc 方程有两组不同的解时与有两个交点; 0lG 方程只有一组解时与只有一个交点；0lG 方程无解时与没有交点.0lG九、二次函数的最值问题：开口向上，函数有最低点，当 x 取对称轴时，函数有最小值。开
13、口向下，函数有最高点，当 x 取对称轴时，函数有最大值。（2）二次函数在给定范围上的最值问题。设，则二次函数在上的最大、最小值有如下的分布情况： 02acbxaxxfmxnabnm2nabm2nmab2函数一般式2yaxbxc顶点式2ya xhk交点式12()()ya xxxx最值当时，有最值2bxa y24 4acb a当xh时，y有最小值k当 x= ，y有最小值?12 2xx12图象最大、最小值 nfxfmfxfminmax abfxfmfnfxf2,maxminmax mfxfnfxfminmax当二次函数开口向上时，自变量的取值离开对称轴对称轴越远，则对应的函数值越大；反过来，当二次函数开口向下时，自变量的取值离开对称轴对称轴轴越远，则对应的函数值越小
