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1、ACABCBACABCB 1ABCDE 2ABCDE 3AB CDDABC相似三角形的判定基础及培优一相似三角形的判定基础及培优一1 1、相似三角形的基本概念：、相似三角形的基本概念：1.相似三角形的定义：对应角相等、对应边成比例的三角形叫做相似三角形。 2.相似比相似三角形的对应边的比，叫做相似三角形的相似比。ABCABC,如果 BC=3, BC=2,那么AB C与 ABC 的相似比为_ 2 2、相似三角形的判定及其书写格式：、相似三角形的判定及其书写格式：1、相似三角形的预备定理：如果一条直线平行于三角形的一条边，且这条直线与原三 角形的两条边（或其延长线）分别相交，那么所构成的三角形与原
2、三角形相似。 2、判定定理 1：两角对应相等，两三角形相似。 3、判定定理 2：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。 4、判定定理 3：三边对应成比例，两三角形相似。 5、直角三角形相似的判定定理：斜边和一条直角边对应成比例，两直角三角形相似。 注意：第 6 个定理只适用于直角三角形相似的判定，第 1 个相似三角形的定义因用起来较烦，因此平时不使用。预备定理的基本图形（A 型、X 型）简称为：平行出相似 ABC ADE（3) ABCABC(判定 1）简称为：AA 型 ABCABC(判定 2） 简称为：SAS 型（4） ABCABC(判定 3）简称为：SSS 型 RtABCRtABC(直角三
3、角形相似的判定定理：）简称为：HL 型 3、射影定理、射影定理AD2=BDCDDCD ABAB2 2=BDBC=BDBC ACAC2 2=CDBC=CDBC特殊图形（双垂直模型）BAC=90 4、基本图形、基本图形（1） 小结：此类图形为基本图形：A 型或母子型AACBBCAADBC BACBDAADCCBEADCBDAE（2） 小结：此类图形为基本图形 ： X 型或蝶形小结：此类图开为基本图形 ： 旋转型5 5、巩固练习：、巩固练习：1、判断 所有的等腰三角形都相似 （ ） 所有的直角三角形都相似 （ ） 所有的等边三角形都相似 （ ） 所有的等腰直角三角形都相似 （ ) 2、如图，已知，则
4、，理由是_BADEAED_3、如图,在 R中, 于 D,则 ABCtABDEC,900ADE4、如图,在,则 ， CB5、RR,若 AB=3,BC=2, ,则ABCtCBAt090CC6BA_,CACB6、在与中,若,则当时, ABCCBA4, 8, 6,CBBCABBB_BA.当时, .ABCCBA_BAABCABC7、如图,在中,DE 不平行于 BC,当时, ,若ABC_AEABABCAEDAB=8,BC=7,AE=5,则 DE=_.8、如图,在 R中, ，AF=4，交 AB 于 E，垂足为ABCt090ACBACEF ABCD D，若 CD=6，EF=3，则 ED=_,BC=_,AB=_
5、9、如图,点 D 在内,连接 BD 并延长到 E,连接 AD、AE,若ABC,则AEAC DEBC ADABBAD,200_EAC10、下列各组图形必相似的是（ ） A、任意两个等腰三角形 B、两条边之比为 2：3 的两个直角三角形 C、两条边成比例的两个直角三角形 D、斜边和一条直角边对应成比例的两个直角三角形 11、如图所示，给出下列条件：；BACD ADCACB ACAB CDBC2ACAD ABg其中单独能够判定的个数为（ ）ABCACD A1B2C3D412、如图，下列结论成立的是（ ）CDBCOBOAAOD,900A、 B、 C、 D、以上结论都不对OABOCAOABODABACB
6、DA 13、点 P 是中 AB 边上一点，过点 P 作直线（不与直线 AB 重合）截，使得ABCABC 的三角形与原三角形相似，满足这样条件的直线最多有（ ） A、2 条 B、3 条 C、4 条 D、5 条14、中，D 是 AB 上的一点，在 AC 上取一点 E，使得以 A、D、E 为顶点的三角形ABC 与相似，则这样的点的个数最多是（ ）ABC A、0 B、1 C、2 D、无数15、如图，正方形 ABCD，E 是 CD 的中点，FC=，下面得出六个结论：BC41（1）；（2）；（3）；（4）ABFAEFABFECFABFADE ；（5）；（6），其中正确的个数是（ AEFECFAEFADEE
7、CFADE ） A、1 个 B、3 个 C、4 个 D、5 个16、已知，如图，中，P 为 AB 上一点，在下列四个条件中：ABC （1）；（2）；（3）；BACPACBAPCABAPAC2（4），能满足与相似的条件是（ ）CBAPCPABAPCACB A、 （1） 、 （2） 、 （4） B、 （1） 、 （3） 、 （4） C、 （2） 、 （3） 、 （4） D、 （1） 、 （2） 、 （3） 17、如图，正方形 ABCD 的对角线 AB、BD 相交于点 O，E 是 BC 的中点，DE 交 AC 于 F，若 DE=12，则 EF 等于（ ） A、8 B、6 C、4 D、3 18、已知,
8、如图,梯形 ABCD 中,ADBC, A=900,对角线 BDCD 求证:(1) ABDDCB;(2)BD2=ADBC19、如图，以 DE 为轴，折叠等边，顶点 A 正好落在 BC 边上 F 点，ABC 求证：DBFFCE20、中，AB=AC，D 是 BC 上一点，且 BD=BA，ABC0108BAC求证：ABCDACABCDEFG ABCDEM12BG21、在等边中，D 在 BC 上，E 在 CA 上，BD=CE，AD、BE 相交于 F。ABC 求证：（1）；（2）ABDBFDAEFADC 6 6、经典例题（提高）：、经典例题（提高）： 一、如何证明三角形相似一、如何证明三角形相似 例例 1
9、、如图：点 G 在平行四边形 ABCD 的边 DC 的延长线上,AG 交 BC、BD 于点 E、F， 则AGD 。例例 2、已知ABC 中，AB=AC，A=36，BD 是角平分线，求证：ABCBCD例例 3：已知，如图，D 为ABC 内一点连结 ED、AD，以 BC 为边在ABC 外作 CBE=ABD，BCE=BAD 求证：DBEABC例例 4、矩形 ABCD 中，BC=3AB，E、F，是 BC 边的三等分点，连结 AE、AF、AC，问图 中是否存在非全等的相似三角形？请证明你的结论。二、如何应用相似三角形证明比例式和乘积式二、如何应用相似三角形证明比例式和乘积式 例例 5、ABC 中，在 A
10、C 上截取 AD，在 CB 延长线上截取 BE，使 AD=BE，求证： DF AC=BC FE 例例 6：已知：如图，在ABC 中，BAC=900，M 是 BC 的中点，DMBC 于点 E，交 BA 的延长线于点 D。求证：（1）MA2=MDME；（2） MDME ADAE22例例 7 7：如图ABC 中，AD 为中线，CF 为任一直线，CF 交 AD 于 E，交 AB 于 F，求证： AE：ED=2AF：FB。三、如何用相似三角形证明两角相等、两线平行和线段相等三、如何用相似三角形证明两角相等、两线平行和线段相等。例例 8 8：已知：如图 E、F 分别是正方形 ABCD 的边 AB 和 AD 上的点，且。求证： 31ADAF ABEBAEF=FBD例例 9 9、平行四边形 ABCD，AR、BR、CP、DP 为四角的平分线，求证：SQAB，RPBC 例例 1010、已知 A、C、E 和 B、F、D 分别是O 的两边上的点，且 ABED，BCFE， 求证：AFCD 例例 1111、直角三角形 ABC 中，ACB=90，BCDE 是正方形，AE 交 BC 于 F，FGAC 交 AB 于 G，求证：FC=FG例例 1212、RtABC 锐角 C 的平分线交 AB 于 E，交斜边上的高 AD 于 O，过 O 引 BC 的平行 线交 AB 于 F，求证：AE=BF
