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1、东北大学东北大学 2013 年国际大学生数学建模竞赛校内选拔赛年国际大学生数学建模竞赛校内选拔赛参赛队编号：（ ）选择题目：A B摘要摘要本文建立汽车启动模型，通过图解法，分析法，利用数学，物理知识，结合 实际生活常识对该模型进行求解。 要证明按照路口规定的上限速度同时启动车辆的通过率比车辆依次启动的通 过率高，即需要对标准路口汽车通行模型与同时加速启动通行模型进行比较。 对于车辆依次启动，需要考虑到每辆车启动时所需要的启动延迟时间。根据模 型假设及变量定义，得出绿灯持续时间 t 内通过的车辆数 n1，得到 0 01 0()21tv t nLDv T对于车辆按照路口规定的上限速度同时启动，减少
2、了后续车辆由于启动延迟的 多余时间消耗，根据模型假设及变量定义，得出绿灯持续 t 时间内通过的车辆 为 n2，得到0 02()21tv t nLD由比较可知， 00 0012 0()()2211ttv tv t nnLDv TLD 故证明出按照道路规定的上限速度同时启动比车辆依次启动的通过率高。由表 达式分析得到，影响通过率的因素为：道路规定的上限速度及单位车辆启动的 时间延迟。 要提高交通路口的通行速度和通行能力，由运动学知识可知，速度越高， 单位时间内通过的车辆越多，因此，在第一问的基础上，构建加速区路口汽车 通行模型。在设置加速区的基础上使车辆在到达交通路口时的速度达到规定的 上限速度，
3、从而比车辆按照路口规定的上限速度同时启动的前提下，更进一步 省去了在交通路口加速所消耗的时间，以上限速度通过路口，进而大大提高路 口的车辆通过率。根据模型假设及变量定义，得出绿灯持续时间 t 内通过的车 辆数 n，得到，* *0 003 0()()221ttv tat t nLDv T 通过比较得知，* *000 0000123 00()()()()2222111ttttv tv tv tat t nnnLDv TLDLDv T 因此，设置加速区使车辆在达到交通路口时的速度达到规定的上限速度，可以 大大提高路口车辆的通过能力和通过速度。关键字关键字：通过率 上限速度 同时启动 匀加速 - 0
4、-一、问题重述一、问题重述1.1 背景 随着时代的发展社会的进步，人们的生活水平越来越高，每个家庭拥有一 辆汽车基本很是普遍，然而这也带来了新的问题交通拥堵，以交通路口处 尤为严重。人们迫切的希望可以寻求一种办法使得车辆可以不需浪费太多时间 或者是尽可能使顺畅的通过交通路口，这样不但减少路上行人自己的时间，还 能在一定程度上减少交通事故的发生，因此，这一课题很有现实意义。 1.2 问题 交通信号灯由红灯变绿灯时，大家都希望尽快通过路口，但实际情况是， 随着前面车辆启动后续车辆依次启动，而不是大家按照路口规定的上限速度一 起启动，显然后一种方式通过的车流量大。问题一：建立你的数学模型说明：按照路
5、口规定的 上限速度一起启动比 车辆依次启动的通过率高，并分析影响通过率的因素。 问题二：通过建立数学模型说明提高交通路口的通行速度和通行能力。 对于第一问虽然是一道证明题而且结果显而易见，但是实际上如要通过建 立数学模型求解并不简单，需要将两种情况建立两个数学模型，而且这两模型 还要在一定程度上可以很好的进行比较；而问题二可以堪称是一个开放性的试 题，完全考验思维能力和创新能力，需要我们能够想出最优的方案来使得汽车 的通过率最大，并将所想的方案建立出数学模型，进而得出结论。二、问题分析二、问题分析2.1 对问题一的分析。 通过题意可知，目的就是在绿灯的持续时间内将两种情况的车辆的通过数 进行比
6、较，从而证明车辆同时以上限速度启动在交通路口的通过率要大于车辆 从前至后依次启动的通过率。首先我们要建立两组数学模型。在第一个模型中， 建立车辆从前之后依次启动的启动时间与车辆所处位置的关系，再建立绿灯持 续时间与在此持续时间内通过交通路口的车辆数的关系；在第二个模型中，同 样的要建立通过的车辆数与车辆行驶时间以及绿灯持续时间的关系，但是异地 个模型不同的是，在这个问题中，车辆要同时以上限速度启动，从而省去了依 次启动所浪费的时间。在这两个模型中，很容易可以想到物理学中的运动学方 程问题，根据汽车启动加速时间与绿灯持续时间的比较，可以列出有关时间、 路程和速度的关系式，将所得关系式联立并应用解
7、一元二次数学方程组的思想 对通过的车辆数进行求解，将两种情况的求得的结果进行比较即可方便的得出 结论。 2.1 对问题二的分析。 对于问题二，以问题一为基础，同样应用运动学的有关知识，建立所需的 数学模型，在设置加速区的基础上使车辆在达到交通路口时的速度达到规定的 上限速度，从而省去了在交通路口中行驶时加速所浪费的时间，使车辆可以全 速通过路口，进而大大提高路口的车辆通过率。列出行驶时间、行驶路程以及 绿灯持续时间的关系式，通过数学方面的一元二次方程求解的方法计算结果， 进而得出结论。- 1 - 2 -3、模型假设模型假设1、假设汽车的车身长度都相等2、假设汽车在加速到上限速度期间属于匀加速运
8、动且所有汽车的加速度相 同3、假设车辆与车辆之间的间距相等4、车辆在加速至上限速度后速度保持不变4、符号说明与名词定义符号说明与名词定义L车身的长度 D前一辆车与后一辆车之间的距离 t0加速到上限速度所需时间 v0交通路口规定的最大上限速度a汽车的加速度 t*黄灯的持续时间b加速区的长度T单位车辆启动延迟时间 五、模型建立五、模型建立5.1 问题一：标准路口汽车通行模型与同时加速启动通行模型的比较对于问题中的汽车启动问题，可以近似为有关的汽车启动的物理问题，运 用物理学中的运动学知识可以进行方程的列解.由于交通信号灯管理的路口车辆都是 按规定车道单向行驶的，因此本文只讨论道路一侧单股直行车道上
9、的汽车通行状况，其它 车道可类似讨论，由于通过交叉路口的车型，车速，车辆加速性能等各不相同，根据文献， 以当量小汽车为研究对象。用 x 轴表示车辆行驶的道路，原点 O 便是交通信号灯下的车辆 停止线位置，OA 长度为交通岗的宽度，汽车行驶方向为 x 轴正向，以汽车车头所处的位置 为汽车位置，如图所示：- 3 -L D O A（1）当信号灯由红转绿时，随着前面车辆启动，后续车辆依次启动，设信号灯 变成绿灯的开始时刻为 t=0，Xn(t)表示时刻 t 第 n 辆汽车的位置，则有：Xn(t)= 2 02 000(n1)(L+D) 0tn-1)T(n1)(L+D)+(1) )n-1)Ttn-1)T+t
10、2(n1)(L+D)+n-1)T+t2atnTat（+(-(n-1)T-t ) t （设绿灯持续 t 时间内通过的车辆为 n1，其中 t（n-1)T+t0 ，则有：2 10010(1)()(1)02anLDtvtnTt2 10010()()02an LDtv tnTt解得00 001 00()()221ttv tv t nLDv TLDv T 故0 01 0()21tv t nLDv T（2）当信号灯由红转绿时，所有车辆按照路口规定的上限速度一起启动，设信 号灯变成绿灯的开始时刻为 t=0，Yn(t)表示时刻 t 第 n 辆汽车的位置，则有：Yn(t)=- 4 -2 02 000(n1)(L+
11、D) 0tn-1)T(n1)(L+D)+n-1)Ttn-1)T+t2(n1)(L+D)+n-1)T+t2atat（+(-t ) t （设绿灯持续 t 时间内通过的车辆为 n2，其中 t（n-1)T+t0 ，则有：2 2000(1)()02anLDtvtt2 2000()()02an LDtv tt解得00 002()()221ttv tv t nLDLD 故0 02()21tv t nLD 比较可知00 0012 0()()2211ttv tv t nnLDv TLD 因此，按照道路规定的上限速度一起启动比车辆依次启动的通过率高。（3）影响通过率的因素：道路规定的上限速度 v0 单位车辆启动延
12、迟时间 T5.2 问题二：加速区路口汽车通行模型由运动学知识可知，速度越高，单位时间内通过的车辆越多，为了提高绿 灯时路口的通行能力，在设置加速区的基础上使车辆在达到交通路口时的速度 达到规定的上限速度，从而省去了在交通路口加速所浪费的时间，以上限速度- 5 -通过路口，进而大大提高路口的车辆通过能力。设计思想是：提高绿灯时通过 停止线 O 的每一辆汽车的通行速度。为此在停止线 O 之前 b 处设置停车线 B，B 到 O 之间为汽车的加速区，在绿灯亮之前，停在停车线 O 后面的汽车提 前 t*依次启动，在加速区加速行驶，当第一辆车行驶到停止线 O 时恰好遇到绿 灯，这样车辆就可以较大速度通过路
13、口，b 即为汽车提前行驶的距离。bL D B O A显然，如果汽车都以最大速度 v0通过停止线 O，则通行能力最大，当第一 辆汽车到达 O 时达到最大速度 v 时，其后的车辆将都以最大速度 v0通过 O，因 此 0t*t,此时 b=1/2at*2。为了使设计便于实现，t*可取为信号灯转绿灯之前 黄灯的时间（设黄灯的时长不超过 t0） 。设第一辆汽车开始启动的时刻为 t=0，Zn(t)表示时刻 t 第 n 辆汽车的位置。 由运动学知识可得汽车在有加速区的交叉路口的通行模型为：Zn(t)=2 02 000b(n1)(L+D) 0tn-1)Tb(n1)(L+D)+(1) )n-1)Ttn-1)T+t
14、2b(n1)(L+D)+n-1)T+t2atnTat （+(-(n-1)T-t ) t （设绿灯持续 t 时间内通过的车辆为 n，其中 t（n-1)T+t0 ，则有：2* 30030(1)()102abnLDtvttnTt 2* 30030()()02abn LDtv ttn Tt 解得* *00 00003 00()()()()22221ttttv tat tv tat t nLDv TLDv T 故- 6 -* *0 003 0()()221ttv tat t nLDv T通过比较得知：* *000 0000123 00()()()()2222111ttttv tv tv tat t nnnLDv TLDLDv T
