数学模型概述

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1、数 学 建 模 电 子 教 案 第 1 次课课 题第一章 数学模型概述 1.1 数学模型概念1.2 建模的方法和步骤 1.3 数学模型实例教学内容1、介绍数学建模课程的发展历史、数学模型的概念 2、数学建模的基本要求和步骤以及简单的数学模型教学目标1、使学生了解数学建模的发展，数学模型的应用 2、建立模型的方法和基本步骤，使学生了解数学建模课程对后继课程的作 用教学重点掌握数学模型的应用及模型的方法和步骤 教学难点各种数学模型的判断以及方法分析双语教学 内容、安 排Mathematical modeling 数学模型 model representation 模型表示 model parame

2、ter 模型参数 model evaluation 模型评价 modeling 模型建 立 model reduction 模型归纳 model hypothesis 模型假设教学手段、 措 施课堂讲授加多媒体演示 学生分组讨论作业、后 记学生自我设计一次作业 可以从书后自选题目 也可以通过调查自拟题目 教 学 过 程 及 教 学 设 计备注1.01.0 数学模型概述数学模型概述数学模型的历史可以追朔到人类开始使用数字的时代。随着人类使用数字，就不断地建立各种数学模型，以解决各种各样的实际问题。真正开始提出并研究它是 20 世纪 70 年代后，由于它的广泛性与实用性，于是迅速推广开来。大家可能

3、记得，从 20世纪 80 年代起，我国科技界兴起一股不论对什么问题进行研究，都要建立数学模型的风气。从此不论是经济、法律、医学、农业、交通、军事等领域，数学模型已不再是陌生的名词。在工程领域，电气工程师必须建立所要控制的生产过程的数学模型，以便对控制装置做出相应的设计和计算，才能实现有效的过程控制。气象工作者为了得到准确的天气预报，一刻也离不开根据气象站、气象卫星汇集的气压、雨量、风速等资料建立数学模型。生理医学专家有了药物浓度在人体内随时间、空间变化的数学模型，就可以分析药物的疗效，有效的指导临床用药。城市规划者需要建立一个包括人口、经济、交通、环境等大系统的数学模型，为领导层对城市发展规划

4、的决策提供科学依据。厂长经理们应该能够根据产品的需求状况、生产条件和成本、贮藏费用等信息，筹划出一个合理安排生产和销售的数学模型。就是在平时对大学生的综合素质测评、对教师的工作业绩的评定以及诸如访友、采购等日常活动，都可以建立一个数学模型，确立一个最佳方案。对于广大的科学技术工作者对大学生的综合素质测评、对数 学 建 模 电 子 教 案 第 1 次课教师的工作业绩的评定以及诸如访友、采购等日常活动，都可以建立一个数学模型，确立一个最佳方案。建立数学模型是沟通摆在面前的实际问题与数学工具之间联系的一座必不可少的桥梁。1.11.1 数学模型概念数学模型概念什么是数学模型数学模型？国外曾有人为它下了

5、一个简单的定义：把实际问题中各变量之间的关系用数学形式表示出来，叫数学模型数学模型。由于它的广泛性，这样的定义是难以真正理解它的真实含义的。下面举例来说明。 1、各种应用题的解过程都是数学模型。小学的数学题可以分为文字题、码字题两类，文字题较难，何况还可以有不同的方法、思路，这部分就是在建模。码字题是以有算式，只需要求解可看作是模型的求解。有这样一道题：鸡兔同笼，头共 46，足共128，鸡兔各几只？用 x,y 分别表示鸡与兔，可以列出方程x+y=46 ,2x+4y=128实际上，这组方程就是上述鸡兔同笼问题的数学模型。列出方程，原问题已转化为纯粹的数学问题。方程的解为 x=28,y=18,这就

6、是鸡兔同笼问题的答案。2、九大行星的发现过程。太阳系有金星、木星、水星、火星、土星、地球、天王星、海王星和冥王星等九大行星。在人类发展的历史长河中，很早就通过观察注意到了金、木、水、火、土五星与其他星不同，中国历史上的“五行”一说也来源于此。在伽利略、哥白尼的太阳中心说确立后，到它们与地球一起是太阳系的行星，不久又发现了天王星，之后就没有单纯依靠观测发现其它行星。微积分发展起来之后，人们开始计算太阳系每颗行星的轨道。科学家发现除了天王星之外，其它行星的理论轨道基本吻合，而天王星相差较大，仿佛受到变化的外力，估计有另外的行星通过万有引力在影响着它的运动。于是根据天王星运动的差异，经过计算确定在天

7、空的某一位置应有一颗行星，这样在确定的区域里去寻找，终于发现了第八颗行星海王星。后来，有人又用同样方法发行了冥王星。用数学模型的方法找到海王星的事例 ，是人类最初也是最重要的数学模型应用的范例。3、美国总统竞选的模拟。总统竞选是西方国家政治上的头等大事。早在 20 世纪30 年代美国有人企图用模拟的方法去预测一下评选结果，于是国家出资成立一个专门的预测机构。通过收集资料，设计不同的模拟方法，进行预测。开始没有使用计算机，后来使用计算机，前后预测了十几届的总统选举，都收到非常好的效果。首先选举结果没有预测错，其次票数也基本一致，这里主要是采用模拟模型。4、内燃机。从 20 世纪 80 年代初起，

8、国内兴起优化设计的风气，各行各业的设计部门纷纷采用各种方法对自己的设计进行优化。日本在这方面走在前面，各种产品小巧而精致，性能又好。内燃机设计行业首先注意到，内燃机的性能主要由进气过程、排气过程而决定，而两个过程由凸轮来完成，那么凸轮的形状设计自然是内燃机性能的主要决定因素了。但凸轮有许多个，每一条曲线的形状都影响性能，而性能也由许多指标构成。这比 n 维变量 m 个目标函数的非线性规划难得多，尽管许多人在这些方面做了大量工作，但是本质的问题数学模型的建立没有解决。至今仍是应用领域的一个有待解决的实际问题。又有人提出一种方法，排气管里的压力波能充分决定整机的工作性能，经研究这个压力波满足热传导

9、方程，而不同的设计对应着方程中参数 a 与初始条件、边界条件数 学 建 模 电 子 教 案 第 1 次课的改变 。 反过来确定 a 与一组初始条件、边界条件也就相当于进行了一个设计。于是采用计算机模拟这个热传导方程的发展过程，在反复调整边界与初始条件在模拟，寻找最优的性能就是一种全新的内燃机优化设计方法。5、冲压过程的有限元模型。冲压是汽车、拖拉机等行业非常重要的加工手段，即板材在压力下加工成型。模具是虫牙行业最重要的设备。成本最高，远超出常人的预想。一套模具在设计、制造出来以后，它的性能已经决定，不能更改。因此模具的设计与制造都是责任很大的工作，技术性要求很高，能否在设计时用计算机模拟一下所

10、设计的模具的工作性能呢？这是当今世界上公认的难题之一。我国年轻学者胡平教授潜心钻研近十年，基本上解决了这一难题，世界上公认他的成果处于首位。他是采用有限元刚度矩阵成功模拟了瞬间的钢板变形，指出危险应力区与具体的应力值，这样反复修改设计、反复模拟，即可得到性能优良的模具设计。6、到处都有数学模型的问题。不是只有那些大型、核心的问题才有数学模型问题。在我们身边到处都是需解决的问题。20 年前中央发下的售房的价格通知中，有这样一个公式，根据房子成本价、使用年限以及工龄等可算出应售出的价格。公式中有一括号，括号内是加减运算，其中一项是工龄，括号外是一乘法运算，因子是用房子使用年限构成的“成新率” ，含

11、义是按使用年限对房屋进行折旧。但是有心人马上能看出公式有毛病；工龄也被折旧了！本来对这样一个简单的公式，只要对大家都公平，没有仔细推敲，也都知道这不是出于数学工作者之手，不必求全责备。可偏偏不是这样，明显看出这种公式对工龄越长、住房越久的人越不公平。从这个问题更看出普及建模能力的必要性。从以上 我们可以看出数学建模的威力，它正在渗透在科学研究、工、农业生产、我们日常生活等各方面。那么数学建模的精确定义是什么呢？数学建模数学建模是运用数学的语言和工具，对部分现实世界的信息（现象、数据）加以翻译、归纳的产物。数学模型经过演绎、求解以及推断，给出数学上的分析、预测、决策或控制，再经过翻译和解释，回到

12、现实世界中。最后，这些推论或结果必须经受实际的检验，完成实践理论实践这一循环，如果检验的结果是正确或基本正确的，即可用来指导实际，否则，要重新考虑翻译、归纳的过程，修改数学模型。作为一种数学思考方法，数学模型是对现实的对象通过心智活动构造出的一种能抓住其重要而且有用的（常常是形象化的或者是符号的）表示。更具体的，它是指对于现实世界的某一特定对象，为了某个特定目的，做出一些必要的简化和假设，动用适当的数学工具得到的一个数学结构。它或者能解释特定现象的现实性态，或者能预测对象的未来状况，或者能提供处理对象的最优决策或控制。数学模型的分类方法有多种，下面介绍常用的几种分类。（1）按照建模所用的数学方

13、法的不同，可分为：人口模型、运筹学模型、微分方程模型、概率统计模型、控制论模型等（2）按照数学模型应用领域的不同，可分为人口模型、交通模型、体育模型、经济预测模型、金融模型、环境模型、生理模型、生态模型、企业管理模型等。（3）按照人们对建模机理的了解程度的不同，有所谓的白箱模型、灰箱模型、黑箱模型。这是把研究对象比喻为一只箱子里的机关，我们要通过建模过程来揭示它的奥妙。白箱主要指物理、力学等一些机理比较清楚的学科描述的现象以及相应的工程技术问题，这些方面的数学模型大多已经建立起来，还需深入研究的主要是针对具体问题的数 学 建 模 电 子 教 案 第 1 次课特定目的进行修正与完善，或者是进行优

14、化设计与控制等。灰箱主要指生态、经济等领域中遇到的模型，人们对其机理虽有所了解，但还不很清楚，故称为灰箱模型。在建立和改进模型方面还有不少工作要做。黑箱主要指生命科学、社会科学等领域中遇到的模型机理知之甚少，甚至完全不清楚，故称为黑箱模型。人们对其在工程技术和现代化管理中，有时会遇到这样一类问题：由于因素众多、关系复杂以及观测困难等原因，人们也常常将它作为灰箱或黑箱模型问题来处理。应该指出的是，这三者之间并没有严格的界限，而且随着科学技术的发展，情况也是不断变化的。（1）按照模型的表现特性可分为：确定性与不确定性模型，不确定模型包括随机性与模糊性模型；静态模型与动态模型；离散模型与连续模型；线

15、性模型与非线性模型。1.21.2 建立数学模型的方法与步骤建立数学模型的方法与步骤现实世界中的实际问题是多种多样的，而且大多比较复杂，所以建立数学模型需要哪些步骤并没有固定的模式，建立数学模型的方法也是多种多样的。但是建立数学模型的方法和步骤也有一些共性的东西，掌握这些共同的规律，将有助于数学模型的建立。一、数学建模的方法一、数学建模的方法数学建模的方法按大类来分，大体上可分为三类：1 1、机理分析法、机理分析法机理分析法就是根据人们对现实对象的了解和已有的知识、经验等，分析研究对象中各变量（因素）之间的因果关系，找出反映其内部机理规律的一类方法。建立的模型常有明确的物理或现实意义。使用这种方

16、法的前提是我们对研究对象的机理应有一定的了解，模型也要求具有反映内在特征的物理意义。机理分析要针对具体问题来做，因而没有统一的方法。2 2、测试分析法、测试分析法 测试分析法是一种统计分析法。当我们对研究对象视为一个“黑箱”系统，对系统的输入、输出数据进行观测，并以这些实测数据为基础进行统计分析，按照一定准则找出与数据拟合最好的模型。当我们对对象的内部规律基本不清楚，模型也不需要反映内部特征时，就可以用测试分析建立数学模型。测试分析有一套完整的数学方法。3 3、综合分析法、综合分析法对于某些实际问题，人们常将上述两种建模方法结合起来使用，例如用机理分析法确定模型结构，再用测试分析法确定其中的参数。二、数学建模的基本步骤二、数学建模的基本步骤 1 1、模型准备、模型准备对原始实际问题进行调查了解，抽象出语言叙述的模型及相应的数据条件等，常称为原始模型。 （建模竞赛时常换为问题重述）实际上抽象出原始模型时常常已对模型的进一步建立