《截长补短在几何中的应用(教师版)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《截长补短在几何中的应用(教师版)（7页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、截长补短在几何中的应用截长补短在几何中的应用证明一线段和的问题证明一线段和的问题（一）在较长线段上截取一线段等一较短线段，证明其余部分等于另一较短线段。 （截长法）例 1. 已知：如图 6 所示在中，BAC、BCA 的角平分线 AD、CE 相交于 O。ABCB60求证：ACAECD图6BCAEDFO 14 23 5 6分析：分析：在 AC 上截取 AFAE。易知，。由，知AEOAFO 12B60。，得： 566016023120， 123460FOCDOCFCDC，证明：证明：在 AC 上截取 AFAEQ BADCADAOAOAEOAFO SAS，42又B60 5660 160 23120 1
2、23460 FOCDOC AAS FCDC()即ACAECD（二）延长一较短线段，使延长部分等于另一较短线段，则两较短线段成为一条线段，证明该线段等于较长线段。 （补短法）例 2. 已知：如图 7 所示，正方形 ABCD 中，F 在 DC 上，E 在 BC 上，。EAF45求证：EFBEDFGB ECAFD123图7分析：分析：此题若仿照例 1，将会遇到困难，不易利用正方形这一条件。不妨延长 CB 至 G，使 BGDF。证明：证明：延长 CB 至 G，使 BGDF在正方形 ABCD 中， ABGDABAD90 ， ABGADF SASAGAF()， 13又EAF45 23452145即GAEF
3、AEGEEFEFBEDF【实战模拟实战模拟】1. 已知：如图 11 所示，中，D 是 AB 上一点，DECD 于 D，交 BC 于 E，且有ABCC90。求证：ACADCEDECD1 2C图11ABDE2. 已知：如图 12 所示，在中，CD 是C 的平分线。ABC AB2求证：BCACADACBD图123. 已知：如图 13 所示，过的顶点 A，在A 内任引一射线，过 B、C 作此射线的垂线 BP 和ABCCQ。设 M 为 BC 的中点。求证：MPMQBPMQCA图13【试题答案试题答案】1. 证明：证明：取 CD 的中点 F，连结 AF3EAD41CBFQ ACADAF CDAFCCDE
4、90又 14901390， 431 2Q ACCE ACFCED ASA CFEDDECD()2. 分析：分析：本题从已知和图形上看好象比较简单，但一时又不知如何下手，那么在证明一条线段等于两条线段之和时，我们经常采用“截长补短”的手法。 “截长”即将长的线段截成两部分，证明这两部分分别和两条短线段相等；“补短”即将一条短线段延长出另一条短线段之长，证明其和等于长的线段。BDCAE证明：证明：延长 CA 至 E，使 CECB，连结 ED在和中，CBDCEDQQCBCE BCDECD CDCDCBDCED BE BACB BACE 2 2又 BACADEE ADEEADAE BCCEACAEAC
5、AD，3. 证明：证明：延长 PM 交 CQ 于 RADBCE图 2-1QPBMCARQ CQ APBP AP BPCQ PBMRCM ， / /又BMCMBMPCMR ， BPMCRM PMRM是斜边上的中线QMRt QPRMPMQ例例 1.1.如图 2-1，ADBC，点E在线段AB上，ADE=CDE，DCE=ECB.求证：CD=AD+BC.分析：分析：结论是CD=AD+BC，可考虑用“截长补短法”中的“截长”，即在CD上截取CF=CB，只要再证 DF=DA即可，这就转化为证明两线段相等的问题，从而达 到简化问题的目的.证明：证明：在CD上截取CF=BC，如图 2-2在FCE与BCE中，CE
6、CEBCEFCECBCFFCEBCE（SAS）,2=1.又ADBC，ADC+BCD=180，DCE+CDE=90，2+3=90，1+4=90，3=4.在FDE与ADE中，ADBCEF1234图 2-243DEDEADEFDEFDEADE（ASA），DF=DA，CD=DF+CF，CD=AD+BC.例例 2.2.已知：如图 4-1，在ABC中，C2B，12.求证：AB=AC+CD.分析：分析：从结论分析，“截长”或“补短”都可实现问题的转化，即 延长AC至E使CE=CD，或在AB上截取AF=AC.证明：方法一（补短法）证明：方法一（补短法）延长AC到E，使DC=CE，则CDECED，如图 4-2A
7、CB2E，ACB2B，BE，在ABD与AED中,ADADEB21ABDAED（AAS）,AB=AE.又AE=AC+CE=AC+DC，AB=AC+DC.方法二（截长法）方法二（截长法）在AB上截取AF=AC，如图 4-3在AFD与ACD中,ADADACAF 21AFDACD（SAS）,DF=DC，AFDACD.DCBA12图 4-1EDCBA12图 4-2FDCBA12图 4-3又ACB2B，FDBB，FD=FB.AB=AF+FB=AC+FD，AB=AC+CD.上述两种方法在实际应用中，时常是互为补充，但应结合具体题目恰当选择合适思路进行分析。让 掌握学生掌握好“截长补短法”对于更好的理解数学中的化归思想有较大的帮助。
