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1、15.215.2 分式的运算分式的运算1分式的乘除(1)分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母用式子表示为： .abcdacbd(2)分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘用式子表示为： .abcdabdcadbc分式的除法要转化为乘法，然后根据乘法法则进行运算，结果要化为最简分式【例 1】 计算：(1)；4a4b215x29x8a4b(2)；a21a22a1a2aa1(3)；a24a24a42aa24a4(4)(4x2y2)4x24xyy22xy解：解：(1)；4a4b215x29x8a4b4a4b29x15x28a4b3b
2、10x(2)a21a22a1a2aa1（a1）（a1）（a1）2a1a（a1） ；（a1）（a1）（a1）a（a1）2（a1）1a(3)a24a24a42aa24a4（a2）（a2）（a2）22a（a2）22a（a2）（a2）（a2）2（a2）2；2aa24(4)(4x2y2)4x24xyy22xy（2xy）22xy1（2xy）（2xy）.12xy2分式的乘方(1)法则：分式乘方要把分子、分母分别乘方(2)用式子表示：.(ab)nanbn解技巧解技巧 分式的乘方的理解 (1)分式乘方时，分子、分母要乘相同次方；(2)其结果的符号与有理数乘方结果的符号确定方法一样【例 2】 计算：(1)；(2)
3、.(a2b3)4(x2yz2)3解：解：(1)；(a2b3)4（a2）4（b3）4a8b12(2).(x2yz2)3（x2y）3（z2）3x6y3z6x6y3z63分式的加减(1)同分母分式相加减：法则：分母不变，把分子相加减；用式子表示： .acbca bc(2)异分母分式相加减：法则：先通分，变为同分母的分式，再加减；用式子表示： .abcdadbdbcbdad bcbd警误区警误区 分式加减运算的注意点 (1)同分母分式的加减运算的关键是分子的加减运算，分子加减时要将其作为一个整体进行加减，当分子是多项式时，要添加括号；(2)异分母分式加减运算的关键是先通分，转化为同分母的分式相加减，再
4、根据同分母分式加减法进行运算，通分时要注意最简公分母的确定；(3)分式加减运算的结果要化为最简分式或整式 【例 3】 计算：(1)；（ab）22ab（ab）22ab(2)；aa2111a2(3)；1xy1xy2xx2y2(4)；12m2923m(5)；x3x212x1(6)a2.4a2解：解：(1)（ab）22ab（ab）22ab（ab）2（ab）22aba22abb2a22abb22ab2a22b22ab；a2b2ab(2)aa2111a2aa211a21；a1a21a1（a1）（a1）1a1(3)1xy1xy2xx2y21xy1xy2x（xy）（xy）（xy）（xy）2x（xy）（xy）2
5、x2y（xy）（xy）；2（xy）（xy）（xy）2xy(4)12m2923m12（m3）（m3）2m312（m3）（m3）2（m3）（m3）（m3）122（m3）（m3）（m3）2（m3）（m3）（m3）；2m3(5)x3x212x1x3（x1）（x1）2（x1）（x1）（x1）x32（x1）（x1）（x1）（x1）（x1）（x1）；1x1(6)a2(a2)4a24a24a2（a2）14a2（a2）2a24（a2）2a24a24a4a2.a24aa24整数指数幂一般地，当 n 是正整数时，an(a0)这就是说，an(a0)是 an的倒数这样引入负1an整数指数幂后，指数的取值范围就推广到全体
6、整数根据整数指数幂的运算性质，当 m，n 为整数时，amanamn，amanam(n)amn，因此 amanaman.特别地， abab1，所以(ab1)n，即商的乘方可以转化为积的乘方(ab1)n.ab(ab)n(ab)n这样，整数指数幂的运算性质可以归纳为：(1)amanamn(m，n 是整数)； (2)(am)namn(m，n 是整数)；(3)(ab)nanbn(m，n 是整数)【例 4】 计算：(1)；(23)2(2)a2b3(a1b)3(ab)1.解：解：(1) ；(23)21(23)214994(2)a2b 3( a1b)3(ab)1a2b3a3b3aba0bb.5科学记数法(1)
7、用科学记数法表示绝对值大于 1 的数时，应当表示为 a10n的形式，其中1|a|10，n 为原数整数部分的位数减 1； (2)用科学记数法表示绝对值小于 1 的数时，可以表示为 a10n的形式，其中 n 为原数第1 个不为零的数字前面所有零的个数(包括小数点前面的那个零)，1|a|10.提示：用科学记数法的形式表示数更方便于比较数的大小【例 5】 把下列各 数用科学记数法表示出来：(1)650 000；(2)36 900 000；(3)0.000 002 1；(4)0.000 006 57.解：解：(1)650 0006.5105；(2)36 900 0003.69107；(3)0.000 0
8、02 12.1106；(4)0.000 006 576.57106.6分式的乘除混合运算分式的乘除混合运算要统一为乘法运算来计算谈重点谈重点 分式乘除混合运算的方法 (1)分式的乘除混合运算顺序与分数的乘除混合运算顺序相同，即从左到右的顺序，有括号先算括号里面的；(2)分式的乘除混合运算要注意每个分式中分子、分母括号的处理，以及结果符号的确定；(3)分式的乘除混合运算结果应为最简分式或整式7分式的混合运算分式的四则混合运算与有理数的混合运算相同，必须按照运算顺序，先乘方，再乘除，后加减，有括号时先去小括号再去中括号，最后结果要化为最简分式或整式解技巧解技巧 分式混合运算的技巧 分式四则混合运算
9、要注意：(1)按照运算顺序进行，确定合理的运算顺序是解题的关键；(2)灵活运用交换律、结合律、分配律，可以使运算简捷，而且还可以提高运算速度和准确率；(3)将结果化为最简分式或整式；(4)运算过程中要注意符号的确定8把分式化简后再求值分式的化简求值题，关键是要准确地运用分式的运算法则，然后代入求值化简运算过程中要注意约分、通分时分式的值保持不变，要注意分清运算顺序，先乘除，后加减，如果有括号，先进行括号内的运算【例 6】 计算：(x1)2.1x2x24x4x23x2x1分析：分析：按照从左到右的顺序依次运算，把除法运算转化为乘法，然后根据乘法法则进行运算，结果要化为最简分式或整式解：解：(x1
10、)21x2x24x4x23x2x1（1x）（1x）（x2）21（x1）2（x1）（x2）x1.（x1）2（x2）（x1）2【例 7】 计算：.a2b2a22abb22ab(1a1b)22a2b22ab解：解：原式a2b2a22abb22ab(abab)22a2b22aba2b2a22abb22ab（ab）2（ab）22a2b22aba2b2a22abb22ab（ab）22a2b22aba2b2（ab）22ab（ab）22a2b22aba2b22ab（ab）22a2b22ab.2（ab）2【例 8】 先化简，再求值：，其中 x3.(3xx1xx1)x212x解：解：原式3x（x1）x（x1）（x
11、1）（x1）（x1）（x1）2xx2.3x23xx2x2x2x24x2x2x（x2）2x当 x3 时，原式321.9.运用分式运算解决实际问题运用分式运算解决实际问题，关键是理解题意，找准各种量之间的关系，这也是解决数学应用题的基本方法，作差法等也是解决这类问题的常用方法在判断两分式的差的正负的时候，可以考虑利用完全平方式的非负性和题中字母的实际意义来解题作差法举例：若 xy 且 x0，y0，比较与的大小4xyxyxy解：解：.4xyxyxy4xy（xy）2xy（xy）（xy）2xy（xy）因为 xy，x0，y0.所以0，即.（xy）2xy（xy）4xyxyxy【例 9】 甲、乙两工人生产同一
12、种零件，甲每小时比乙多生产 8 个，现要求甲生产出 168个零件，乙生产出 144 个零件，则他们两人谁能先完成任务？解：解：设甲每小时生产这种零件 x 个，则乙每小时生产这种零件(x8)个，甲完成任务需要时间为小时，乙完成任务需要时间为小时168x144x8.168x144x8168（x8）144xx（x8）24（x56）x（x8）x8，x80，x(x8)0.故当 x56 时，0；168x144x8当 x56 时，0；168x144x8当 x56 时，0.168x144x8所以若甲每小时生产零件多于 56 个，则乙先完成任务；若甲每小时生产零件等于 56 个，则两人同时完成任务；若甲每小时生
13、产零件小于 56 个且多于 8 个，则甲先完成任务10分式混合运算的开放型题运用分式的混合运算解决开放型问题，关键还是进行分式的混合运算，只是题目具有一定的开放性，所以在解决此类问题时，首先还是要正确进行分式的化简，然后还要注意问题的多解的情况举例：已知 P，Q，用“”或“”连接 P，Q 共有三种不同的形式：a2b2a2b22aba2b2PQ，PQ，QP，请选择其中一种进行化简求值，其中 a3，b2.【例 10】 已知 A，B，C.将它们组合成(AB)C 或 ABC 的形式，1x22x24xx2请你从中任选一种进行计算先化简，再求值，其中 x3.解：解：选一：(AB)C(1x22x24)xx2，x（x2）（x2）x2x1x2当 x3 时，原式1.132选二：ABC1x22x24xx21x22（x2）（x2）x2x ，1x22x（x2）x2x（x2）1x当 x3 时，原式 .13
