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1、上元积年的研究和其在魏晋南北朝时期（220 -589）的发展南京大学天文系 史群摘要从三统历开始，中国古代的历法家都追求推算上元积年，要求日月合璧五星联珠。上元不仅是回归年、朔望月、干支年和干支日的整数倍数，同时要求是近点月、交点月和五星会合周期的倍数。在魏晋时代，各历法家所推上元积年的数值就达数万以上，随着观测精度的提高，积年数还将不断增加。为了避免或减轻这些繁复运算，某些有创新精神的历法家就进行改革。杨伟就设交会差率和迟疾差率，将交点月、近点月的因素排除在外。何承天更将五星运动的因素都排除在外，各设近距历元。这些措施都是先进的，可惜未被后世历法家所采纳。第一部分 上元积年的研究一上元积年上
2、元是古代历法所采用的一种理想历元。它通常发生在某个甲子年天正 11 月的甲子日半夜，此时恰好是合朔冬至时刻，也就是说它既是朔，又是冬至节气。月亮经过升交点或降交点，日月的经纬度正好相同，而且恰好是近地点或远地点。木火土水金五大行星同时汇聚在位于北方之中虚宿之内的冬至点。“当斯之际，日月五星同度，如合璧连珠然。”2“太初上元甲子夜半朔旦冬至时，七曜皆会聚斗、 牵牛分度，夜尽如合璧连珠也。”3从上元到编历年份的年数叫作积年，通称上元积年。“昔人立法，必推求往古生数之始， 谓之演纪上元。”4由此我们归纳上元的几个特征：（1）甲子年天正 11 月甲子日夜半；（2）既是朔，又是冬至；（3）日月的经纬度正
3、好相同；（4）木火土水金五大行星同时汇聚在位于北方之中虚宿之内的冬至点。与上元有关的天文、纪年常数有：回归年、恒星年，朔望月、交点月、近点月，金木水火土五大行星的会合周期，岁名与日名的干支周期（60 年）。对应上面的各个量，都可以列出一个同余方程。这样，我们总共就得到了 11 个同余式。2 个关于地球绕太阳的公转，3 个关于月亮绕地球的旋转，5 个分别对应五大行星绕太阳的旋转还有 1 个关于干支纪年法。我们令 表示公元 n 年距上元积年， 为回归年常数， 为朔望月常数， 分别表示：nNtuiu恒星年； 近点月； 交点月； 五大行星会合周期，那么那1i2i3i4,5678i11 个同余式可以表示
4、成 n012n+ii (mod6) ()NRtrut其中 为所求的年的干支名， 是天正 11 月朔的日的干支名0R1r以及小余， 是所求年的年终润余， 上元至所求年冬至点位移， 是所求年冬至时2r3 4r刻月亮近地点与冬至点的间距， 是该年冬至时刻五大行星会合时刻的时ir4,5678间。二计算上元的方法：a.中国剩余定理中国剩余定理，有叫做大衍总数术，或简称大衍术。最早出现在一本比元嘉历早的著作孙子算经（约 400 年）中，它是通过物不知数的题目表现出来的。“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二。问物几何？”该题需要解同余式组 123 (mod )5 7Nr孙子给出的答案是
5、（ 为整数）1237010 rrt而将此答案推广，则是由后人秦九韶完成的。假定有一组同余式 ii (mod) ,=,nxra为余数， 是要求的数， 模数。irxia所谓的大衍术，先确定一组定数 ，满足：iba. ；ibab. ；ij,1,ijc. 。2n12n,a 其中，圆括号代表最大公约数，方括号代表最小公倍数。于是，同余式组 ii (mod) ,=12,nxra就转化成了 ii (mod) ,=12,nxrb然后，记 。用大衍求一术求乘率 ，使得iiiM , ,12,nb iki i(od ),=12,nkb由此解得，原来的同余式的通解是 nii=1Nxrk其中， 是待定整数，要求 。N0
6、M剩余定理曾经被认为广泛的用于计算上元积年，然而，由于其本身的缺陷，得出的答案是错误的。沈钦裴、宋景昌对数学九章的校正中，揭示了秦九韶的犯的错误。剩余定理在计算上元时的不妥秦九韶曾经想用四分历为例用大衍术求上元，但是没有成功。大衍术将问数 转ia化成定数 时，虽然可以处理并非两两互质的大量模数的问题，但是，忽视了考虑论证原ib同余式组 和转化后的同余式组 它ii (mod) ,=12,nxra ii (mod) ,=12,nxrb们的解是否相同。而事实上，原同余式组有解的充要条件是对于任意的 都成立。同理，转化后的同余式组有解的充要条件也ijij,a,ij是一样的， 对任意的 都成立。ijij
7、,br显然，由于 ，所以 是恒有解的。但是ij1 ,ii (mod) ,=12,nxrb却不一定成立，也就是说，原同余式组不一定有解。ijij,ar通过上述的陈述，我们可以作出结论，秦九韶的中国剩余定理不是中国历史上最主要的计算上元积年的方法，在它之外，一定存在另一种独立的算法。b.演纪术一行的大衍历最早使用了演纪上元一词。唐宋历法沿用。前提条件是已经用调日法确定基本常数，如回归年、朔望月，建立起了方程式 n012n+ii (mod6) ()NRtrut规定上式所有余数的范围作为将来调整用。对于方程组中的第一个方程，它的意义是以甲子为上元，直接将它代入第二个方程，调整第一个方程的余数，使第二个
8、方程有解。然后再将解代入第三个方程式，调节第二个方程的余数，是第三个方程有解，就这样下去，一直到所有的同余式都接出来为止。一旦有一步，某个同余式的余数在可调节的范围内不存在适合的数，这说明，由调日法所得的各个常数还不够精确，应当重新调日，重新构建同余式组。如果最后同余式组的解满足 ，则上元随之确定。但如果不满足不等式，则需8n10N重新调日法，从头再来。大衍术与演纪术的比较 事实上，演纪术的算法来自数学九章。因为演纪术是以代入法求解问题，所以，如果一旦知道求解同余式 ，理论上就可以一步一步 (mod)axrb地解除任意同余式组。上式可解的充要条件是 ，有了这个关系作为判别条件，我们(,)就能避
9、免犯在用中国剩余定理解上元问题时犯下的错误。用大衍求一术得到乘率 ，满足k(,) odab这样一来。 m(,)(,)rxka对两种方法的总结：演纪术是解一次同余式组的一个纯粹的算法，这是因为，它比中国剩余定理考虑得更完整，在与它考虑了同余式组的可解性以及同解性问题。它还简便、正确给出了有解得判据。从难易程度上看，由于中国剩余定理所用的大衍术在运算时，要对同余式组中的所有关系式同时处理，夹杂了许多大数的连乘连除，计算量很庞大。而演纪术是逐步代入法，将一个同余式组“化整为零，各个击破”，前边的运算有利于后面的化简，这样算来，数据的复杂度要少了很多倍。于是，可以下这样的结论，上元是通过演纪术推导得来
10、。第二部分 魏晋南北朝时期的上元积年的计算到了魏晋时代，随着生产力的进一步发展，科学仪器精度的进一步提高，已经不能采用比较粗略的特殊现象进行估算了，比如说西汉太初元年那样“日月合璧”的特殊天象。也不能像三统历、后汉四分历和乾象历那样从太初元年出发，选定上溯纪法或元法，以它们的若干倍合于日食五星周期来确定上元。魏朝杨伟景初历（237 年）以“法数则约要，施用则近密，治之则有功，学之则易知”5 为宗旨，立元时不考虑交点月以及近点月，也不叫它上元。“壬辰以来，至景初元年丁已 岁，积四千四十六，算上。此元以天正建子黄 钟之月为历初，元首之岁，夜半甲子朔旦冬至。 ”6对于没有考虑得交点月和近点月两个量，
11、分别设“交会差率”、“迟疾差率”进行计算“甲子纪第一纪首合朔，月在日道里。交会差率四十一万二千九百一十九。迟疾差率，十万三千九百四十七。甲戌纪第二 纪首合朔，月在日道里。交会差率，五十一万六千五百二十九。迟疾差率，七万三千七百六十七”7五星仍然用壬辰元。杨伟景的方法之施行了三十年左右就作废了，到了西晋泰始元年（265 年），“杨伟推五星尤疏阔”8，“伟之五星，大乖于后代”9，究其原因，是“伟拘于同出上元壬辰故也”10。西晋刘智正历（274 年）“推甲子为上元，至泰始十年，岁在甲午，九万七千四百一十一岁，上元天正甲子朔夜半冬至，日月五星始于星纪，得元首之端。”11东晋王朔之通历则以甲子为上元，
12、积九万七千余年， 因其上元 为开辟之始，12 又增加了上元为甲子岁的条件，积年数字达到了九万多，超过了景初历二十倍之多后秦姜岌三纪甲子元历（384 年）改进了观察方法，利用月食测定冬至日度以月食检冬至日所在的方法，首先就是由后秦姜岌(公元 384 年) 发明的。何承天非常重视这一方法，并广加应用。元嘉十一年何承天向刘宋政府上书指出，以月食验日所在，已差四度；以土圭测影，冬至已差三日，需改订新历。在后秦姜岌三纪甲子元历中，他已经发现上元积年数字太大，已经不便于历法的计算了。甲子上元以来，至晋孝武太元九年甲申 岁，凡八万三千八百四十一，算上。13他另设五星约法，据出见以为 正，不系于元本。14可他
13、毕竟是无可奈何，在二者间举棋不定：然则算步究与元除，约法施于今用，曲求其趣，则各有宜，故作者两设其法也。 15南朝何承天吸取其精华，并加以创新，在他的元嘉历（443 年）所列上元庚申甲子纪首至元嘉二十年癸末，五千七百三年，算外。实为近距元，不仅另有交会迟疾，还有五星“后元” ，其数只有 9、10、19、60、118 年。但是，从数学史角度考察，元嘉历的近距元其积年 也须解同余式组N12 (mod60) arb其中， 、 分别为一回归年和一朔望月的日数， 、 分别为当年雨水距甲子日零ab12r时、平朔时刻的日数。而上面方程组的求解在比元嘉历稍早出现的孙子算经（约 400 年）“物不知数”题中已经
14、解决了。魏晋南北朝时期历法中关于上元积年的计算方法与中国传统数学中孙子问题的解法有内在的联系。5 世纪下半叶，历算大事祖冲之大明历（463 年）则批评了景初历“交会迟疾，元首有差”，元嘉历“五星日月，各自有元，交会迟疾，亦并置差”，认为是“条序纷互，不及古意”，于是“设法，日月五纬、交会迟疾，悉以上元岁首为始”，使“合璧之曜，信而有征，连珠之晖，于是乎在，群流共源，实精古法”16。大明历以上元甲子至宋大明七月癸卯，五万一千九百三十九年算外为首句，以上元之岁，岁在甲子，天正甲子朔夜半冬至，日月五星，聚于虚度之初，阴阳 迟疾，并自此始为结语，对上元和积年的重视达到了空前的程度。戴法兴曾对祖冲之的大
15、明历提出异议，他认为“置元设纪，各有所尚，或据文于图谶，或取效与当时”17，“景初所以纪首置差，元嘉兼又各设后元者，其并省功于实用，不虚推以为烦也。冲之治历之大过也”。臣法兴议：日有八行，各成一道，月有一道，离为九行，左交右疾，倍半相违，其一终之理，日数宜同。冲之通同与会周相觉九千四十，其阴阳七十九周有奇， 迟疾不及一匝。此则当缩反盈，应损更益。18对此，祖冲之辩驳道：“历上元甲子，术体明整”，“七曜咸始上元，无隙可乘。”19祖戴之争，不仅局限于二人，而且还留至后人。效法景初元嘉的大有人在。传人有：北魏张龙祥 正光历（520 年）、李业兴兴和历（584 年）他们都各有纪交会迟疾差率；与南北朝时
16、期接近的后人还有：隋朝张宾开皇历（584 年）“以五星为别元”。第三部分 元嘉历的改革和成就以月验日何承天继承了后秦姜岌发明的方法(公元 384 年)，利用月食测定冬至日度，以月食检测冬至日所在。姜岌发明这一方法后首先得到了何承天重视，并广加应用。元嘉十一年，他上书指出，以月食验日所在，已差四度；以土圭测影，冬至已差三日，需改订新历。何承天于元嘉二十年还上表说：“汉代杂候清台，以昏明中星，课日所在，虽不可见，月盈则食，必当其冲。以月推日，则躔次可知焉。舍易而不为，役心于难事，此臣所不解也。”20 积极地宣传这种方法的意义，以月验日的方法比中星法不仅简便而且还精密。经过何承天的宣传推广，这一方法成为中国古代后来的历法家使用的正统方法。赤道岁差西晋虞喜第一次提出了赤道岁差的概念，是中国天文学史
