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1、掌握“解直角三角形”的学习要点解直角三角形的知识被广泛地应用于测量、工程技术和物理学中，主要是用来计算距离、高度和角度。因此这部分内容比较广泛，并且具有综合技术应用价值。为使同学们能顺利掌握本章内容，特向同学们提供本章的学习要点。一、掌握一个概念锐角三角函数的概念是学习好解直角三角形的基础，它集本章的重点、难点、关键于一身。所以同学们要特别重视对锐角三角函数概念的理解和记忆。该概念是建立在“在直角三角形中，当锐角固定时，它的任两边的比值是固定不变的”这样一个数学事实上，于是就有如下的锐角三角函数意义：如图 1，在 RtABC 中，C=90，则sinA=， cosA=ca,batgAcbsinB
2、=,cos,caBcbtgB=.abABCabc图1锐角三角函数的定义，是求锐角三角函数值最基本的方法，是学习好本章的基础。* 原载于中学生数学 （中国数学会普委会 首都师范大学） 2002 年第 2 期。二、抓住两种图形贯串于本章的两个基本图形就是同学们最为熟悉的锐角分别为 30、45的两直角三角形，也是同学们在小学里就已经使用的学具“一副三角板 ”(如图2，图3)，所形成的几何图形。从这两个基本的直角三角形中，还可直接求得特殊角的三角函数值，得到特殊角的三角函数表。三角函数304560Sin2122 23Cos23 22 21tg3313以后在用解直角三角形的知识解决其它数学问题时，通常也
3、是将已知图形(未知问题)转换为(通过添加辅助线 )以上两种特殊的三角形 (已知问题)来解。三、解决三类习题解直角三角形的习题有无数多个，可谓 “题海茫茫” ，但在这茫茫题海中，同学们只要会解以下三类习题，把握住这三种习题的解题脉膊和解题策略，那么就自然进入了一个 “解一题，会一片”的境界。题1 已知直角三角形中的一锐角及一条边，解此直角三角形例1如图4,已知在RtABC 中, C=90，A=30,=4,解此直角三A 2 1 B C 3图 2 A1 245B C 图 3 角形。分析 解此直角三角形即是求 B，b，c.A+B=90而A 已知，则B 可求。已知A，a，求b，因为tgA=，则b可求。b
4、a具备了上述已知条件，则c 必然可求(可用勾股定理，亦可用边角间的关系 )。题2 已知直角三角形的两边，解此直角三角形例2 如图5，已知在RtABC 中，C=90，a=，b=3，解此直角三角3形。分析 本题即是求c，A、B。因为知a、b，则通过勾股定理可求c。因为知a、b,则可通过边角关系求 A、B(本题亦可先求 A 或B，再通过边角间关系求c)。变式 若在RtABC 中，C=90，且解此直角三角形。 34322abba分析 本题可根据已知条件求出a，b(通过构造一元二次方程的方法求 a、b 的BA C 图 4 BA C 图 5 值)，则可将此题转化为题2 的问题来解决 (注意本题双解情况 )
5、。题3 已知一锐角，二边或三边间的一个等量关系解直角三角形例3 如图6，在RtABC 中，C=90，A=60，a+b=2，解此直角三角形。分析 若通过已知的二边关系能确定其中一边的大小，则本题又可转化为“题1 型”来解决。因此解决本题的关键即是通过二边关系来确定其中的一边，这个问题可通过tgA=来解决之.则本题可以得到圆满解决。ba四、强化四种思想数学的思想和方法是数学的灵魂，是学习数学的通法，具有“四两拨千斤 ”之效。因此，同学们在学习任何数学知识时，要注意学习和积累数学思想方法，把书学“薄” 。1、数形结合的思想 数形结合的思想是最重要的数学思想和数学方法之一。本章在锐角三角函数概念的建立
6、、推理论述、计算化简、解决实际问题时，都应该通过画图来帮助分析、解决问题，通过数形结合的思想加深对直角三角形本质的理解。例4 已知 tg=，求sin的值；的值。43 cossincossin 分析 由于“同角间的三角函数关系 ”不要求同学们掌握，那么不运用同角间的三角函数关系的知识解决之就比较困难。事实上我们可给已知条件tg=，以丰富的知识背景，即是在 RtABC 中，43AB C 图 6 C=90，B=(图7)，则有AC=3k，BC=4k，那么必有AB=5k，所以sin=，cos=,解决本题的巧妙之处正是见数 ()思形(直角三角形 )，充分展示 了53 54 43数形结合思想的魅力。2、转化
7、的思想 将不熟悉的数学问题转化为熟悉的数学问题来解决，这就是转化的思想。同学们在遇到不熟悉的数学问题要善于研究分析该问题的结构，通过“拼” 、 “拆” 、 “合” 、 “分”等方法将之转化为熟悉问题来解决。运用本章知识解决有关数学问题，就是要通过添加辅助线将图形转化为直角三角形来解决,而且要转化成两个最为熟悉的 (锐角为30和45)直角三角形来解决。例5 如图8，在ABC 中，B=60，C=45，AB=6，求AC。分析 本题给出的背景不是直角三角形，那么必须将它转化为直角三角形来解决。可过A 作ADBC 于D，那么就将原三角形转化为最为熟悉的 “一副三角板”的两直角三角形的问题来解决了。因此
8、“化斜为直”是解斜三角形的基本方法之一。(请同学们想一想为什么作AC 边上高或作AB 边上的高，不容易解决该问题？)例6 (如图9)在梯形ABCD 中，ABDC，AD=，DC=BC=2，A=30,32B=60,求AB。AB C 图 7 AB D C 图 8 分析 ：方法一：通过作梯形的二高，则可将梯形转化为最为熟悉的二直角形和矩形问题来解决。方法二：可通过延长梯形两腰AD、BC 交于E，构成一直角三角形，通过解RtEAB 和RtEDC 来求AB。(如图10)方法三：可通过平移一腰构成一直角三角形和一平行四边形的问题来解决，即过C 作CEAD 交AB 于E 的方法解决之 (如图11)。(同学们自
9、己完成方法一、方法二的解题过程 )AEFBDC3060图9AB图10CDEDCBAE 图113、方程的思想 在现实生活中有许多问题存在等量关系，利用等量关系来解决数学问题是数学中的基本方法。方程的思想就是把未知的量用字母表示，和已知量一起参与建立等式，从而通过构造方程 (组)的方法来解决问题。方程的思想体现了已知与未知的统一。例7 如图12，在ABC 中，B=45，C=30，BC=30+，求AB330的长。ACDB 图12分析 过A 作ADBC，完成了“斜化直”的使命，那么解决本题的关键就是抓住AD 是两最熟悉最简单直角三角形的公共边，若设 AD=X，则可建立x+的方程来解决之。330303x
10、4、建模的思想 将实际问题抽象成纯数学问题，这是数学建模的主要内容之一。同学们在学习中要注意数学应用题的建模锻炼，将实际问题数学化，以达到提高自己解决实际问题的能力，强化自己用数学的意识。例8 小岛P 的周围里处有暗礁，某舰艇沿北偏东 60的AM 航向航行，220在A 处测得P 岛的方向为北偏东30且距A 处40里，问若该舰艇不改变航向有无触礁的可能？若有可能触礁，问该舰艇在 A 处应再向北偏东偏离大于多少度，才有可能脱险？PAM NCD图13XY分析 本题形是航海问题，实是解直角三角形问题，即是要将航海问题抽象成纯数学问题，建立起 “解直角三角形的数学模型 (图13)” 。有无触礁问题，即是P 到AM 的距离是否大于里的问题。则可过P 作PCAM 于C，在RtPAC220中，求出PC 与作比较，显然PC有触礁的可能。触礁就必须改变航220220线，若设该舰艇在A 处按AN 的航线航行不会触礁，则有如下数学模型。过 P 作PDAN，则PD 必须大于，设PD=，则可求出 PAD，从而求出220220MAN，解决问题。显然，解应用题的策略为：实际问题 。问题的答案注意实验解数学问题纯数学问题数学化模建
