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1、1第一篇 函数、连续、极限本章重点、热点及常考题型特别注意：数一、二、三、四考查要求基本相同。属二级重点章。重点、热点 求极限。 求函数的极限是每年的必考题。本章的另一块内容判断函数是否连续，其实质仍是求函数 极限。所以本章只要抓住了极限就基本上把握了全章的核心内容，求极限的方法很多但在考试 中常用的主要有 1 利用极限的四则运算法则求极限（这是求极限的最基本知识） 2 利用重要极限求极限 3 利用罗必达法则求极限（求关于函数的未定式的极限） 4 利用无穷小替换（它往往在求极限的过程中使用能使问题简化） 5 利用夹逼定理 6 利用单调有界准则（主要求通项由递推公式给出的极限） 7 利用定积分定
2、义（主要求通项是项和的数列的极限）n 8 利用导数定义求极限（主要用于已知条件中给出函数在一点可导求关于该函数的某个 极限） 9 利用连续函数的性质（这一条不会单独命题，但它常用在求极限的过程中，是求极限 的基础知识） 10利用极限与无穷小的关系（主要用于已知极限，求另一形式的极限） 典型题型 典型题型一：求未定式的极限 典型的未定式共有七种：。000“ “,“,“,0“,“0 “,“,“1 “0g读者在遇到这七种未定式时，建议采用罗必达法则试一试。 （使用罗毕达法则时应注意：（1）使用罗毕达法则时，要先判定是否为或；（2）在使用法则前应先化简， （3）当0“ “0“ 不存在（或非）时，不能推
3、出不存在（4）当时，若式子中含0()( )lim( )x xxfx g x 0()( )lim( )x xxf x g x x 有（或时，式子中含有）则不宜使用罗毕达法则。cos ,sinxx0x 11cos,sinxx 典型题型二： 求非未定式的极限 这类题通常要利用函数的连续性、极限的四则运算法则、定积分定义、夹逼定理、无穷小性质 来完成。 在近几年的考试中，求函数的极限还是绝大部分以求未定式函数的极限为主。 典型题型三：无穷小的比较2无穷小的比较在近年来的考试中经常出现，解这类题的根本方法还是求极限，同样可用罗必达 法则、泰劳展开式等求极限的方法考查。下面给出一些常用的等价无穷小；当时，
4、0x ， sin ,arcsin ,tan ,arctanxxxxxxxx，ln(1) ,1xxxex211 cos2xx(1)1xx典型题型四：判断函数的连续性与间断点的类型 此类题的实质是求函数的极限。这种题一般与函数的可导性连在一起，并且考到的知识点还包 括变上限积分函数的求导等。 典型题型五：讨论函数在给定区间上的零点或方程在给定区间上有无实根解这类题的关键是利用函数的性质，设在闭区间上连续，那么( )f x , a b1在上有界；( )f x , a b2在上有最大、最小值；( )f x , a b3若是介于间的任何一个数，则至少存在一点，使( ),( ) ( )( )f af bf
5、 af b( , )a b；( )f4若，则至少存在一点，使得( ) ( )0f a f b ( , )a b( )0f典型题型六：求分段函数的复合函数 分段函数的复合要注意定义域，适用方法分析法。 典型题型七：已知数列的前几项数值及通项表达式，求数列的极限 此类题利用单调有界准则求，求解程序：（1）判断极限的存在性（单调性、有界性，方法可用数学归纳法或不等式的放缩法） 。 （2）先令，然后在通项的两边取极限得出 的方limnnxl l程，求出 的值，从而求得极限llimnnx 典型题型八：分段函数中参数的确定 此类题的基本思路是：根据分段函数在分段点处的性质来确定所含常数的值。 （注意函数在
6、一点 存在极限、在一点连续的充分必要条件）第二篇 一元函数微分学本章重点、热点及常考题型特别注意：该章内容数一、二、三、四都考，主要内容大同小异，请注意大纲的细微差别。属 于一级重点章。 3重点、热点 1 导数和微分的定义，掌握用导数定义讨论分段函数在分段点的可导性。注意可导与可微， 可导与连续的关系。 2 基本初等函数的求导公式、微分公式（要熟记） ，及反函数、隐函数、参数方程确定的函数 求导数。 3 罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理、泰劳中值定理的应用（泰劳中值定理只有 数一、数二考） 。 4 用导数研究函数的形态（单调、极值、凹凸、拐点、渐近线）以及最值应用。 典型题型 典型题型
7、一：求函数导数或微分（包括高阶导数） 。高阶导数是常考问题，另外应注意隐函数、 参数方程确定的函数，反函数的求导。 典型题型二：利用中值定理证明有关等式1 证明至少存在一点，使；( , )a b( )( )0nf一般思路：（1）找的一个子区间，使 , a b12 ,x x(1)(1) 12()()nnfxfx（2）对在区间上使用罗尔定理(1)( )nfx 12 ,x x2 证明至少存在一点，使为的函数；( , )a b( )f一般思路：（1）利用倒推法（或常数变易法）构造辅助函数( )F x（2）找的一个子区间，使 , a b12 ,x x12()()F xF x（3）对在区间上使用罗尔定理，
8、可得到所证结论( )F x12 ,x x3 证明至少存在两点，满足某等式, ( , )a b一般思路：（1）将欲证结论化为一端只含，另一端只含的形状。（2）根据含一端的形状，选择在区间上使用拉格朗日或柯西中值定理得到关于 , a b的一个关系式（*）（3）根据含一端的形状，选择在区间上使用拉格朗日或柯西中值定理得到关于 , a b的一个关系式（*）4（4）结合（*） ， （*）式可得欲证结论。4 证明至少存在一点，使( , )a b( )( )(0)nfk k一般思路：（1）构造辅助函数( )F x（2）验证满足罗尔定理条件，( )F x（3）由罗尔定理得出所证结论 常用辅助函数的一般构造方法
9、：（1）将欲证结论中的换成x（2）通过恒等变形将式子化为易于消去导数符号的形式 （3）通过观察法或积分法求出原函数（即不含导数符号的式子）（4）移项使等式一端为零，另一端为所求辅助函数( )F x5 如已知条件中出现了高阶导数，且知道最高阶导数连续这种等式的证明一般用泰劳公式完 成 一般思路：（1）根据已知条件或欲证明的结论选取展开的点。 （如已知条件中给出了某点的导数0x值，或在区间内部某点取到最大或最小值，一般选此点为）0x（2）将函数在点展开为阶泰劳公式一般取为比已知条件中的最高阶导数的阶数0xn(n减一的数值） （3）利用展开式凑出结论。 典型题三：证明不等式 1证明代数不等式（一般用
10、微分中值定理完成） 2证明函数不等式（一般用单调性完成） 3，证明函数与数之间的不等式（一般用最大、最小值完成） 5 如已知条件中出现了高阶导数，且给出了最高阶导数的取值范围，此类不等式的证明一般 用泰劳公式完成。 典型题四：关于方程的根的讨论1证明方程在内至少有一个实根( , )a b解这种题一般思路有两种： 思路一利用零点定理完成（1）构造辅助函数（将方程移项，一端为零，另一端全部为） ；( )F x( )F x5（2）找的一个子区间，使 , a b12 ,x x12() ()0F x F x（3）将在区间使用零点定理即可。( )F x12 ,x x思路二利用罗尔定理完成（1）构造辅助函数
11、（将方程移项，一端为零，则另一端的原函数为） ；( )F x( )F x（2）找的一个子区间，使 , a b12 ,x x12()()F xF x（3） 对在区间上使用罗尔定理，可得到所证结论( )F x12 ,x x说明：对此类题应先尝试思路一如不能解决问题再用思路二2证明方程在内有唯一实根( , )a b一般思路： （1）先证明方程至少有一个实根 （2）证明方程至多有一个实根（一般用单调性或用反证法） 说明：对此类题一般是用零点定理证明至少有一个，用单调性证明至多有一个。 3讨论方程有几个实根。 一般思路;（1）构造辅助函数（将方程移项，一端为零，则另一端为） ；( )F x( )F x（
12、2）求出函数的定义域( )F x（3）在定义域内求出和不存在的点( )0F x( )F x（4）这些点将定义域分成许多小区间，在每一个小区间上利用零点定理判定方程是否有根 （如有则只有一个） 。 4已知方程实根个数确定方程中参数的取值范围 一般思路（同上） 典型题型五：利用导数研究函数的性态和描述函数的图形(应特别注意渐近线的求法) 典型题型六：应用题（在几何、物理、经济等方面的应用）第三篇 一元函数积分学本章重点、热点及常考题型特别注意：该章内容对数一、二、三、四考查要求基本相同，属于一级重点章。重点、热点1定积分的概念；62定积分与不定积分的换元积分法积分部积分法； 3积分等式与积分不等式
13、的证明，在此应注意中值定理的理解和应用。 4运用定积分求弧长、求面积、求旋转体的体积，求变力沿直线做功、求静液侧压力、求引力。 对于用定积分求面积、弧长、体积等的公式，读者当然要在理解的基础上熟记。 （请读者特别注 意此部分知识与切线，最大最小值结合的综合性的题）典型题型典型题型一 ：计算不定积分、定积分及广义积分。做这类题最常用的方法是分部积分与换元积分法。应注意下面几点 （1）关于换元积分法常见的几种情况及对策如被积函数中含有，分别应作变量代换：，222222,axaxxasinxat，将根式去掉变成三角函数的积分；tanxatsecxat如被积函数是由所构成的代数式时，一般用指数代换来求
14、解；xaxta如被积函数分子、分母的最高次数分别为且，此时一般可考虑用倒代换,m n1nm来解决1xt（2）关于分部积分法常见的几种情况（下列式中为多项式）( )P x如被积函数为，令；( )bxP x e( ),bxuP xdve dx如被积函数为，令；( )ln()P xaxbln(),( )uaxbP x dxdv如被积函数为，令( )arctan()P xaxb；arctan(),( )uaxbP x dxdv如被积函数为，令；( )sin()P xaxb( ),sin()uP xaxb dxdv如被积函数为，两种函数都可作；cos()axecxbu如被积函数中含抽象函数的导函数，一般
15、用分部积分，抽象函数导函数与凑出；dxdv 如被积函数中含变上限的定积分，一般用分部积分，变上限的定积分作。u 另外值得注意：如果在考研的试题中见到被积函数中含有反三角函数或对数函数这种类型的积分一般都是用分部积分来做的，其中反三角函数或对数函数应作。U 典型题型二：关于变上限定积分的题目，比如求导数、求极限等。 变上限的积分求导数、求极限，都是利用变上限积分的求导公式，故应记住下列公式（1）设在上连续，则，都有( )f x , a b( )( )xaF xf t dt , xa b 7( )( )F xf x（2）一般( )( )( ) ( )( ) ( ) ( )m xn xdf t dtf m x m xf n x n xdx典型题型三：关于积分等式的证明 （1）仅知被积函数连续的积分等式的证明 此类题一般用换元积分法完成。 注意：作何变量代换，主要是考察等式两边关于被积函数或其主要部分的形式来确定。例如一端的被积函数或其主要部分为，另一端为，则令。( )f x ( )fu( )xu若一端为，另一端为，则所作的变换通过分析等式两端的积分限去确定。 （若( )f x( )f u一端为，另一端为。由于，于是，令，(sin )fx(sin )fu(sin )sin()fufu
