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1、 学校代码： 11059 学 号：0707021025Hefei University毕毕业业论论文文（设设计计）BACHELOR DISSERTATION论文题目：无限过程中的有限（浅谈数列与级数的收敛性及其应用）学位类别： 理学学士 学科专业： 数学与应用数学 作者姓名： 何李贝 导师姓名： 姚玉武 完成时间： 2011 年 5 月 31 日 无限过程中的有限（浅谈数列与级数的收敛性及其应用）无限过程中的有限（浅谈数列与级数的收敛性及其应用）摘摘 要要通过有限的过程去把握无限过程的一些性质，无论在数学领域还是其它学科中，都 有着广泛的研究和重要的理论及应用价值。而在数学领域中，最能体现这种
2、想法的无非 是数列和级数的敛散性的研究。本文首先介绍了数列和级数敛散性的相关定义、性质， 然后通过数列和级数的敛散性讨论了在具实践中所体现出的无限与有限的关系，以及在 有限的过程中如何去把握无限，如雪花的研究，收敛速度的研究等，从而得出一些具有Koch 重要意义的结论。关键词：数列；级数；敛散性；关键词：数列；级数；敛散性；雪花；雪花；KochFinite in Infinite process（on convergence and applicationsof sequence and series）ABSTRACTHow to grasp the infinite process by l
3、imit process is studied widely not only by the mathematical researchers but also by other researchers in other fields. While in mathematical field, this process can be embodied actually by the definitions and properties of sequence and series. In this paper, we first discuss the definitions and prop
4、erties of sequence and series studied in mathematical analysis. Then we give some applications which show the relations between the infinite process and finite process. Meanwhile, we also show how to grasp the infinite process by limit process by these example.KEY WORD: sequence of numbers; Series;
5、convergence; Snow；Koch目目 录录第一章 前言 .1 第二章 无限与有限的关系 .2 2.1 无限蕴含着有限谈数列与级数的收敛与发散.2 2.1.1 数列的收敛与发散的定义 .2 2.1.2 级数的收敛与发散定义 .3 2.2 无限由有限组成，同时由有限可以推演出无限.7 第三章 无限过程中的有限应用 .103.1 Koch雪花.103.2 正项数列收敛性的应用收敛速度.12 结束语 .13 参考文献 .14 致 谢 .151第一章第一章 前言前言有限和无限是密切相联系着的，没有有限也就没有无限，没有无限也就没有有限。无限性是不能完全被证明或者说被完全实现的。这并不是因为无
6、限性不存在，而只是因为如果无限性一旦得到完成，得到实现，那它就不再成为无限，而变成有限。但是如果所有的无限都变成有限，无限就不存在了，因此有限也就不存在了。由于有限是存在的,所以无限是不能完全实现的。事实上，有限的总和构成无限，无限是通过有限而存在的。这种情况在数学中也得到反映，比如整数集是由一个个具体的整数组成的，而这个集合的无限性就是通过无数个有限的整数总和表现出来的。有限和无限在一定条件下能够相互转化。比如，物质是无限可分的，这个“分”的过程就是一个有限和无限互相转化的过程。庄子天下篇所说：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”就表达了这一过程。一尺之棰，日取其半，这就是一个有限向无限转化的过
7、程，就棰的长度来说，分的过程是无限的，无论分得多么小，总是可以取其长度的一半的，这是一个无限的过程。但是，纯粹的量的分割是有一个极限的，达到了这个极限它就转化为质的差别。作为一定质的棰来说，具体的分割又是可“竭”的，即分到一定的关节点时，就不能保持“棰”之为棰的质了。这个关节点就是“分”的一个极限，它标志着分的过程从无限到有限的转化。这个关节点大约在分到第三十天时达到，这时棰的长度大约是十亿分之一尺，已经小于分子的数量级，这时就不再成为其棰了。可见，“分”的过程是一个有限和无限，质和量的对立统一的过程。在数学中，经常通过极限来实现有限和无限的转化。比如一个收敛的正项级数之和是由无限项组成的，但
8、是它的极限值却是一个具体数值。反过来，在其定义域内正弦函数值是一个具体的数值。但是它却展开为无穷项的级数。再如导数和积分也是某种特殊的极限，因此，也是有限和无限转化的有力工具，数学通过有限和无限转化这一杠杆，可以解决许多实际问题.2第二章第二章 无限与有限的关系无限与有限的关系我们知道数列具有无限的项，而级数定义为具有无限项的数列的和。然而，我们在对数列和级数进行讨论时总是通过有限的过程去把握无限的性质，即从数列或级数有限的项或部分去研究它们整体性质。本章主要通过数列和级数的定义、性质等来讨论如何通过有限的过程来理解无限的性质。2.12.1 无限蕴含着有限无限蕴含着有限谈数列与级数的收敛与发散
9、谈数列与级数的收敛与发散2.1.1 数列的收敛与发散的定义 在分析中我们所讨论的数列通常是有着某种规律的具有无限项的一列数。设是 nx一给定数列，其通项的形式事实上就是一个有限的形式，尽管我们可以由它的构造来推演数列的无限过程。：设是一给定数列，是一个实常数。如果对于任意给定的，可以找1定义 nxa0到正整数，使得当时，成立 ，NnNnxa则称数列收敛于（或是数列的极限），记为，有时也记为 nxaa nxlimnnxa ；nxan 如果不存在实数，使收敛于，则称数列发散。a nxa nx从极限的定义可知，一个数列收敛与否，收敛于哪个数，与这一数列的前面有 nx限项无关。也就是说，改变数列前面的
10、有限项，不影响数列的收敛性。例如：1，5，7，100，200，的极限仍然是0. 这也说明无限的某些性质通常不随1 n其有限项的改变而改变。收敛数列与其子数列间的关系：若数列收敛于，则它的任一子数列也收敛于。 nxaa即数列若收敛，必然其任何子数列都收敛于同一个常数；反之，若数列的两个子数列不能收敛于同一个常数，则此数列就一定没有极限。即一个有无限项的数列，我们可以从中选取一个包含无限项的子数列判定其数列的收敛性。32.1.2 级数的收敛与发散定义： 设3定义123,nu u uu是按一定顺序排列起来的一个无穷数列，记作，对其各项依次用加号连接起来 nu的表达式（1）123nuuuu叫做（常数项
11、）无穷级数，简称数项级数或级数，记作，其中第项叫做级1n nunnu数的一般项（或者叫通项）。级数（1）的前项（有限项）的和叫做级数的部分和。n123 1nnkn ksuuuuu当依次取时，级数的部分和构成一个新的数列称之为级数的部分n1,2,3,12,ns ss和数列，记为。 ns当时，如果级数 （1）的部分和数列存在极限，即存在 ，使得，n nsslimnnss 则称级数（1）收敛，也称级数（1）收敛于 ，极限值 称为级数（1）的和，记作ss；123nsuuuu如果级数（1）的部分和数列的极限不存在，则称级数（1）发散。 ns正项级数定义：如果级数中的每一项，则称级数为正1n nunu01
12、,2,3,n 1n nu项级数。2.1.3 数列收敛性的判定通常数列的收敛性都是由其是否有界、是否其子列具有收敛性等来判定。下面我们给出数列收敛的几个判定定理来说明。 单调有界数列必定收敛4在按极限定义证明一个数列收敛时，都必须先知道它的极限是什么。这个要求对于许多实际问题并不现实，即一个数列即使收敛，其极限也往往无法事先得知，但由上述定理知：我们可以从数列本身出发研究其敛散性，所以，在判断数列收敛时，我们一般运用极限运算的性质求出相应的极限。 若收敛于，则它的任何子列也收敛于，即 nxa knxa。limnnxa lim knkxa 若存在数列的两个子列与，分别收敛于不同的极限，则数列必定
13、nx (1)knx 2knx nx发散。即判定一个数列的收敛性时，我们可以选取一个数列中的有限项去判定一个包含了无限项的数列的收敛性。以上的、判定方法都有其运用数列本身的特征直接判断它是否收敛的。虽 nx然很方便但也有其不可避免的局限性。下面给出一个较完善的判定定理； Cauchy收敛原理：数列收敛的充分必要条件是：是基本数列。 nx nx基本数列的定义：如果数列具有以下特性:对于任意给定的，存在正整数 nx0，使得当时成立 ，则称数列是一个基本数列。即一个数列中N, n mNnmxx nx任意选取其中给定的 2 个元素就可以判定出这个数列的收敛性。其判定方法比、更好。、是选取原数列中的有限项的子列或其极限值来判定出收敛性。而在其有限的
