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1、高等数学考题 一、填空题（每小题分，共分） _ 函数2的定义域为 _ 2 _。 函数x 上点（ ， ）处的切线方程是_。 （Xoh） （Xoh） 设（X）在 Xo 可导且 （Xo），则 hoh _。 设曲线过（，） ，且其上任意点（，）的切线斜率为 ，则该曲线的方程是 _。 _。 4 _。 x 设（，）（） ，则x（，）_。 _ R R22 累次积分 （2 2） 化为极坐标下的累次积分为 _。 00 3 2 微分方程 （ ）2 的阶数为_。 3 2 设级数 n 发散，则级数 n_。 n=1n=1000 二、单项选择题（在每小题的四个备选答案中，选出一个正确的答案，将其码写 在题干的内， 每小题
2、分，每小题分，共分） （一）每小题分，共分 设函数（），（），则（） 0 时， 是 无穷大量 无穷小量有界变量 无界变量 下列说法正确的是 若（ X ） 在 XXo 连续，则（ X ）在 XXo 可导 若（ X ）在 XXo 不可导，则（ X ）在 XXo 不连续 若（ X ）在 XXo 不可微，则（ X ）在 XXo 极限不存在 若（ X ）在 XXo 不连续，则（ X ）在 XXo 不可导 若在区间（，）内 恒有 （） ，“（） ，则在（，） 内曲线弧（）为 上升的凸弧下降的凸弧上升的凹弧下降的凹弧 设 ，则 为常数 为常数 （） （） 1 -1 方程在空间表示的图形是 平行于 面的平面
3、平行于轴的平面 过轴的平面 直线 设（，）3 3 2 ，则（，） （，）2（，） 3（，）（，） 2 n 设n，且 ，则级数 n nn=1 在时收敛，时发散 在时收敛，时发散 在时收敛，时发散 在时收敛，时发散 方程 2 是 一阶线性非 齐次微分方程 齐次微分方程 可分离变量的微分方程 二阶微分方程 （二）每小题分，共分 下列函数中为偶函数的是 x3 3 设（）在（，）可导， 12，则至少有一点 （，）使 （）（） （） （） （）（） （） （21） （2）（1） （） （） （2）（1） （） （21） 设（X）在 XXo 的左右导数 存在且相等是（X）在 XXo 可导的 充分必要的条件
4、必要非充分的条件 必要且充分的条件 既非必要又非充分的条件 设（）（） 2 ，则（）， 则（） 过点（，）且 切线斜率为 3 的曲线方程为 4 4 4 4 x 2 x03 0 x022 y0 对微分方程 “（， ） ，降阶的方法是 设，则 “ 设，则 “ 设，则 “ 设，则 “ 设幂级数 nn 在o（o）收敛， 则 nn 在o n=o n=o 绝对收敛 条件收敛发散收敛性与n 有关 设域由，2 所围成，则 D 1 1 0 x _ 1 y 0 y _ 1 x 0 x _ 1 x 0 x 三、计算题（每小题分，共分） _ 设 求 。 （） （2） 求 。 x4/3 计算 。 （x ）2 t 1 设
5、 （），（）， 求 。 0 t 求过点 （，） ，（，）的直线方程。 _ 设 x ，求。 xasin 计算 。 0 0 求微分方程 （ ）2 通解。 将 （） 展成的幂级数。 （） （） 四、应用和证明题（共分） （分）设一质量为的物体从高空自由落下，空气阻 力正比于速度 （ 比例常数为 ）求速度与时间的关系。 _ （分）借助于函数的单调性证明：当时， 。 高等数学（一）参考答案和评分标准 一、填空题（每小题分，共分） （，） 2 2 （） /2 （2） 0 0 三阶 发散 二、单项选择题（在每小题的四个备选答案中，选出一个正确的 答案，将其码写在题干的 内，每小题分，每小题分，共分） （一）
6、每小题分，共 分 （二）每小题分，共分 三、计算题（每小题分，共分） 解：（）（） （分） （） （分） _ （） （分） （） （2） 解：原式 （分） x4/3 （）（）2 （分） xx 解：原式（分） （x）2 （x） （分） x （x）2 xx （分） x x （x） （分） x 解：因为（），（） （分） （） 所以 （分） （） 解：所求直线的方向数为， （分） 所求直线方程为 （分） _ _ 解：x +y+ sinz（ ） （分） _ x + y+ sinz（） （分） _ asin 解：原积分 2 3（分） 0 00 /2 2 3d 2（分） 0 解：两边同除以（）2 得 （分） （）2 （）2 两边积分得 （分） （）2 （）2 亦即所求通解为 （分） 解：分解，得（） （分） （分） n n （）n（ 且 ） （分） n=0n=0 n （）n n（ ） （分） n=0n+1 四、应用和证明题（共分） 解：设速度为，则满足（分） 解方程得（-kt/m） （分） 由t=0定出，得（-kt/m） （分） _ 证：令（） 则（）在区间，连续（分） 而且当时， （） （分） _ 2 因此（）在，单调增加 （分） 从而当时，（） （） （分） _ 即当时， （分）
