《赋值法在高中数学中的应用》由会员分享，可在线阅读，更多相关《赋值法在高中数学中的应用（2页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、赋值法在高中数学中的应用赋值法在高中数学中的应用一、一、 在二项展开式中的应用在二项展开式中的应用 在（a+b)n= an+ an-1b+ abn-1+ bn(nN)中，令 a,b 为一些特殊值，或者在（1+x)n=1+ x+ xn-1+ xn 中令 x 为 一些特殊值，可以得到相应的组合恒等式。 ）令 a,b,x 为特定的实数值 例 1、在（1+x)9 的展开式中，x 的奇次方项系数之和等于（ ） 。 （4x-1)6=a6x6+ a5x5+ a4x4+ a3x3+ a2x2+ a1x+a0,则 a6 a5+ a4+ a3+ a2+ a1+a0= （ ） 。 已知(1-2x)6=a0+a1x+
2、a2x2+a3x3+a6x6,则 a6- a5+ a4- a3+ a2- a1 的值等于( )。 （2x-1)5 的展开式中，各项系数的绝对值之和等于( )。 （x+2y)(2x+y)2(x+y)3 的展开式中，各项的系数的和是( )。 1+7 +72 +73 +7n =( )。 略解：（1+x)9=1+ x+ x9-1+ x9 中， 令 x=1,可得 1+ + + =29-（1） 令 x=-1,可得 1- + - =0-（2） ，则 可得 x 的奇次方项系数之和为 + + + + =256。 令 x=1,得各项系数和为 36=729； 令 x=-1，得 a6- a5+ a4- a3+ a2-
3、 a1+a0=36=729,又 a0=1,故原式=728； 在（2x+1)5 中令 x=1,可得原题中各项系数的绝对值之和等于 35=243； 令 x=1，得各项系数和为 216； 原式=（1+7）n=8n。 )令 x 为虚数，或者令 a,b 中的一个为实数，一个为虚数。 例 2、求证：1- + - + - +=( ) ; - + - + - +=( ) 证明：在（a+b)n= an+ an-1b+ abn-1+ bn(nN)中，令 a=1,b=i,则: （1+i)n=1+ i+ i2+ i3+ in-1+ in=(1- + - + - +)+( - + - + - +)i 又(1+i)n=
4、n = ( ) 由复数相等的充要条件，可得原结论成立。 二、二、 在抽象函数中的应用在抽象函数中的应用 例 3、已知函数 f(x)满足 f(x+2)= ,且当 x0,2时，f(x)=x+1,则 求 f(7)=( )。 求 x6,8时的解析式。 分析：由题可知当自变量 x 加上 2 后的函数值 f(x+2)为 x 的函数值 f(x)的负倒数，不妨令 x 为 x+2，即可求函数的 周期。 解： f(x+4)= f(x+2+2)= ( )= f(x),函数的周期 T=4。 f(7)=f(4)=f(1+2)= ( )。 设 x6,8,则 x-42,4，x-4-20,2,故 f(x)= f(x-4)=
5、=( ). 说明：利用赋值法求抽象函数的周期的常见形式还有 若 f(x+2)= ,则 t=8;若 f(x+2)=-f(x),则 t=4. 例 4、设 f(x)的定义域为 R,且 f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y),求证：f(0)0 时,f(x)是偶函数。 分析：函数奇、偶性的判断，根据定义须在关于原点对称的定义域中来判断 f(-x)与 f(x)或-f(x)的关系。 证法一：令 x=y=0,则 f(0)=1 赋 x 为 0,y 为 x,则有：f(x)+f(-x)=2f(0)f(x),即 f(-x)=f(x),所以 f(x)为偶函数。 证法二：赋 y 为 x,x 为 y,则有： f(x
6、-y)=f(y-x)=f(-(x-y)，即 f(x)为偶函数。 例 5、已知函数 f(x)的定义域为 R,x1,x2 都满足：f(x1+x2)=f(x1)+fx2） ，当 x0 时，f(x)0,且 f(2)=3； 判断 f(x)的奇偶性和单调性； 当 0, 时，f(cos -3)+f(4m-2mcos )0 对所有 均成立，求实数 m 的取值范围。 解：令 x1=x2=0,则 f(0)=0; 赋 x1 为 x,x2 为-x,则 f(0)=f(x)+f(-x),即 f(-x)=-f(x)，故 y=f(x)为奇函数。 设 x10,f(x2-x1)0，即 f(x2)fx1),故 y=f(x)为增函数
7、。 原不等式等价于 f(cos -3+4m-2mcos )f(0), f(x)单调递增，cos -3+4m-2mcos 0 恒成立， （ 0， ） 用变量分离法可得：m ,令 g(x)= ,则当 cos =1 时，g(x)max=1, 为使原不等式恒成立，只需 m g(x)max,即 m1。 三、三、 在恒成立问题中的应用在恒成立问题中的应用 例 6、是否存在实数 a,b c,使得函数 f(x)=ax2+bx+c 对于任意实数 a 均满足下列条件： （1）f(sin )2;(2)f(2-cos )2;(3)f(4) c,若存在，找出一组数 a,b c，并画出函数的图象，若不存在，说明 理由。
8、分析：若直接把 sin 、2-cos 、4 代入原函数化简，方程个数较多，自变量形式复杂，给解题带来一定难度，注意到 题目中条件对一切实数 均能使等式恒成立，故不妨令 为特殊值为突破口。 解：在（1）中令 sin =1,则有 f(1)2,在（2）中令 cos =1,则有 f(1)2， f(1)=2,即 a+b+c=2； 由 f(4) c,得 4a+b0, 在（2）中令 cos =-1,可得 f(3) -2,化简即得 4a+b0，可得 4a=-b,则可求得 c=3a+2;f(x)=ax2-4ax+3a+2 =a(x-2)2+2-a-(*) 在（2）中令 cos =0,有 f(2)=2-a2, a
9、0,则（*）式表示开口向上，对称轴为 x=2 的抛物线，取 a=1,此时 b 4,c=5,所得抛物线符合题意。 四、四、 在选择题及填空中的特殊应用在选择题及填空中的特殊应用 选择题、填空题因其题目的特殊性，在有些问题中不要求有严密的推理证明，而只要能借助于一些特殊方法写出正确 结果即可，故其应用相当普遍。 例 7、如果函数 y=f(x)=sin2x+acos2x 的图象关于直线 x= 对称，那么 a= （ ） A、1 B、-1 C D - 。 略解：取 x=0 及 x= ，则 f(0)=f( ),即 a=-1。 例 8、当 aR 时，关于 x,y 的方程(x2+y2+x+y)-a(x+2y+
10、1)=0 表示的曲线是轴对称图形，则它们的公共对称轴方程 是 （ ）A x+2y+1=0 B 4x+2y+1=0 C 4x-2y+1=0 D 2x-4y+1=0 略解：既然上述对称轴对一切 aR 都成立，不妨令 a=0，则方程变为：x2+y2+x+y=0，即（x+ )2+(y+ )2= ,此曲线 为圆，圆心坐标为（ ） ，只适合于 C，故答案为 C。 例 9、ABC 中，角 A，B，C 依次成等差数列，则 a+c 与 2b 的大小是 （ ） A a+c2b C a+c2b D a+c2b 略解：题中没有给定三角形的形状，不妨令 A=B=C=600，则可排除 A、B，再取角 A，B，C 分别为 300，600，900，可 排除 C，故答案为 D。 例 10、定义在实数集上的函数 f(x)=(x+a)3, 满足 f(x+1)=-f(1-x),则 f(2)+f(-3)=( )。 略解：f(x+1)=-f(1-x)对一切 xR 都成立，当然可以把 x+1 和 1-x 分别代入函数关系式得：(x+1+a)3=(1-x+a)3， 化简后得到 a 的值。然而既然 f(x+1)=-f(1-x)对一切 xR 都成立，不妨令 x=0,可得 f(1)=0,代入原函数关系可得 a=-1, 即 f(x)=(x-1)3，故 f(2)+f(-3)=-63。
