向量组的线性相关性优秀课件

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1、 第四章第四章 线性方程组的理论线性方程组的理论第三节第三节 向量组的线性相关性向量组的线性相关性本节要点：本节要点：l 掌握掌握n维向量组的线性组合维向量组的线性组合l 掌握掌握向量组线性相关、线性无关的定义向量组线性相关、线性无关的定义 及判别定理及判别定理向量组的线性相关性优秀课件一、向量组的线性组合（线性表示）一、向量组的线性组合（线性表示） P901、概念、概念若若称称 可由可由 线性表示线性表示引例：引例：对同维数向量对同维数向量定义定义 : 由同维数的向量所构成的集合由同维数的向量所构成的集合 称为称为向量组向量组向量组的线性相关性优秀课件再如再如即即称称 可由可由 线性表线性表

2、示示向量组的线性相关性优秀课件 定义定义1 对于给定的向量组对于给定的向量组 P90 若存在一组数若存在一组数 ，使得，使得 则称向量则称向量 可由向量组可由向量组 线性表示。线性表示。 或向量或向量 是向量组是向量组 的线性组合。的线性组合。向量组的线性相关性优秀课件【例【例1】零向量是任意向量组的线性组合】零向量是任意向量组的线性组合 因为：对任意向量组因为：对任意向量组 都有都有即取即取k1= k2= km=0,则有则有成立成立故零向量是任意向量组故零向量是任意向量组 的线性组的线性组合合P91向量组的线性相关性优秀课件【例【例2】证明任一个证明任一个n维向量维向量 都可由都可由n维向量

3、组维向量组 线性表示。线性表示。要证：存在一组数要证：存在一组数k1, k2, ,kn,使使证明：证明：所以，取所以，取k1=a1, k2=a2, , kn=an,则有则有 成立成立即向量即向量 可由向量组可由向量组 线性表线性表示示n维单位向量组维单位向量组P91向量组的线性相关性优秀课件【例【例3】线性方程组】线性方程组 有解的有解的充要条件是充要条件是 可由可由 线性表示线性表示 取取则线性方程组（则线性方程组（*）与向量方程）与向量方程是一一对应的是一一对应的对对（*）分析：分析：向量组的线性相关性优秀课件证明：证明：存在一组数存在一组数 可由可由 线性表线性表示示线性方程组线性方程组

4、 有解有解使方程组使方程组成立成立成立成立即即向量组的线性相关性优秀课件若该若该方程组方程组有解有解，可得一个线性方程组。可得一个线性方程组。 则则 可由向量组可由向量组 线性表示线性表示若若该方程该方程组组无解无解， 则则 不能由向量组不能由向量组 线性表线性表示示若若已知已知的分量，的分量，把分量代入把分量代入2、已知分量的向量组的线性组合判别法：、已知分量的向量组的线性组合判别法：向量组的线性相关性优秀课件向量向量 可由向量组可由向量组 线性表示线性表示向量方程向量方程有解有解定理定理1 向量向量b能由向量组能由向量组A线性表示的线性表示的充分必要条件是充分必要条件是矩阵矩阵 的秩等于矩

5、阵的秩等于矩阵的秩的秩P91向量组的线性相关性优秀课件问问 能否由能否由 线性表示。线性表示。 【例【例5】设】设解：解： 设设即即向量组的线性相关性优秀课件由由行变换行变换解得解得k1=1 k2=1 k3= -1即有即有所以所以 能由能由 线性表示线性表示向量组的线性相关性优秀课件问问 取何值时，取何值时，(1) 可由可由 线性表示，且表达式唯一线性表示，且表达式唯一(2) 可由可由 线性表示，但表达式不唯一线性表示，但表达式不唯一(3) 不能由不能由 线性表示线性表示解：设解：设【例【例5】设有三维向量】设有三维向量P116:4向量组的线性相关性优秀课件即即且且（1）当）当 且且 时，时，

6、方程组有唯一解方程组有唯一解即唯一存在一组数即唯一存在一组数 ，使，使向量组的线性相关性优秀课件成立成立此时此时 可由可由 线性表示，且表达式唯线性表示，且表达式唯一一（2）当）当 时，原方程组为：时，原方程组为：即存在无穷多组即存在无穷多组 ，使，使成立成立此时此时 可由可由 线性表示，但表达式不唯线性表示，但表达式不唯一一原方程组有无穷多解。原方程组有无穷多解。向量组的线性相关性优秀课件原方程组无解。原方程组无解。（3）当）当 时，原方程组为：时，原方程组为：且且行变换行变换即不存在一组数即不存在一组数 ，使，使成立成立此时此时 不可由不可由 线性表线性表示示向量组的线性相关性优秀课件即仅

7、当即仅当 时，时，(1)式成立式成立将齐次线性方程组将齐次线性方程组AmnX=O 写成向量形式写成向量形式 二、线性相关、线性无关二、线性相关、线性无关 P92 是系数矩阵是系数矩阵A 的的n个个m 维列向量维列向量 若方程组只有零解，若方程组只有零解，若方程组有非零解，若方程组有非零解，即存在一组不全为零的数即存在一组不全为零的数使使向量组的线性相关性优秀课件1、概念、概念 定义定义2 对于向量组对于向量组 ，若存在一组，若存在一组 不全为零的数不全为零的数 ，使得，使得（2）则称向量组则称向量组 线性相关。线性相关。P92若（若（2）当且仅当）当且仅当 时成立时成立,则称向量则称向量组组

8、线性无关线性无关向量组的线性相关性优秀课件向量组的线性相关性优秀课件向量组的线性相关性优秀课件向量组的线性相关性优秀课件【例【例7】证明：】证明：n维单位向量组维单位向量组 线性无关线性无关 证明：证明：设有一组数设有一组数 ，使得，使得成立成立因为因为仅有零解仅有零解即方程即方程要证：方程要证：方程仅有零解仅有零解即即n维单位向量组维单位向量组 线性无关线性无关 P92向量组的线性相关性优秀课件【例【例8】 证明：由一个向量证明：由一个向量 构成的向量组构成的向量组线性相线性相 关关的充要条件是的充要条件是证明：证明： 向量组向量组 线性相关线性相关存在一组不全为零的数存在一组不全为零的数k

9、，即，即k0，使，使成立成立即即 成成立立故向量故向量 构成的向量组线性相关的充要条件是构成的向量组线性相关的充要条件是 由此得由此得由此得由此得：由一个向量：由一个向量 构成的向量组构成的向量组线性无关线性无关的充的充 要条件是要条件是P93向量组的线性相关性优秀课件【例【例9】证明：由两个向量】证明：由两个向量 构成的向量组构成的向量组 线性相关线性相关的充要条件是的充要条件是 成比例成比例。（即（即 或或 ）P93例：例：向量组向量组线性相关线性相关向量组向量组线性无关线性无关向量组的线性相关性优秀课件2、已知向量组、已知向量组 的分量，判断的分量，判断 的线性关系的线性关系重重要要题型

10、题型向量组的线性相关性优秀课件判断判断线性关系的步骤：线性关系的步骤：a) 设存在一组数设存在一组数k1， k2， ,km，使使成立成立c)解该方程组解该方程组,d) 若方程组有若方程组有非零解非零解，则，则线性相关线性相关;e) 若方程组若方程组仅有零解仅有零解，则，则线性无关线性无关。b) 代入代入 各分量，得一齐次各分量，得一齐次 线性方程组线性方程组向量组的线性相关性优秀课件【例【例10】判断向量组】判断向量组 的线性关系的线性关系解：设存在一组数解：设存在一组数k1， k2， k3，使使即即由由有非零解有非零解即存在不全为零的数即存在不全为零的数k1， k2， k3，使，使成立成立故

11、向量组故向量组 线性相关。线性相关。 向量组的线性相关性优秀课件定理定理2 向量组向量组 线性相关的充线性相关的充P93 要条件是要条件是 中至少有一个向量中至少有一个向量 可由其余可由其余m-1个向量线性表示。个向量线性表示。证明：证明：设向量组设向量组 线性相关线性相关则有一组不全为零的数则有一组不全为零的数 ，使得，使得成立成立不妨设不妨设k10,则有则有即向量即向量 可由其余向量可由其余向量 线性表示。线性表示。故故 中至少有一个向量可由其余向量线性表示中至少有一个向量可由其余向量线性表示3、重要定理、重要定理向量组的线性相关性优秀课件 设向量组设向量组 中至少有一个向量中至少有一个向

12、量可可 由其余向量线性表示由其余向量线性表示不妨设向量不妨设向量 可由其余向量可由其余向量 线性表示线性表示则有则有即即成立成立取取k1=-1, 则则k1 ，k2， km不全为零，使不全为零，使成立成立故向量组故向量组 线性相关线性相关向量组的线性相关性优秀课件【例【例12】 设设 是任一个是任一个n维向量，证明维向量，证明 向量组向量组 线性相关线性相关证明：证明：即即 可由可由 线性表示线性表示 由定理由定理2知，向量组知，向量组 线性相关线性相关 向量组向量组 线性无关的充线性无关的充要要 条件是条件是 中任一个向量都不能中任一个向量都不能 由其余向量线性表示。由其余向量线性表示。推论推

13、论2.1推论推论2.2 含有零向量的向量组必然线性相关。含有零向量的向量组必然线性相关。 向量组的线性相关性优秀课件矩阵矩阵A的秩小于向量个数的秩小于向量个数m定理定理3 设向量组设向量组A ： 构成矩构成矩阵阵则向量组则向量组 A线性相关的充要条件是线性相关的充要条件是即即向量组线性无关的充要条件是向量组线性无关的充要条件是 P94 ).,(21mAa aa aa aL= =其中其中即即AX0有非零解。有非零解。证明证明A02211mmxxxa aa aa aL= =+ + + +线性相关就是齐次线性方程组线性相关就是齐次线性方程组向量组向量组有非零解。有非零解。向量组的线性相关性优秀课件【

14、例【例13】向量组的线性相关性优秀课件【例【例14】向量组的线性相关性优秀课件线性相关线性相关方程方程有非零解有非零解有非零解有非零解线性相关的充要条件是线性相关的充要条件是推论推论31 n个个n维向量维向量P94向量组的线性相关性优秀课件推论推论3.2 n个个n维向量维向量线性无关的充要条件是线性无关的充要条件是P94向量组的线性相关性优秀课件证明：证明：所以所以 线性无关线性无关 例如：证明：例如：证明：n维单位向量组维单位向量组 前例前例8 8 线性无关线性无关向量组的线性相关性优秀课件【例【例15】设向量组设向量组已知已知 线性相关，且线性相关，且 求求解：解：05：数：数3向量组的线

15、性相关性优秀课件问问k k取何值时：取何值时： （1 1） 线性相关线性相关 （2 2） 线性无关线性无关【例【例16】设向量组设向量组三个三三个三维向量维向量解：解：则则当当k=0k=0或或k=-3k=-3时：时：当当k0k0且且k-3k-3时：时：向量组的线性相关性优秀课件故由定理故由定理3，必线性相关。，必线性相关。例：例：m4，n3，线性相关。线性相关。推论推论3.3 m个个n 维列向量组成的向量组，维列向量组成的向量组，当当 时一定线性相关时一定线性相关 P94向量组的线性相关性优秀课件 定理定理4(1) 若向量组若向量组 线性无关，而向线性无关，而向量组量组 线性相关，则线性相关，

16、则 可由可由 线性表示，且表示法唯一。线性表示，且表示法唯一。P95证明：证明：所以所以 R(A)=m因为向量组因为向量组A线性无关线性无关,显然显然R(A) R(B)所以所以 R(B)m+1因为向量组因为向量组B线性相关线性相关,从而从而 m R(B) m+1,即即 R(B)=m由由 R(A)= R(B)=m知知AX= 有唯一解有唯一解即即 可由可由向量组向量组A线性表示且表示法唯一线性表示且表示法唯一向量组的线性相关性优秀课件例如：例如：任一向量任一向量 可由向量组可由向量组 线性表示，且表示法唯一线性表示，且表示法唯一证明：设向量组证明：设向量组 中有中有r 个向个向量量 线性相关线性相

17、关,成立成立因此存在一组不全为零的数因此存在一组不全为零的数 不妨设不妨设 线性相关，线性相关，则存在不全为零的数则存在不全为零的数 ，使得，使得定理定理4(2) 若向量组中有一部分向量（部分组）若向量组中有一部分向量（部分组） 线性相关，则整个向量组也线性相关。线性相关，则整个向量组也线性相关。P95使使成立成立即即线性相关线性相关向量组的线性相关性优秀课件推论推论 若向量组线性无关，则其任意一个部若向量组线性无关，则其任意一个部 P95 分组线性无关。分组线性无关。部分相关则全体相关，全体无关则任一部分无关部分相关则全体相关，全体无关则任一部分无关例如：任一含零向量的向量组必线性相关例如：

18、任一含零向量的向量组必线性相关再如：向量组再如：向量组 的任一部分组线性无的任一部分组线性无关关向量组的线性相关性优秀课件定理定理4(3) 若若n维向量组维向量组线性相关，则在每个向量上去掉相同的线性相关，则在每个向量上去掉相同的n-r个个分量所得到分量所得到r维向量组维向量组也线性相关也线性相关P95向量组的线性相关性优秀课件证明：证明： 记记 Anm=( 1 , 2, m) Brm=( 1 , 2, m)由已知由已知 R(B) R(A)所以所以 R(A)m又向量组又向量组A线性相关线性相关,从而从而 R(B) m,向量组向量组 1 , 2, m线性相关线性相关例如：对向量组例如：对向量组

19、由于由于 1 , 2线性相关，线性相关，线性相关线性相关向量组的线性相关性优秀课件 推论推论 若若r维向量组维向量组 P95 线性无关，则在每个向量上再添加线性无关，则在每个向量上再添加n-r 个分量所得到的个分量所得到的 n维向量组维向量组 也线性无关。也线性无关。向量组的线性相关性优秀课件例如：对向量组例如：对向量组 ,由于二维单位向量组由于二维单位向量组 线性无关，线性无关，所以所以 线性无关线性无关长相关则短相关，短无关则长无关。长相关则短相关，短无关则长无关。向量组的线性相关性优秀课件【例【例17】向量组向量组 线性相关，求线性相关，求t。解：解： 由定理由定理4（3）知，同时删去第

20、）知，同时删去第4行得到行得到的向量组仍然的向量组仍然线性相关线性相关（保留参数行），（保留参数行），故故97：数：数2向量组的线性相关性优秀课件【例【例18】判别下列向量组的线性相关性】判别下列向量组的线性相关性（1）P96 1 , 2, 3 线性无关线性无关 因为因为线性无关，由线性无关，由定理定理4(3)知知解解向量组的线性相关性优秀课件（2） 因为因为 3 =5=5 1 , 故故 1 , 3 线性相关，线性相关，从而由从而由定理定理4(2)可知可知 1 , 2, 3线性相关线性相关. .向量组的线性相关性优秀课件（3） 由由推论推论2知知4 4个个3 3维向量一定线性相关，故维向量一定

21、线性相关，故 1 , 2, 3 , 4线性相关线性相关向量组的线性相关性优秀课件【例【例19】设向量组】设向量组 线性相关，向量线性相关，向量 组组 线性无关，证明线性无关，证明 证证 (1) 因为因为 线性无关，由定理线性无关，由定理4（2） 知知 必线性无关。必线性无关。由定理由定理4（1）知：）知： 能由能由 线性表示，且线性表示，且表示式唯一表示式唯一. 由已知由已知 线性相关，线性相关，向量组的线性相关性优秀课件,43232432线性相关，与已知矛盾。线性相关，与已知矛盾。即即线性表示，线性表示，可由可由线性表示，所以，线性表示，所以，aaaaaaaa),1 (,13214能由能由线

22、性表示，由线性表示，由能由能由假设假设aaaaa(2) 反证反证向量组的线性相关性优秀课件【例【例20】设】设A是是n阶矩阵，阶矩阵，k为正整数，为正整数， 是是 AkX=0的一个解，使的一个解，使Ak-1 0。证明。证明 线性无关。线性无关。证明：证明： （用定义证）（用定义证）要证要证用用Ak-1左乘（左乘（1）式，）式，注意到当注意到当mk时，时， 因此因此而而设设（1）98：数：数1向量组的线性相关性优秀课件所以（所以（1）变为）变为用用Ak-2左乘上式，得左乘上式，得c20如此类推下去，得如此类推下去，得所以所以 线性无关。线性无关。向量组的线性相关性优秀课件本节主要定理：本节主要定

23、理：矩阵矩阵 的秩等于矩阵的秩等于矩阵定理定理1 向量向量b能由向量组能由向量组A线性表示的线性表示的充分必要条件是充分必要条件是的秩的秩向量组的线性相关性优秀课件定理定理2 向量组向量组 线性相关的充线性相关的充 要条件是要条件是 中至少有一个向中至少有一个向量量 可由其余向量线性表示。可由其余向量线性表示。 向量组向量组 线性无关的充线性无关的充要要 条件是条件是 中任一个向量都不能中任一个向量都不能 由其余向量线性表示。由其余向量线性表示。推论推论向量组的线性相关性优秀课件矩阵矩阵A的秩小于向量个数的秩小于向量个数m定理定理3 设向量组设向量组A ： 构成矩构成矩阵阵则向量组则向量组 A

24、线性相关的充要条件是线性相关的充要条件是即即向量组线性无关的充要条件是向量组线性无关的充要条件是 P94向量组的线性相关性优秀课件推论推论31 n个个n维向量维向量线性相关的充要条件是线性相关的充要条件是推论推论3.2 n个个n维向量维向量 线性无关线性无关的充要条件是的充要条件是推论推论3.3 n阶方阵阶方阵 向量线性无关的充要条件是向量线性无关的充要条件是的的n 个行（列）个行（列）向量组的线性相关性优秀课件推论推论3.4 m个个n 维列向量组成的向量组，维列向量组成的向量组，当当 时一定线性相关时一定线性相关 定理定理4 (1) 若向量组若向量组 线性无关，而线性无关，而向向量组量组 线

25、性相关，则线性相关，则 可由可由 线性表示，且表示法唯一。线性表示，且表示法唯一。向量组的线性相关性优秀课件定理定理4 (2) 若向量组中有一部分向量（部分组）若向量组中有一部分向量（部分组） 线性相关，则整个向量组也线性相关。线性相关，则整个向量组也线性相关。推论推论 若向量组线性无关，则其任意一个部若向量组线性无关，则其任意一个部 分组线性无关。分组线性无关。部分相关则全体相关，全体无关则任一部分无关部分相关则全体相关，全体无关则任一部分无关向量组的线性相关性优秀课件推论推论 若若r维向量组维向量组 线性无关，线性无关， 则在每个向量上再添加则在每个向量上再添加n-r个分量所得个分量所得

26、到的到的n维向量组维向量组 也线性无关。也线性无关。定理定理4 (3) 若若n维向量组维向量组 线性相关，线性相关，则则在每个向量上都去掉相同的在每个向量上都去掉相同的n-r个分量所个分量所得到的得到的r维向量组维向量组 也线性相关。也线性相关。长相关则短相关，短无关则长无关。长相关则短相关，短无关则长无关。向量组的线性相关性优秀课件1、n维单位向量组维单位向量组 线性无关线性无关 简单结论：简单结论：中任意几个向量构成的中任意几个向量构成的向量组线性无关向量组线性无关3、由两个向量、由两个向量 构成的向量组线性相关的构成的向量组线性相关的 充要条件是充要条件是 成比例，线性无关的充要成比例，

27、线性无关的充要 条件是条件是 不成比例。不成比例。2、由一个向量、由一个向量 构成的向量组线性相关的充要构成的向量组线性相关的充要 条件是条件是 ，线性无关的充要条件是，线性无关的充要条件是向量组的线性相关性优秀课件4、已知、已知n维向量组维向量组 的分量，判断的分量，判断 的线性关系的方法：的线性关系的方法：a) 设存在一组数设存在一组数k1， k2， ,km，使使成立成立b)代入各分量，得一齐次线性方程组代入各分量，得一齐次线性方程组c)解该方程组，若方程组有非零解解该方程组，若方程组有非零解,则则d) 线性相关，若方程组仅有零解，则线性无线性相关，若方程组仅有零解，则线性无关关1）若）若m=n，作，作=0相关相关0无关无关2）若）若mn,步骤如下：步骤如下：向量组的线性相关性优秀课件 【例】判断题【例】判断题（2）若）若 则则 向量组向量组 线性无关。线性无关。 例如例如但但 线性相关线性相关（1）若向量组）若向量组 线性无关，则线性无关，则向量组的线性相关性优秀课件