常见线性递推数列通项的求法

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1、常见线性递推数列通项的求法常见线性递推数列通项的求法浙江省诸暨市学勉中学（311811）郭天平 对于由递推式所确定的数列通项公式问题，往往将递推关系式变形转化为我们熟知 的等差数列或等比数列，从而使问题简单明了。这类问题是高考数列命题的热点题型， 下面介绍常见线性递推数列求通项的基本求法。1 型aadnn1解题思路：（为常数） ，由等差数列的通项公式（为数列的公差）aadnn1dd得到aandn11例 1已知数列中，求通项公式。 anNnaaann3, 111解： ，则是以为首项，3 为公差的等31nnaa31nnaa an11a差数列。 数列的通项 23311nnan【评注】由已知的递推关系

2、式中的系数关系，结合熟知的等差数列定义，可直接写 出数列的通项。2 型 ngaann1解题思路：利用累差迭加法，将，=，) 1(1ngaann1na2na)2( ng=,各式相加，正负抵消，即得.2a1a) 1 (gna例 2在数列中，且，求通项. na01a121naannna解：依题意得，01a，把以上各式相加，得32112, 3, 112312nnaaaaaannL 21232113231nnnnanL【评注】由递推关系得，若是一常数，即第一种类型，直接可得是一等差数列； ng若非常数，而是关于的一个解析式，可以肯定数列不是等差数列，将递推nnaa1nna式中的分别用代入得个等式相加，目

3、的是为了能使左边相互n2 , 3 , 4 , 2, 1Lnn1n抵消得，而右边往往可以转化为一个或几个特殊数列的和。na3 型nnanfa)(1解题思路：利用累乘法, 将各式相乘1,2,112211faanfaanfaannnnL得，即得.12112211fnfnfaa aa aannnnLLna例 3在数列中，求通项. na11a11 nn aann na解：由条件等式得，11 nn aann nnn nn aa aa aannnn1 21 12112211LL得.nan1【评注】此题亦可构造特殊的数列，由得，则数列11 nn aann111nn naan是以为首项，以 1 为公比的等比数列

4、，得.nna1a111.1 1n nqananan14. 型) 1, 0(1ccdcaann解题思路：利用待定系数法，将化为的形式，从dcaann1xacxann1而构造新数列是以为首项，以为公比的等比数列.xanxa 1c例 4数列满足，求. na21211aaann，na解：设，即对照原递推式，便有axaxnn12(),21xaannx 1.故由得，即，得新数列是以, 121nnaa) 1(211nnaa2111nn aa1na为首项，以 2 为公比的等比数列。11211a，即通项121n na121n na【评注】本题求解的关键是把递推式中的常数“”作适当的分离，配凑成等比数1 列的结构

5、，从而构造出一个新的等比数列。5型 ngacann1例 5 已知数列的前项和满足 nannSnaSnn22（1）写出数列的前 3 项；321,aaa（2）求数列的通项公式. na解：（1）由，得.22111aSa21a由,得,422221aSaa62a由,得321aaa6233aS143a(2)当时,有,即 2n2211nnnnnaaSSa221nnaa令,则,与比较得,12nnaa12nnaa2是以为首项,以 2 为公比的等比数列.2na421a,故1122)4(2nn na221n na【评注】求递推数列的通项的主要思路是通过转化, 构造新的熟知数列,使问题化陌 生为熟悉.我们要根据不同的递推关系式,采取不同的变形手段,从而达到转化的目的.