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1、函数与导数第 1 页 共 5 页陕西省近五年高考数学解答题分类汇编（函数与导数）陕西省近五年高考数学解答题分类汇编（函数与导数）2007.20 （本小题满分（本小题满分 12 分）分）设函数，其中为实数2( )xef xxaxaa（I）若的定义域为，求的取值范围；( )f xRa（II）当的定义域为时，求的单调减区间( )f xR( )f x解：（）的定义域为，恒成立，( )f xR20xaxa240aa ，即当时的定义域为04a 04a( )f xR（），令，得22(2)e( )()xx xafxxaxa( )0fx(2)0x xa由，得或，又，时，由得；( )0fx0x 2xa04aQ02
2、a ( )0fx02xa当时，；当时，由得，2a ( )0fx24a( )0fx20ax即当时，的单调减区间为；当时，的单调减区间为02a( )f x(0 2)a，24a( )f x(20)a ，（）是否存在实数使，若存在，求的值；若不存在，说明理由k0NA NB uuu r uuu rgk2008.21 （本小题满分（本小题满分 12 分）分）已知函数（且，）恰有一个极大值点和一个极小值点，其中一个是21( )kxf xxc0c 1c kRxc （）求函数的另一个极值点；( )f x（）求函数的极大值和极小值，并求时的取值范围( )f xMm1Mmk解：（），由题意知，222222()2 (
3、1)2( )()()k xcx kxkxxckfxxcxc()0fc 即得， （*），220c kcck0c Q0k由得，( )0fx220kxxck由韦达定理知另一个极值点为（或） 1x 2xck（）由（*）式得，即2 1kc21ck 函数与导数第 2 页 共 5 页当时，；当时，1c 0k 01c2k （i）当时，在和内是减函数，在内是增函数0k ( )f x()c ，(1)，(1)c ，1(1)012kkMfc221()02(2)kckmfccck由及，解得2 122(2)kkMmk0k 2k（ii）当时，在和内是增函数，在内是减函数2k ( )f x()c ，(1)，(1)c ，恒成2
4、 ()02(2)kMfck(1)02kmf22(1)1112(2)22kkkMmkk 立综上可知，所求的取值范围为k(2) 2) U，2009.202009.20 （本小题满分（本小题满分 1212 分）分）已知函数，其中1( )ln(1),01xf xaxxx0a 若在 x=1 处取得极值，求 a 的值；求的单调区间； ( )f x ( )f x（）若的最小值为 1，求 a 的取值范围。( )f x解（）22222( ),1(1)(1)(1)aaxafxaxxaxx在 x=1 处取得极值，解得( )f x2(1)0,120,faag即1.a （） 222( ),(1)(1)axafxaxx0
5、,0,xa10.ax 当时，在区间的单调增区间为2a (0,)( )0,fx上，( )f x(0,).当时，由02a22( )0,( )0,aafxxfxxaa解得由解得( ),aaf xaa2-2-的单调减区间为（0，单调增区间为（，）.（）当时，由（）知，2a ( )(0)1;f xf的最小值为当时，由（）知，在处取得最小值02a( )f x2axa2()(0)1,affa函数与导数第 3 页 共 5 页综上可知，若得最小值为 1，则 a 的取值范围是( )f x2,).2010.21.2010.21. （本小题满分（本小题满分 1414 分）分）已知函数( ), ( )ln ,Rf xx
6、 g xax a（）若曲线与曲线相交，且在交点处有共同的切线，求 a 的值和该切线方程；( )yf x( )yg x（）设函数，当存在最小值时，求其最小值的解析式；( )( )( )h xf xg x( )h x( )a（）对（）中的和任意的，证明：( )a0,0ab( )( )2()()22ababab ab解：（），1( ),( )(0)2afxg xxxx由已知得 解得，ln , 1,2xax a xx2,2eaxe 两条直线交点的坐标为，切线的斜率为， 切线的方程为2(, )e e21()2kfee21()2yexee（）由条件知 ( )ln (0),h xxax x12( )22ax
7、ah xxxx（）当 a0 时，令，解得，( )0h x24xa 当时，在上递减；当时，在上204xa( )0, ( )h xh x2(0,4)a24xa( )0, ( )h xh x2(4,)a递增， 是在上的唯一极值点，从而也是的最小值点24xa( )h x(0,)( )h x最小值22( )(4)2ln42 (1 ln2 )ahaaaaaa（）当时，在上递增，无最小值，0a 2( )0, ( )2aah xh xx(0,)故的最小值的解析式为( )h x( )a( )2 (1 ln2 )(0)aaa a（）由（）知 对任意的( )2ln2aa 0,0ab( )( )2ln22ln2ln4
8、22ababab 2()2ln(2)ln()ln422abababab g224()2ln(2)2lnln42ababababababab g函数与导数第 4 页 共 5 页故由得( )( )2()()22ababab ab2011.21 （本小题满分（本小题满分 14 分）分）设函数定义在上，导函数( )f x(0,)(1)0f1( ), ( )( )( ).fxg xf xfxx（）求的单调区间和最小值；（）讨论与的大小关系；( )g x( )g x1( )gx（）是否存在，使得对任意成立？若存在，求出的取值范围；若00x 01( )()g xg xx0x 0x不存在，请说明理由解 （）由
9、题设易知，令得，( )lnf xx1( )lng xxx21( )xg xx( )0g x 1x 当时，故（0,1）是的单调减区间，(0,1)x( )0g x ( )g x当时，故是的单调增区间，(1,)x( )0g x (1,)( )g x因此，是的唯一极值点，且为极小值点，从而是最小值点，所以最小值为1x ( )g x(1)1g（），设，则，1( )lngxxx 11( )( )( )2lnh xg xgxxxx22(1)( )xh xx 当时，即，当时，1x (1)0h1( )( )g xgx(0,1)(1,)x( )0h x (1)0h因此，在内单调递减，( )h x(0,)当时，即，
10、当时，01x( )(1)0h xh1( )( )g xgx1x ( )(1)0h xh即1( )( )g xgx（）满足条件的不存在0x证明如下：证法一证法一 假设存在 ，使 对任意 成立，00x 01|( )()|g xg xx0x 即对任意，有 ， （*）0x 02()Inxg xInxx但对上述，取时，有 ，这与（*）左边不等式矛盾，0x0() 1g xxe10()Inxg x因此，不存在 ，使 对任意成立。00x 01|( )()|g xg xx0x 证法二证法二 假设存在，使 对任意的成立。00x 01|( )()|g xg xx0x 由（）知， 的最小值为。又，而时，的值域为0()g xe( )1g x 1( )g xInxxInx1x Inx，(0,)函数与导数第 5 页 共 5 页 时， 的值域为，从而可取一个，使 ，1x ( )g x1,)11x 10()() 1g xg x即 ，故 ，与假设矛盾。1()g x0()g x110|()()| 1g xg x 11 x 不存在 ，使 对任意成立。00x 01|( )()|g xg xx0x
