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1、第三章 数列网络体系总览数 列定义及有关概念等 差 数 列等 比 数 列递推数列数列的通项= anSn=1, 当1时 SSnnn-, 当2时-1a=andn1+(-1) aa=dnnn-(2) -1a=adnn +1+ a=anmdnm+(-)等差中项：= Aab + 2S=nnaa(+)1n 2S=nna1+nnd(-1) 2a=aqn1 n-1 (,0)aq1a=ann +1q, (,)aqn0an a n-1qn (2)=等比中项： G=abS=nnaq=1 (1) aa 1-n q 1-q1-qaq1(1- )(1)q=na=aqnm nm-应 用考点目标定位 1.知识要求：（1）理解
2、数列的概念，了解数列通项公式的意义；了解递推公式是给出 一种数列的表示方法，并能写出数列的前 n 项.（2）理解等差数列的概念，掌握等差数列 的通项公式与前 n 项和公式，并能运用公式解决简单的问题.（3）理解等比数列的概念， 掌握等比数列的通项公式与前 n 项和公式，并能运用公式解决简单的问题. 2.能力要求：培养观察能力、化归能力和解决实际应用问题的能力. 复习方略指南 本章在历年高考中占有较大的比重，约占 10%12%，特别是 2002 年共计 26 分，占 17%，2003 年共计 21 分，占 14%，2004 年 26 分，占 17%.考题类型既有选择题，也有填 空题和解答题，既有
3、容易题，也有中档题，更有难题.由于等差数列和等比数列在内容上是 平行的，所以在复习时要应用对比去认识、理解、掌握数列知识. 纵观近几年的高考试题，可发现如下规律： 1.等差（比）数列的基本知识是必考内容，这类问题既有选择题、填空题，也有解答 题；难度易、中、难三类皆有. 2.数列中 an与 Sn之间的互化关系也是高考的一个热点. 3.函数思想、方程思想、分类讨论思想等数学思想方法在解决问题中常常用到，解答 试题时要注意灵活应用. 4.解答题的难度有逐年增大的趋势. 因此复习中应注意： 1.数列是一种特殊的函数，学习时要善于利用函数的思想来解决.如通项公式、前 n 项 和公式等. 2.运用方程的
4、思想解等差（比）数列，是常见题型，解决此类问题需要抓住基本量 a1、d（或 q） ，掌握好设未知数、列出方程、解方程三个环节，常通过“设而不求，整体 代入”来简化运算. 3.分类讨论的思想在本章尤为突出.学习时考虑问题要全面，如等比数列求和要注意 q=1 和 q1 两种情况等等.4.等价转化是数学复习中常常运用的，数列也不例外.如 an与 Sn的转化；将一些数列转 化成等差（比）数列来解决等.复习时，要及时总结归纳. 5.深刻理解等差（比）数列的定义，能正确使用定义和等差（比）数列的性质是学好 本章的关键. 6.解题要善于总结基本数学方法.如观察法、类比法、错位相减法、待定系数法、归纳 法、数
5、形结合法，养成良好的学习习惯，定能达到事半功倍的效果.3.1 数列的概念知识梳理 1.数列：按一定次序排列的一列数叫做数列. （1）数列的一般形式可以写成 a1，a2，a3，an，简记为an，其中 an是数列 的第 n 项. （2）可视数列为特殊函数，它的定义域是正自然数集的子集（必须连续） ，因此研究 数列可联系函数的相关知识，如数列的表示法（列表法、图象法、公式法等） 、数列的分类 （有限和无穷、有界无界、单调或摆动等）.应注意用函数的观点分析问题. 2.通项公式 如果数列an的第 n 项 an与项数 n 之间的函数关系可以用一个公式来表达，那么这个 公式就叫做数列的通项公式，可以记为 a
6、n=f（n）. 并非每一个数列都可以写出通项公式，有些数列的通项公式也并非是唯一的. 3.数列的前 n 项和 数列an的前 n 项之和，叫做数列的前 n 项和，常用 Sn表示. Sn与通项 an的基本关系是：an= 11nnSSS ).2(),1( nnSn=a1+a2+an. 4.数列的分类 （1）按项分类 有穷数列:项数有限；无穷数列:项数无限. （2）按 an的增减性分类 递增数列：对于任何 nN*，均有 an+1an； 递减数列：对于任何 nN*，均有 an+1an； 摆动数列：例如:1，1，1，1，； 常数数列：例如：6，6，6，6，； 有界数列：存在正数 M 使|an|M，nN*；
7、 无界数列：对于任何正数 M，总有项 an使得|an|M. 5.递推是认识数列的重要手段，递推公式是确定数列的一种方式，根据数列的递推关 系写出数列. 点击双基 1.数列an中，a1=1，对于所有的n2，nN 都有a1a2a3an=n2，则a3+a5等于A. B. C. D. 1661 925 1625 1531解析一：令 n=2、3、4、5，分别求出 a3=，a5=，a3+a5=.49 1625 1661解析二：当 n2 时，a1a2a3an=n2. 当 n3 时，a1a2a3an1=（n1）2.两式相除 an=（）2，1nna3=，a5=.a3+a5=.49 1625 1661答案：A2.
8、已知数列an中，a1=1，a2=3，an=an1+（n3） ，则 a5等于21naA. B. C.4D.51255 313解析：令 n=3，4，5，求 a5即可. 答案：A 3.根据市场调查结果，预测某种家用商品从年初开始的 n 个月内累积的需求量 Sn（万件）近似地满足关系式 Sn=（21nn25） （n=1，2，12） ，按此预测，在本年度内，90n需求量超过 1.5 万件的月份是 A.5、6 月B.6、7 月C.7、8 月D.8、9 月解法一：由 Sn解出 an=（n2+15n9） ，再解不等式（n2+15n9）1.5，301 301得 6n9. 解法二：将选项中的月份代入计算验证. 答
9、案：C4.已知 an=，且数列an共有 100 项，则此数列中最大项为第_ 20012000nn项，最小项为第_项.解析：an=1+，又 20012000nn200120002001n4445，0，故第 45 项最大，第 44 项最小.200120012000答案：45 44 典例剖析【例 1】 在数列an中，a1=1，an+1=，求 an.nn naa 1剖析：将递推关系式变形，观察其规律.解：原式可化为=n，11nana1=1，=2，=3，21 a11 a31 a21 a41 a31 a=n1.na111na相加得=1+2+（n1） ，na111 aan=.222 nn 评析：求数列通项公
10、式，特别是由递推公式给出数列时，除迭加、迭代、迭乘外还应 注意变形式是否是等差（等比）数列.对于数列递推公式不要升温，只要能根据递推公式写 出数列的前几项，由此来猜测归纳其构成规律.【例 2】 有一数列an ，a1a，由递推公式 an1，写出这个数列的前 4 项，nn aa 12并根据前 4 项观察规律，写出该数列的一个通项公式. 剖析：可根据递推公式写出数列的前 4 项，然后分析每一项与该项的序号之间的关系， 归纳概括出 an与 n 之间的一般规律，从而作出猜想，写出满足前 4 项的该数列的一个通 项公式.解：a1a，an1，a2，nn aa 12 aa 12a3，22 12 aa aaaa
11、12114aa 314 a4.33 12 aa aaaa3141318 aa 718 观察规律：an形式，其中 x 与 n 的关系可由 n1，2，3，4 得出 x2n1.而 yyaxa 1比 x 小 1，an.aann) 12(1211评述：从特殊的事例，通过分析、归纳、抽象总结出一般规律，再进行科学地证明， 这是创新意识的具体体现，这种探索问题的方法，在解数列的有关问题中经常用到，应引 起足够的重视. 思考讨论请同学总结解探索性问题的一般思路.【例 3】 已知数列an的通项公式 an=cn+，且 a2=，a4=，求 a10.nd 23 23剖析：要求 a10，只需求出 c、d 即可.解：由题
12、意知 解得 ,23 44,23 22dcdc. 2,41dcan=n+.a10=10+=.41 n2 41 102 1027评述：在解题过程中渗透了函数与方程的思想. 闯关训练 夯实基础夯实基础 1.若数列an前 8 项的值各异，且 an+8=an对任意的 nN*都成立，则下列数列中，能 取遍数列an前 8 项值的数列是 A.a2k+1B.a3k+1C.a4k+1D.a6k+1 解析：由已知得数列以 8 为周期，当 k 分别取 1，2，3，4，5，6，7，8 时，a3k+1分别 与数列中的第 4 项，第 7 项，第 2 项，第 5 项，第 8 项，第 3 项，第 6 项，第 1 项相等， 故a
13、3k+1能取遍前 8 项. 答案：B 2.设 ann210n11，则数列an从首项到第_项的和最大. A.10B.11C.10 或 11D.12 解析：ann210n11 是关于 n 的二项函数，它是抛物线 f（x）x210x11 上的一些离散的点，从图象可看出前 10 项都是正数，第 11 项是 0，所以前 10 项或前 11 项的和最大. 另解： 由n210n110 得1n11， 又 nN*，0n11.前 10 项为正，第 11 项为 0. 答案：C 3.设an是正数组成的数列，其前 n 项和为 Sn，并且对所有自然数 n，an与 2 的等差中 项等于 Sn与 2 的等比中项，写出此数列的
14、前三项： _，_，_.解析：由题意得=，由此公式分别令 n=1，n=2，n=3 可依次解出前三项.22na nS2答案：2 6 10 4.（2004 年春季上海，8）根据下列 5 个图形及相应点的个数的变化规律，试猜测第 n 个图中有_个点.(1) (2) (3) (4) (5)解析：观察图中五个图形点的个数分别为 1，12+1，23+1，34+1，45+1，故 第 n 个图中个数为（n1）n+1=n2n+1. 答案：n2n+1 5.已知数列an的前 n 项和 Sn满足 log2（Sn+1）=n+1，求数列an的通项公式. 解：由已知 Sn+1=2n1，得 Sn=2n+11，故当 n=1 时，
15、a1=S1=3；当 n2 时，an=SnSn1=2n，故 an= n23).2(),1( nn6.已知在正项数列an中，Sn表示前 n 项和且 2=an+1，求 an.nS解：由已知 2=an+1，得当 n=1 时，a1=1；当 n2 时，an=SnSn1，代入已知有nS2=nSSnSn1+1，即 Sn1=（1）2.又 an0，故=1 或= nS1nSnS1nS1（舍） ，即=1（n2） ，由定义得是以 1 为首项，1 为公差的nSnS1nSnS等差数列，=n.故 an=2n1.nS培养能力培养能力7.（理）已知函数 f（x）=2x+2（x1）的反函数为 y=g（x） ，a1=1，a2=g（a1） ，21a3=g（a2） ，an=g（an1） ，求数列an的通项公式.解：由已知得 g（x）=+1（0x1） ，则 a1=1，an+1=an+1.2x 2
