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1、第第 7 模块模块 第第 3 节节知能演练一、选择题1已知 a，b 是异面直线，直线 c直线 a，则 c 与 b( )A一定是异面直线 B一定是相交直线C不可能是平行直线 D不可能是相交直线解析：a，b 是异面直线，直线 c直线 a.因而 cb，否则，若 cb，则 ab 与已知矛盾，因而 cb.答案：C2四面体每相对两棱中点连一直线，则此三条直线( )A互不相交 B至多有两条直线相交C三线相交于一点 D两两相交有三个交点解析：利用三角形的中位线定理可知三线交于一点答案：C3若 P 是两条异面直线 l、m 外的任意一点，则( )A过点 P 有且仅有一条直线与 l、m 都平行B过点 P 有且仅有一
2、条直线与 l、m 都垂直C过点 P 有且仅有一条直线与 l、m 都相交D过点 P 有且仅有一条直线与 l、m 都异面解析：对于选项 A，若过点 P 有直线 n 与 l，m 都平行，则 lm，这与 l，m 异面矛盾；对于选项 B，过点 P 与 l、m 都垂直的直线，即过 P 且与 l、m 的公垂线段平行的那一条直线；对于选项 C，过点 P 与 l、m 都相交的直线有一条或零条；对于选项 D，过点 P 与 l、m 都异面的直线可能有无数条答案：B4正四棱柱 ABCDA1B1C1D1中，AA12AB，则异面直线 A1B 与 AD1所成角的余弦值为( )A. B.1525C. D.3545解析：连接
3、D1C，AC，易证 A1BD1C，AD1C 即为异面直线 A1B 与 AD1所成的角设 AB1，则 AA12，AD1D1C，AC，52cosAD1C .5522 5 545异面直线 A1B 与 AD1所成角的余弦值为 .45答案：D二、填空题5如图所示，在三棱锥 CABD 中，E、F 分别是 AC 和 BD 的中点，若CD2AB4，EFAB，则 EF 与 CD 所成的角是_解析：取 CB 中点 G，连接 EG、FG，EGAB，FGCD.EF 与 CD 所成的角为EFG.又EFAB，EFEG.在 RtEFG 中，EG AB1，12FG CD2，12sinEFG ，12EFG30.EF 与 CD
4、所成的角为 30.答案：306在正方体上任意选择 4 个顶点，它们可能是如下各种几何体的 4 个顶点，这些几何体是_(写出所有正确结论的编号)矩形不是矩形的平行四边形有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体每个面都是等边三角形的四面体每个面都是直角三角形的四面体解析：分两种情况：4 个顶点共面时，几何体一定是矩形；4 个顶点不共面时，都有可能答案：三、解答题7有一矩形纸片 ABCD，AB5，BC2，E，F 分别是 AB，CD 上的点，且BECF1，如下图(1)现在把纸片沿 EF 折成图(2)形状，且CFD90.(1)求 BD 的距离；(2)求证：AC，BD 交于一点且被该点平分(
5、1)解：将平面 BF 折起后，补成长方体 AEFDA1BCD1，则 BD 恰好是长方体的一条对角线因为 AE，EF，EB 两两垂直，所以 BD 恰好是以 AE、EF、EB 为长、宽、高的长方体的对角线所以 BDAE2EF2EB2.4222121(2)证明：因为 AD 綊 EF，EF 綊 BC，所以 AD 綊 BC.所以点 A、C、B、D 在同一平面内，且四边形 ABCD 为平行四边形所以 AC、BD 交于一点且被该点平分8如图，已知正方形 ABCD 和矩形 ACEF 所在平面互相垂直，AB，AF1，试2在线段 AC 上确定一点 P，使得 PF 与 BC 所成的角是 60，并加以证明解：设 AP
6、x(0x2)，利用 PF 与 BC 所成的角是 60来构建以 x 为元的方程，再解x 就确定了点 P 的位置如下图，ABCD 是边长为的正方形，AC2.设 APx(0x2)，作 PQAB 交2AB 于 Q，则 PQBC，相交直线 PF 与 PQ 所成的角是异面直线 PF 与 BC 所成的角平面 ABCD平面 ACEF，AFAC，AF平面 ABCD，AFPQ.ABAFA，PQ平面 ABF，PQFQ.要使 PF 与 BC 所成角是 60，只需使FPQ60，即只需使 PF2PQ，PQAPx，2222只需使 PFx.2又在 RtAPF 中，PF，AP2AF2x21x.2x21x1.当 P 点是线段 A
7、C 的中点时 PF 与 BC 所成的角为 60.高考模拟预测1(2009湖南高考)正方体 ABCDA1B1C1D1的棱上到异面直线 AB，CC1的距离相等的点的个数为( )A2 B3C4 D5解析：由下图观察可知，正方体棱上到异面直线 AB、CC1的距离相等的点为点D，B1，线段 BC 的中点 E，线段 A1D1中点 F，总共 4 个，故选 C.答案：C2(2009全国)已知三棱柱 ABCA1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面 ABC上的射影为 BC 的中点，则异面直线 AB 与 CC1所成的角的余弦值为( )A. B.3454C. D.7434解析：设棱长为 2，BC 的中点为 D，
8、由题意，得AD.3在 RtA1AD 中，A1DAA2 1AD21.22 32在 RtA1BD 中，A1B.A1D2BD22AA1CC1，AB 与 AA1所成的角A1AB 即为 AB 与 CC1所成的角在A1AB 中，由余弦定理，得 cosA1AB .AA2 1AB2A1B22AA1AB4422 2 234答案：D3(2009全国)已知正四棱柱 ABCDA1B1C1D1中，AA12AB，E 为 AA1中点，则异面直线 BE 与 CD1所成角的余弦值为( )A. B.101015C. D.3 101035解析：如下图所示，连接 A1B，因 A1D1綊 BC，所以四边形 A1BCD1为平行四边形，所
9、以 A1BD1C，则异面直线 BE 与 CD1所成的角即为 BE 与 BA1所成的角不妨设 AB1，则 AA12，设ABE，ABA1，则 sin，cos，sin，cos.12122515cos()coscossinsin.故选 C.121512253103 1010答案：C4(2007上海高考)在平面上，两条直线的位置关系有相交，平行，重合三种，已知， 是两个相交平面，空间两条直线 l1，l2在 上的射影是直线 s1，s2；l1，l2在 上的射影是直线 t1，t2，利用 s1与 s2，t1与 t2的位置关系写出一个总能确定 l1，l2是异面直线的充分条件_解析：当 s1s2且 t1与 t2相交
10、时，可推得 l1与 l2总是异面直线，当 l1，l2在 内的射影 s1，s2平行时，我们可断定 l1与 l2一定不相交，同理当 l1，l2在 内的射影 t1，t2相交时，也可推得 l1，l2一定不平行，故 l1与 l2一定是异面直线同理当 t1t2且 s1与 s2相交时，也符合题意答案：s1s2，且 t1与 t2相交；(t1t2，且 s1与 s2相交)5空间四边形 ABCD 中，各边长均为 1，若 BD1，则 AC 的取值范围是_解析：如下图所示，ABD 与BCD 均为边长为 1 的正三角形，当ABD 与CBD 重合时，AC0，将ABD 以 BD 为轴转动，到 A，B，C，D 四点再共面时，A
11、C，如下图，故 AC 的取值范围是 0AC.33答案：(0，)36在长方体 ABCDA1B1C1D1的面 A1C1上有一点 P(如图所示，其中 P 点不在对角线B1D1上)(1)过 P 点在空间中作一直线 l，使 l直线 BD，应该如何作图？并说明理由；(2)过 P 点在平面 A1C1内作一直线 m，使 m 与直线 BD 成 角，其中 (0， ，这样2的直线有几条，应该如何作图？解：(1)连接 B1D1，在平面 A1C1内过 P 作直线 l，使 lB1D1，则 l 即为所求作的直线B1D1BD，lB1D1，l直线 BD.(2)在平面 A1C1内作直线 m，使直线 m 与 B1D1相交成 角，BDB1D1，直线 m 与直线 BD 也成 角，即直线 m 为所求作的直线由图知 m 与 BD 是异面直线，且 m 与 BD 所成的角 (0， 2当 时，这样的直线 m 有且只有一条，2当 时，这样的直线m有两条 2
