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1、1高二数学高二数学 空间向量及其运算（空间向量及其运算（2）一、教学目标：1理解共线向量定理和共面向量定理及它们的推论；2掌握空间直线、空间平面的向量方程和线段中点的向量公式二、教学重、难点：共线、共面定理及其应用三、教学过程：（一）复习：空间向量的概念及表示 。练习：已知四面体 P-ABC，G 为ABC 的重心，aPA bPB cPC （1）求证：（；（2） 。 （1）的逆命题成立吗？ )(31cbaPG（二）新课讲解：1、阅读课本 P86P87， （阅读提纲）：怎样的向量叫做共线向量？ 两个向量共线的充要条件是什么？空间中点在直线上的充要条件是什么？ 空间直线的向量表示式是什么？怎样的向量
2、叫做共面向量？ 向量 p 与不共线向量 a、b 共面的充要条件是什么？空间一点 P 在平面 MAB 内的充要条件是什么？2、新知识点（1） 共线（平行）向量：共线（平行）向量：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量。读作：平行于，记作：arbr/abrr2共线向量定理：共线向量定理：对空间任意两个向量的充要条件充要条件是存在实数，使（唯一）, (0),/a b babr rrrrrabrr推论推论：如果为经过已知点，且平行于已知向量的直线，那么对空间任一点，lAarO点在直线 上的充要条件是存在实数 ，满足等式 ，PltatOAOP其中向量叫做直线
3、 的方向向量。arl在 上取，则式可化为或lABauuu rrOPOAtABuuu ruu u ruuu r(1)OPt OAtOBuuu ruu u ruuu ral PB AO2当时，点是线段的中点，此时1 2t PAB1()2OPOAOBuuu ruu u ruuu r和都叫空间直线的向量表示式，是线段的中点公式AB（1）空间任意一直线由空间一点及直线的方向向量唯一确定；）空间任意一直线由空间一点及直线的方向向量唯一确定；（2）利用（）利用（2）式可以判定空间任意三点）式可以判定空间任意三点 A、B、P 共线。共线。（有三种方式：（有三种方式：，）OPOAtABuuu ruu u ruu
4、u r(1)OPt OAtOBuuu ruu u ruuu rPBAP例 1已知，若，求实数的值。324 ,(1)82amnp bxmnyprrrrrrrr0a rr/abrr, x y例 2如图：ABCD-ABEF 都是平行四边形，且不共面，M、N 分别是 AC、BF 的中点，判断、是否共线？CEMN例 3设是平面上不共线的向量，、, a brrbkaAB 2、，baCB3baCD 2若 A、B、D 三点共线，则 k= 。 （-8）思考：思考：已知向量，且、，则一定共线, a brrbaAB2baBC65 baCD27 的三点是 。 （A、B、D） （注意：与的区别）CBBC3向量与平面平行
5、：向量与平面平行：已知平面和向量，作，如果直线平行于或在内，arOAauu u rrOA那么我们说向量平行于平面，记作：ar/ar通常我们把平行于同一平面的向量，叫做共面向量说明：空间任意的两向量都是共面的空间任意的三向量不一定是共面的4共面向量定理：共面向量定理：如果两个向量不共线，与向量共面的充要条件是存在实数使, a brrpr, a brr, x ypxaybrrr推论推论：空间一点位于平面内的充分必要条件是存在有序实数对，使PMAB, x y或对空间任一点，有， 式叫做平面MPxMAyMBuuu ruuu ruuu rOOPOMxMAyMBuuu ruuuu ruuu ruuu r的
6、向量表达式MABarar3（三）例题分析：例 4已知三点不共线，对平面外任一点，满足条件，, ,A B C122 555OPOAOBOCuuu ruu u ruuu ruuu r试判断：点与是否一定共面？P, ,A B C解：由题意：， 522OPOAOBOCuuu ruu u ruuu ruuu r，()2()2()OPOAOBOPOCOPuuu ruu u ruuu ruuu ruuu ruuu r，即， 所以，点与共面22APPBPCuuu ruu u ruuu r22PAPBPC uu u ruu u ruuu rP, ,A B C【探究】：对空间任一点和不共线的三点，问满足向量式O,
7、 ,A B COPxOAyOBzOCuuu ruu u ruuu ruuu r（其中）的四点是否共面？1xyz, , ,P A B C解：， (1)OPzy OAyOBzOCuuu ruu u ruuu ruuu r，()()OPOAy OBOAz OCOAuuu ruu u ruuu ruu u ruuu ruu u r， APyABzACuuu ruuu ruuu r点与点共面P, ,A B C练习：（1）已知 A、B、M 三点不共线，对于平面 ABM 外一点 O，给定的下列条件，点 P与 A、B、M 是否共面？（1） （2）OAOPOMOP3OMOBOAOP 4（2） （3）OMOBOA
8、OP 2OMOBOAOP31 31 31第二课时第二课时例 5已知平行四边形，从平面外一点引向量ABCDYACO，,OEkOA OFKOB OGkOC OHkODuuu ruuu r uuu ruuu r uuu ruuu r uuu u ruuu r（1）求证：四点共面； （2）平面平面,E F G HAC/EGOABCDHFGE4解：（1）四边形是平行四边形，ABCDACABADuuu ruuu ruuu r，EGOGOEuuu ruuu ruuu r()()()k OCk OAk OCOAkACk ABADk OBOAODOAOFOEOHOEEFEHuuu ruu u ruuu ruu
9、u ruuu ruuu ruuu ruuu ruu u ruuu ruu u ruuu ruuu ruuu u ruuu ruuu ruuu r共面； 也可证：EHFG,E F G H（2），又，()EFOFOEk OBOAk ABuuu ruuu ruuu ruuu ruu u ruuu rEGk ACuuu ruuu r 所以，平面平面/,/EFAB EGAC/ACEG例 6已知正方体 ABCD-中，DCBAaAA bAB cAD （1）若 M 为的中点，用表示；AAcba,CM（2）若 N 为靠近 D 的三等分点，用表示；并证明 A、C、N 四DBcba,DND点共面。例 7已知四边形
10、ABCD 为平行四边形，P 为 ABCD 所在平面外一点，连结PA、PB、PC、PD，设点 E、F、G、H 分别是PAB、PBC、PCD、PDA 的重心。（1）试用向量方法证明：E、F、G、H 四点共面；（2）试判断平面 EFGH 与平面 ABCD 的位置关系，并用向量方法证明你的结论。（四）小结：共线向量定理和共面向量定理及其推论；（五）作业：习案作业二十八补充作业补充作业1已知分别是空间四边形边的中点，,E F G HABCD,AB BC CD DA（1）用向量法证明：四点共面；,E F G HABCDFEGH5（2）用向量法证明：平面/BDEFGH2已知两个非零向量不共线，如果，21,e eu r u u r21ABeeuuu ru ru u r2128ACeeuuu ru ru u r2133ADeeuuu ru ru u r求证：共面, ,A B C D3如图，分别为正方体的棱的中点，,E F G H1AC11111111,AB AD BC DC求证：（1）四点共面；（2）平面平面,E F D BAEF/BDHGD1C1B1A1HGF EDCBA
