《高三数学解三角形复习资料高考精选》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高三数学解三角形复习资料高考精选（12页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、3eud 教育网 http:/ 百万教学资源，完全免费，无须注册，天天更新！3eud 教育网 http:/ 教学资源集散地。可能是最大的免费教育资源网！第 27 讲 解三角形解三角形一一 【课标要求课标要求】 （1）通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解决 一些简单的三角形度量问题； （2）能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实 际问题。 二二 【命题走向命题走向】 对本讲内容的考察主要涉及三角形的边角转化、三角形形状的判断、三角形内三角函数 的求值以及三角恒等式的证明问题，立体几何体的空间角以及解析几何中的有关角等问题。 今后高考
2、的命题会以正弦定理、余弦定理为知识框架，以三角形为主要依托，结合实际应用 问题考察正弦定理、余弦定理及应用。题型一般为选择题、填空题，也可能是中、难度的解 答题 三三 【要点精讲要点精讲】 1直角三角形中各元素间的关系： 如图，在ABC 中，C90， ABc，ACb，BCa。 （1）三边之间的关系：a2b2c2。 （勾股定理） （2）锐角之间的关系：AB90； （3）边角之间的关系：（锐角三角函数定义）sinAcosB，cosAsinB，tanA。ca cb ba2斜三角形中各元素间的关系： 如图 6-29，在ABC 中，A、B、C 为其内角，a、b、c 分别表示 A、B、C 的对边。 （1）
3、三角形内角和：ABC。 （2）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等。RCc Bb Aa2sinsinsin（R 为外接圆半径） （3）余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的 余弦的积的两倍 a2b2c22bccosA；b2c2a22cacosB；c2a2b22abcosC。 3三角形的面积公式：（1）ahabhbchc（ha、hb、hc分别表示 a、b、c 上的高） ；21 21 21（2）absinCbcsinAacsinB；21 21 21（3）；)sin(2sinsin2CBCBa )sin(2sinsin2ACACb )sin(2si
4、nsin2BABAc （4）2R2sinAsinBsinC。 （R 为外接圆半径）（5）；Rabc 4（6）；)()(csbsass )(21cbas（7）rs。 4解三角形：由三角形的六个元素（即三条边和三个内角）中的三个元素（其中至少3eud 教育网 http:/ 百万教学资源，完全免费，无须注册，天天更新！3eud 教育网 http:/ 教学资源集散地。可能是最大的免费教育资源网！有一个是边）求其他未知元素的问题叫做解三角形广义地，这里所说的元素还可以包括三 角形的高、中线、角平分线以及内切圆半径、外接圆半径、面积等等解三角形的问题一般 可分为下面两种情形：若给出的三角形是直角三角形，则
5、称为解直角三角形；若给出的三角 形是斜三角形，则称为解斜三角形 解斜三角形的主要依据是： 设ABC 的三边为 a、b、c，对应的三个角为 A、B、C。 （1）角与角关系：A+B+C = ； （2）边与边关系：a + b c，b + c a，c + a b，ab b； （3）边与角关系：正弦定理 （R 为外接圆半径） ；RCc Bb Aa2sinsinsin余弦定理 c2 = a2+b22bccosC，b2 = a2+c22accosB，a2 = b2+c22bccosA；它们的变形形式有：a = 2R sinA，。ba BAsinsin bcacbA2cos2225三角形中的三角变换三角形中的
6、三角变换，除了应用上述公式和上述变换方法外，还要注意三角形自身的特 点。（1）角的变换因为在ABC 中，A+B+C=，所以 sin(A+B)=sinC；cos(A+B)=cosC；tan(A+B)=tanC。；2sin2cos,2cos2sinCBACBA（2）三角形边、角关系定理及面积公式，正弦定理，余弦定理。r 为三角形内切圆半径，p 为周长之半。（3）在ABC 中，熟记并会证明：A，B，C 成等差数列的充分必要条件是 B=60；ABC 是正三角形的充分必要条件是A，B，C 成等差数列且 a，b，c 成等 比数列。 四四 【典例解析典例解析】 题型 1：正、余弦定理（2009 岳阳一中第四
7、次月考）.已知ABC中，ABauuu rr ，ACbuuu rr ，0a br r ，15 4ABCS，3,5abrr ，则BAC（ ） A. 30o B 150o C0150 D 30o或0150答案 C例 1 （1）在中，已知，cm，解三角形；ABC032.0A081.8B42.9a （2）在中，已知cm，cm，解三角形（角度精确到，边长ABC20a28b040A01 精确到 1cm） 。 解析：（1）根据三角形内角和定理，；0180()CA B000180(32.081.8 )066.2根据正弦定理，3eud 教育网 http:/ 百万教学资源，完全免费，无须注册，天天更新！3eud 教
8、育网 http:/ 教学资源集散地。可能是最大的免费教育资源网！；00sin42.9sin81.880.1()sinsin32.0aBbcmA根据正弦定理，00sin42.9sin66.274.1().sinsin32.0aCccmA（2）根据正弦定理，0sin28sin40sin0.8999.20bABa因为，所以，或00B0180064B0116 .B当时， ，064B00000180() 180(4064 ) 76CA B00sin20sin7630().sinsin40aCccmA当时，0116B，00000180() 180(40116 ) 24CA B00sin20sin2413(
9、).sinsin40aCccmA点评：应用正弦定理时（1）应注意已知两边和其中一边的对角解三角形时，可能有两 解的情形；（2）对于解三角形中的复杂运算可使用计算器例 2 （1）在ABC 中，已知，求 b 及 A；2 3a62c060B（2）在ABC 中，已知，解三角形134.6acm87.8bcm161.7ccm解析：（1）2222cosbacacB=cos22(2 3)( 62)2 2 3 ( 62) 045=212 ( 62)4 3( 3 1)=82 2.b求可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理：A解法一：cos222222(2 2)( 62 )(2 3)1, 222 2 2 ( 62)b
10、caAbc060 .A解法二：sin02 3sinsin45 ,2 2aABb又，即622.4 1.4 3.8,2 32 1.8 3.6,ac00A090 ,060 .A （2）由余弦定理的推论得：cos2222bcaAbc22287.8161.7134.6 2 87.8 161.70.5543,；056 20Acos2222cabBca222134.6161.787.8 2 134.6 161.70.8398,3eud 教育网 http:/ 百万教学资源，完全免费，无须注册，天天更新！3eud 教育网 http:/ 教学资源集散地。可能是最大的免费教育资源网！；032 53B0000180(
11、) 180(56 2032 53)CA B090 47. 点评：应用余弦定理时解法二应注意确定 A 的取值范围。 题型 2：三角形面积例 3在中，求的值和ABCsincosAA2 2AC 2AB 3Atan的面积。ABC 解法一：先解三角方程，求出角 A 的值。.21)45cos(,22)45cos(2cossinooQAAAA又, 0180ooA4560 ,105 .AAooo,13tantan(4560 )2313A oo.46260sin45cos60cos45sin)6045sin(105sinsinoooooooA。SACABAABC1 21 22326 43 426sin()解法二
12、：由计算它的对偶关系式的值。sincosAAsincosAAQ sincosAA2 2. 0cos, 0sin,1800 21cossin221)cos(sin2AAAAAAAooQ,23cossin21)cos(sin2AAAAQsincosAA6 2 + 得 。sin A 26 43eud 教育网 http:/ 百万教学资源，完全免费，无须注册，天天更新！3eud 教育网 http:/ 教学资源集散地。可能是最大的免费教育资源网！ 得 。cos A 26 4从而 。sin264tan23cos426AAA 以下解法略去。 点评：本小题主要考查三角恒等变形、三角形面积公式等基本知识，着重数学
13、考查运算 能力，是一道三角的基础试题。两种解法比较起来，你认为哪一种解法比较简单呢？例 4 （2009 湖南卷文）在锐角ABC中，1,2 ,BCBA则cosAC A的值等于 ，AC的取值范围为 . 答案 2)3,2( 解析 设,2 .AB由正弦定理得,12.sin2sin2coscosACBCACAC 由锐角ABC得0290045oooo，又01803903060ooooo，故233045cos22oo，2cos( 2, 3).AC例 5 （2009 浙江理） （本题满分 14 分）在ABC中，角, ,A B C所对的边分别为, ,a b c，且满足2 5cos25A，3AB ACuuu r
14、uuu r （I）求ABC的面积； （II）若6bc，求a的值解 （1）因为2 5cos25A，234cos2cos1,sin255AAA ，又由3AB ACuuu r uuu r得cos3,bcA 5bc，1sin22ABCSbcA （2）对于5bc ，又6bc，5,1bc 或1,5bc，由余弦定理得2222cos20abcbcA，2 5a 例 6 （2009 全国卷理）在ABC中，内角 A、B、C 的对边长分别为a、b、c，已知3eud 教育网 http:/ 百万教学资源，完全免费，无须注册，天天更新！3eud 教育网 http:/ 教学资源集散地。可能是最大的免费教育资源网！222acb，且sincos3cossin,ACAC 求 b 分析：:此题事实上比较简单,但考生反应不知从何入手.对已知条
