《【中学数学资料】4.3平面向量的数量积及平面向量的应用》由会员分享，可在线阅读，更多相关《【中学数学资料】4.3平面向量的数量积及平面向量的应用（18页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第三节 平面向量的数量积及平面向量的应用备考方向要明了考 什 么怎 么 考1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义了解平面向量的数量积与向量投影的关系2.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算3.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系4.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.近年来的新课标高考对平面向量的数量积的考查，主要以选择题、填空题的形式出现：(1)直接利用数量积进行平面向量的运算，如2012 年北京 T13，上海 T12 等(2)利用平面向量的数量积计算及两个向量的夹角问题，如 2012 年新课
2、标全国 T13，江西T7 等.(3)利用平面向量的数量积解决垂直问题如2012 年安徽 T11 等.归纳知识整合1平面向量的数量积平面向量数量积的定义已知两个非零向量 a 和 b，它们的夹角为 ，把数量|a|b|cos 叫做 a 和 b 的数量积(或内积)，记作 ab.即 ab|a|b|cos ，规定 0a0.2向量数量积的运算律(1)abba(2)(a)b(ab)a(b)(3)(ab)cacbc探究 根据数量积的运算律，判断下列结论是否成立(1)abac，则 bc 吗？(2)(ab)ca(bc)吗？提示：(1)不一定，a0 时不成立，另外 a0 时，abac.由数量积概念可知 b 与 c 不
3、能确定；(2)(ab)ca(bc)不一定相等(ab)c 是 c 方向上的向量，而 a(bc)是 a 方向上的向量，当 a 与 c 不共线时它们必不相等3平面向量数量积的有关结论已知非零向量 a(x1，y1)，b(x2，y2)结论几何表示坐标表示模|a|aa|a|x2 1y2 1夹角cos ab|a|b|cos x1x2y1y2x2 1y2 1 x2 2y2 2ab 的充要条件ab0x1x2y1y20|ab|与|a|b|的关系|ab|a|b|x1x2y1y2|x2 1y2 1x2 2y2 2自测牛刀小试1(教材习题改编)已知|a|5，|b|4，ab10，则 a 与 b 的夹角为( )A. B.
4、323C. D. 656解析：选 B 设 a 与 b 的夹角为 ，则 ab|a|b|cos 54cos 10，即 cos .12又0， .232(教材习题改编)等边三角形 ABC 的边长为 1，a，b，c，那么BCuuu rCAuu u rABuuu rabbcca 等于( )A3 B3C. D3232解析：选 D 由题意知|a|b|c|1，且 a 与 b 的夹角为 120，b 与 c 的夹角为 120，c 与 a 的夹角也为 120.故 abbcca .323设向量 a，b 满足|a|b|1，ab ，则|a2b|12( )A. B.23C. D.57解析：选 B |a2b|a2b|2|a|2
5、4ab4|b|2.12434(教材习题改编)已知|a|3，|b|4，且 a 与 b 不共线，若向量 akb 与 akb 垂直，则 k_.解析：(akb)(akb)，(akb)(akb)0，即|a|2k2|b|20.又|a|3，|b|4，k2，即 k .91634答案：345若向量 a(1,1)，b(2,5)，c(3，x)满足条件(8ab)c30，则 x_.解析：由题意可得 8ab(6,3)，又(8ab)c30，c(3，x)，则 183x30，解得x4.答案：4平面向量数量积的运算例 1 (1)(2012天津高考)已知ABC 为等边三角形，AB2.设点 P，Q 满足APuuu r，(1) ，R，
6、若 ，则 ( )ABuuu rAQuuu rACuuu rBQuuu rCPuu u r32A. B.121 22C. D.1 1023 2 22(2)(2012上海高考)在平行四边形 ABCD 中，A ，边 AB、AD 的长分别为 2、1.若3M、N 分别是边 BC、CD 上的点，且满足 ，则的取值范围是_|AMuuuu rANuuu r自主解答 (1)以点 A 为坐标原点，AB 所在直线为 x 轴建立平面直角坐标系，则B(2,0)，C(1，)，由，得 P(2，0)，由(1) ，得3APuuu rABuuu rAQuuu rACuuu rQ(1，(1)，所以(1，(1)(21，)(1)(21
7、)3BQuuu rCPuu u r33(1) ，解得 .333212(2)建立平面直角坐标系，如图则 B(2,0)，C，D.(52，32)(12，32)令，则 M，N.BMBCCNCD(22，32)(522，32) 225(1)26.AMuuuu rANuuu r(22) (522)3401，2,5AMuuuu rANuuu r答案 (1)A (2)2,5平面向量数量积的类型及求法(1)向量数量积有两种计算公式：一是夹角公式 ab|a|b|cos ；二是坐标公式abx1x2y1y2.(2)求较复杂的向量数量积的运算时，可先利用向量数量积的运算律或相关公式进行化简注意以下两个重要结论的应用：(a
8、b)2a22abb2；(ab)(ab)a2b2.1.(2012江苏高考)如图，在矩形 ABCD 中，AB，BC2，点 E 为 BC 的中点，点2F 在边 CD 上，若，则的值是_ABuuu rAFuuu r2AEuuu rBFuuu r解析：以 A 为坐标原点，AB，AD 所在的直线分别为 x，y 轴建立直角坐标系，则B(，0)，E(，1)，D(0,2)，C(，2)设 F(x,2)(0x)，2222由xx1，所以 F(1,2)，(，1)(1，2).ABuuu rAFuuu r222AEuuu rBFuuu r222答案：2平面向量的夹角与模的问题例 2 已知|a|4，|b|3，(2a3b)(2
9、ab)61.(1)求 a 与 b 的夹角 ；(2)求|ab|和|ab|.自主解答 (1)(2a3b)(2ab)61，解得ab6.cos ，ab|a|b|64 312又 0，.23(2)|ab|2a22abb213，|ab|.13|ab|2a22abb237.|ab|.37本例条件不变，若a，b，试求ABC 的面积ABuuu rBCuuu r解：与的夹角 ，ABuuu rBCuuu r23ABC .2313又|a|4，|b|3，ABuuu rBCuuu rSABC |sin ABC 433. 12ABuuu rBCuuu r123231利用数量积求解长度问题的处理方法(1)a2aa|a|2或|a
10、|.aa(2)|ab|.a b2a2 2abb2(3)若 a(x，y)，则|a|.x2y22求向量夹角的方法(1)利用向量数量积的定义知，cos ，其中两向量夹角的范围为 0180，ab|a|b|求解时应求出三个量：ab，|a|，|b|或者找出这三个量之间的关系(2)利用坐标公式，若 a(x1，y1)，b(x2，y2)，则cos .x1x2y1y2x2 1y2 1 x2 2y2 2(3)三角函数法，可以把这两个向量的夹角放在三角形中；利用正余弦定理、三角形的面积公式等求解2(1)已知平面向量 ，|1，(2,0)，(2)，求|2|的值；(2)已知三个向量 a、b、c 两两所夹的角都为 120，|
11、a|1，|b|2，|c|3，求向量abc 与向量 a 的夹角解：(1)(2,0)，|2，又 (2)，(2)22120. .12(2)2422444210.|2|.10(2)由已知得(abc)aa2abac12cos 1203cos 120 ，32|abc|abc2a2b2c22ab2ac2bc1494cos 1206cos 12012cos 120 .3设向量 abc 与向量 a 的夹角为 ，则 cos ，abca|abc|a|32332即 150，故向量 abc 与向量 a 的夹角为 150.平面向量的垂直问题例 3 已知|a|4，|b|8，a 与 b 的夹角是 120.(1)计算|ab|；
12、(2)当 k 为何值时，(a2b)(kab)自主解答 (1)|ab|2|a|22ab|b|2162486448，(12)故|ab|4.3(2)若(a2b)(kab)，则(a2b)(kab)0，即 ka2(2k1)ab2b216k16(2k1)2640，解得 k7.即 k7 时，两向量垂直两向量垂直的判断方法及应用(1)若 a，b 为非零向量，则 abab0；若非零向量 a(x1，y1)，b(x2，y2)，则abx1x2y1y20.(2)一对向量垂直与向量所在的直线垂直是一致的，向量的线性运算与向量的坐标运算是求解向量问题的两大途径3在直角三角形 ABC 中，已知(2,3)，(1，k)，求 k
13、的值ABuuu rACuuu r解：(1)当 A90时，0.ABuuu rACuuu rABuuu rACuuu r213k0，解得 k .23(2)当 B90时，ABuuu rBCuuu r又(1，k)(2,3)(1，k3)，BCuuu rACuuu rABuuu r2(1)3(k3)0，ABuuu rBCuuu r解得 k.113(3)当 C90时，1(1)k(k3)0，ACuuu rBCuuu r即 k23k10.k.3 132综上可得 k 的值为 或或.231133 132平面向量数量积的应用例 4 设向量 a(4cos ，sin )，b(sin ，4cos )，c(cos ，4sin )(1)若 a 与 b2c 垂直，求 tan()的值；(2)求|bc|的最大值；(3)若 tan tan 16，求证：ab.自主解答 (1)由 a 与 b2c 垂直，a(b2c)ab2ac0，即 4sin()8cos()0，tan()2.(2)bc(sin cos
