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1、人教人教 A A 版数学必修版数学必修 4 4 第二章平面向量教学设计第二章平面向量教学设计一、教材分析一、教材分析向量这一概念是由物理学和工程技术抽象出来的，是近代数学中重要和基本的数学概念 之一，它是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，有着极其丰富的实际背景和深刻的几 何背景，是解决几何问题的有力工具. 在数学和物理中都有广泛的应用在本单元中，学 生将了解向量丰富的实际背景，理解平面向量及其运算的意义，学习平面向量的线性运算、 平面向量的基本定理及坐标表示、平面向量的数量积、平面向量应用五部分内容.能用向 量语言和方法表述和解决数学及物理中的一些问题.发展运算能力和解决实际问题的能 力 1
2、 1本单元的教学内容的范围本单元的教学内容的范围（1）平面向量的实际背景及基本概念通过力和力的分析等实例，了解向量的实际背景，理解平面向量和向量相等的含义，理解向量的几何表示。（2）向量的线性运算 通过实例，掌握向量加、减法的运算，并理解其几何意义。 通过实例，掌握向量数乘的运算，并理解其几何意义，以及两个向量共线的含义。 了解向量的线性运算性质及其几何意义。（3）平面向量的基本定理及坐标表示 了解平面向量的基本定理及其意义。 掌握平面向量的正交分解及其坐标表示。 会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算。 理解用坐标表示的平面向量共线的条件。（4）平面向量的数量积 通过物理中“功”等实例，理解
3、平面向量数量积的含义及其物理意义。 体会平面向量的数量积与向量投影的关系。 掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算。 能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系。（5）向量的应用经历用向量方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其他一些实际问题的过程，体会向量是一种处理几何问题、物理问题等的工具，发展运算能力和解决实际问题的能力。本章知识结构如下：根据数学知识的发展过程与学生的认知过程安排内容根据数学知识的发展过程与学生的认知过程安排内容向量是高中数学课程近年来引进的新内容，为了保证其科学性，同时又易于被学生接受，根据向量知识的发展过程和学生的思维规律，
4、根据“标准”对向量内容的定位，并考虑到学生在数及其运算中建立起来的经验，本章按照如下次序来编排：向量的实际背景及基本概念一向量的线性运算一平面向量基本定理及坐标表示一向量的数量积一向量应用举例.课标要求的具体化和深广度分析课标要求的具体化和深广度分析平面向量的实际背景及基本概念 标准表 述标准要求的具体化和深广度分析大纲相应的要 求 通过力和 力的分析等实 例，了解了解向量 的实际背景， 理解平面向量 和向量相等的 含义，理解理解向 量的几何表 示如：用向量a a表示向东走了3km，则-a a表示_一辆汽车从 A 地出发向西行驶了 100km， 到达 B 地，可以用向量a a表示，那么从 B
5、地出发 到 A 达地应如何表示？ 向量a a，b b都是非零向量，下面说法不正确 的是（ ） （A）向量a a与b b反向，则向量a a+b b与向量a a 的方向可能相同 （B）向量a a与b b反向，则向量a a+b b与向量b b 的方向可能相同（C）向量a a与b b反向，且abrr ，则向量a a+b b与向量a a的方向可能相同（D）向量a a与b b反向，且abrr ，则向量a a+b b与向量a a的方向可能相同理解理解向量的概念，掌掌 握握向量的几何表示， 了解共线向量向量的线性运算 标准表 述标准要求的具体化和深广度分析大纲相应的要 求 通过实例通过实例， 掌握向量加、 减
6、法的运算，如：若向量a a表示向东走了2km，b b表示向南 走了1km，则a ab b表示_ 已知下列各式掌握向量的加法与 减法，并理解其几何 意义平面向量、实际背景平面向量、实际背景向量及其基本概念向量及其基本概念 线性运算线性运算向量的数量积向量的数量积基本定理基本定理坐标表示坐标表示向量的应用向量的应用并理解其几何 意义 通过实例通过实例， 掌握向量数乘 的运算，并理 解其几何意义， 以及两个向量向量 共线的含义共线的含义 了解向量的 线性运算性质 及其几何意 义ABBCCAuuu ruuu ruu u r ；ABMBBOOMuuu ruuu ruuu ruuuu r ；OAOBBOC
7、Ouu u ruuu ruuu ruuu r ；ABACBDCDuuu ruuu ruuu ruuu r ；其中结果为零向量的个数为（ ） （A）1（B）2（C）3（D）4 已知向量a a，b b满足AB uuu r a a+2b b，BC uuu r5a a+6b b，CD uuu r 7a a2b b，则一定共线的三点是（ ） （A）A，B，D （B）A，B，C （C）B，C，D （D）A，C，D如：在ABC中，D，F分别是AB，AC的中点，BF与CD交于O，设AB uuu r a a，AC uuu r b b，用a a，b b表示向量AOuuu r掌握实数与向量的 积的运算，理解两个 向
8、量共线的充要条向量共线的充要条 件件 会进行向量的线性 运算平面向量的基本定理及坐标表示 标准表 述标准要求的具体化和深广度分析大纲相应的要 求 了解平面向 量的基本定理 及其意义及其意义 掌握掌握平面向 量的正交分解 及其坐标表 示 会用坐标表 示平面向量的 加、减与数乘 运算 理解用坐标 表示的平面向 量共线的条 件如：某人在静水中游泳，速度为每小时3km， 水流的速度为每小时4km，如果他要垂直游到 对岸，则他的实际速度是多少？ 如：已知平行四边形ABCD的三个顶点坐标分 别为A(-2，1)，B（3，4） ，C（-1，3） ，则顶点D的坐标为_如：已知如：已知(0,1)A，(3, 4)B
9、且点且点C在在AOB的平分线上，若的平分线上，若2OC ，则向量，则向量OC uuu r _已知向量( ,12)OAkuu u r ，(4,5)OB uuu r ，(,10)OCk uuu r 且A，B，C三点共线，则k _了解平面向量的基 本定理 理解平面向量的坐 标的概念 掌握平面向量的坐 标运算 理解两个向量共线 的充要条件充要条件ABCDEF平面向量的数量积 标准表 述标准要求的具体化和深广度分析大纲相应的要 求 通过物理中通过物理中 “功功”等实例，等实例， 理解理解平面向量 数量积的含义 及其物理意 义 体会体会平面向 量的数量积与 向量投影的关 系 掌握数量积 的坐标表达式， 会
10、会进行平面向 量数量积的运 算 能能运用数量 积表示两个向 量的夹角，会会 用数量积判断 两个平面向量 的垂直关系如：用两根夹角为120o角的等长的绳子悬挂一个灯具，若灯具的重量为 10N，则每根绳子的 拉力大小是_如：已知点(0, 1)A，(2,2)B，( 4,6)C ，则ABuuu r 在ACuuu r 上的投影的值为_如：a a= =（3，2） ，b b=（4，k） ，若（5a ab b）（3a ab b）=55，求实数k的值如：两单位向量a a，b b的夹角为60o，则两向量p p=2a a+b b与q q=3a a+2b b的夹角为_ 换垂直的题明确平面向量数量 积的定义、数学表达
11、式及其几何意义 明确向量b b在向量 a a的方向上的投影 掌握数量积的公式， 能能进行数量积的运算 明确两向量夹角的 意义，掌握两向量垂 直的充要条件，能用 两种形式表示向量垂 直的充要条件向量的应用 标准表 述标准要求的具体化和深广度分析大纲相应的要 求 经历经历用向量方 法解决某些简 单的平面几何 问题、力学问 题与其他一些 实际问题的过 程，体会体会向量 是一种处理几 何问题、物理 问题等的工具， 发展发展运算能力 和解决实际问 题的能力如图，在平行四边形ABCD中，1 3DEDC，AE与BD交于F，用向量的方法证明： 1 4DFDB实际问题如：一条河的两岸平行，河的宽度为 0.4km
12、，一艘船从一岸边的A处出发驶向对岸，已知船速为15kmvhu r ，水速为23kmvhu u r ，欲使航行最短，则所用时间为_掌握平面两点间的距 离公式、 掌握线段 的定比分点和中点坐 标公式、平移公式， 并能熟练运用，会用 平面向量数量积处理 长度、角度等有关问 题（2 2）本单元变化之处本单元变化之处 删繁就简，降低了知识的难度调整章节，凸显了知识的框架 贴近生活，重视了知识的应用 （3 3）人教人教 B B 版向量一章的教材特点版向量一章的教材特点强调向量法的基本思想，明确向量运算及运算律的核心地位向量具有明确的几何背景，向量的运算及运算律具有明显的几何意义，因此涉及长度、 夹角的几何
13、问题可以通过向量及其运算得到解决.另外，向量及其运算(运算律)与几何图形 的性质紧密相联，向量的运算(包括运算律)可以用图形直观表示，图形的一些性质也可以用 向量的运算(运算律)来表示.例如，平行四边形是表示向量加法和减法的几何模型，而向量的加法及其交换律(=+abb+a)又可以表示平行四边形的性质(在平行四边形 ABCD 中， ADBC，ABCD，ABDCBD).这样，建立了向量运算(包括运算律)与几何图形之间 的关系后，可以使图形的研究推进到有效能算的水平，向量运算(运算律)把向量与几何、代 数有机地联系在一起.几何中的向量方法与解析几何的思想具有一致性，不同的只是用“向量和向量运算”来
14、代替解析几何中的“数和数的运算”.这就是把点、线、面等几何要素直接归结为向量，对 这些向量借助于它们之间的运算进行讨论，然后把这些计算结果翻译成关于点、线、面的相 应结果.如果把解析几何的方法简单地表述为形到数数的运算数到形， 则向量方法可简单地表述为形到向量向量的运算向量和数到形.教科书特别强调了向量法的上述基本思想，并根据上述基本思想明确提出了用向量法解决几何问题的“三步曲”.为了使学生体会向量运算及运算律的重要性，教科书注意引导学生在解决具体问题时及时进行归纳，同时还明确使用了“因为有了运算，向量的力量无限；如果没有运算，向量只是示意方向的路标”的提示语.说明：由于我们按照必修说明：由于
15、我们按照必修 1 1，必修，必修 4 4 的顺序进行教学，因此向量法这种解决问题的方法的顺序进行教学，因此向量法这种解决问题的方法 就显得尤其重要，他为今后学习解析法奠定了基础。就显得尤其重要，他为今后学习解析法奠定了基础。 二、教学方式概述二、教学方式概述 人教人教 B B 版教材对教师的教学方式，教师驾驭课堂的能力，教师把握教材的程度提出了更高的版教材对教师的教学方式，教师驾驭课堂的能力，教师把握教材的程度提出了更高的 要求。要求。 讲授启发式、自主探究式 向量是以往高中课程中已经出现的内容，新课标教材考虑的是通过改进呈现方式，提供 直观感知、观察发现、归纳类比、空间想象、抽象概括、符号表示、运算求解、数据处理、 演绎证明、反思与建构等思维活动的载体，达到体现数学教育新理念，促使学生采取积极主 动、勇于探索的学习方式进行学习，教师改进教学方式，可以提高教学质量，使学生打好数 学基础，提高数学思维能力 1引导学生用数学模型的观点看待向量内容 2加强向量与相关知识的联系性，使学生明确研究向量的基本思路 3引导学生认真体会向量法的思想实质掌握向量法的“三步曲”：(1)建立平面几何与向量的联系，用向量
