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1、2 机械优化设计理论92 机械优化设计理论优化设计技术提供了一种在解决机械产品设计问题时，能从众多的设计方案中寻找到尽可能完善的或最为适宜的设计方案的先进设计方法。采用优化设计方法能有效提高设计效率和设计质量，优化设计已成为现代机械设计理论和方法中的一个重要领域，愈来愈受到从事机械设计的科学工作者和工程技术人员的重视。本章简要介绍优化设计的基本思想，以及解决本文提出的任务所用到的约束优化内容。2.1 优化设计概述9-142.1.1 优化设计的概念和特点优化设计是将工程设计问题转化为最优化问题，利用数学规划的方法，借助于电子计算机的高速度运算和逻辑判断的巨大能力，从满足设计要求的一切可行方案中，
2、按照预定的目标自动寻找最优设计的一种设计方法。它能综合处理并最大限度地满足从不同角度提出的，甚至有时有互相矛盾的技术指标，因此是重要的现代设计方法之一。优化设计工作包括两部分内容： 将设计问题的物理模型转变为数学模型。建立数学模型时要选取设计变量、确定目标函数、给出约束条件。目标函数是设计问题所要求的最优指标与设计变量之间的函数关系式。 采用适当的最优化方法求解数学模型。可归结为在给定的条件（如约束条件）下求目标函数的极值或最优值问题。 2.1.2 优化设计的步骤求解一个实际工程最优化问题，大致可分为下列六个主要步骤： 确定实际问题的最优化数学模型； 求解的准备。这一步的主要工作是：对问题与模
3、型作些简单修正，把它转换成计算机运算所需的形式，避免一些潜在的数值计算困难，提高计算的有效性，识别一些能指导实际计算的模型结构特征； 选择一个合适的最优化算法； 为所选的算法准备一个有效的计算机执行策略； 在计算机上进行运算， 对问题和算法的参数进行必要的调整， 求出数值解； 用实际系统对求得的可行解进行解释，并且执行这个解。 2.1.3 优化设计的数学模型重庆大学硕士学位论文10优化设计的首要问题是建立数学模型，即把实际问题转化为数学模型的形式。优化设计的数学模型包括三个方面：设计变量、约束条件和目标函数。 设计变量与设计空间在机械设计中，每一设计方案都可以用一组参数来表示，这些参数有几何参
4、数：如构件的长度、位置角、构件上点的坐标等；物理参数：如质量、转动惯量、力及力矩等。在这些参数中，有的是在优化设计前根据要求预先给定的，称为设计常量；有的则是在优化设计中待选择的参数，也就是变化的量，称为设计变量。设有n个设计变量nxxx,21，可用一个向量X表示，写成T nnxxxxxxX2121 nRX (2.1)式中nR 表示n维空间，它包括了所有设计变量，称为设计空间。一个设计向量X代表着一个设计方案，它对应着n维空间的一个点，其中最优的设计方案用X 表示，称为最优点或优化点。一般情况下，设计变量x都是连续变化的量，称为连续设计变量。但是也有一些设计变量是离散的量，称为离散设计变量。设
5、计变量的数目，称为维数，一般说来维数越多在优化计算中可调整的参数越多，供优选的方案也越多，设计效果也越好，越容易满足要求。但优化计算的过程就越复杂，难度增加。所以在优化计算中不应过多地增加设计变量，应尽可能根据以往经验将一些参数确定为设计常量，而只将那些对设计指标影响比较大的设计参数定为设计变量。 约束条件和可行域优化设计中设计变量nxxx,21的取值往往需要满足某些限制条件。如构件的几何尺寸限制在某一范围内，同时各构件长度还必须保持一定的相互关系等，这些限制条件总称为约束条件。在机械优化设计中约束条件有两种类型：(1) 边界约束边界约束是直接考虑设计变量的取值范围的一种约束。(2) 性能约束
6、性能约束是由机械的某些性能要求推导出来的约束关系。约束条件有两种表达形式A.不等式约束0)(Xgumu, 2 , 12 机械优化设计理论11上式表示有m个小于或等于零的不等式约束。若约束条件是大于或等于零，即0)(Xgu时，为了程序的统一，可将其改写为0)(Xgu的形式。B.等式约束0)(Xhvpv, 2 , 1上式表示有p个等式约束， 等式约束的数目p应该小于设计变量的数目n。 因为加入一个等式约束，设计变量就多一个约束方程，实际上就等于减少一个设计变量，所以等式约束的数目不能任意的增多。任何一个不等式约束都把设计空间分为两部分：一个是满足约束条件的称为可行域； 另一个是不满足约束条件的称为
7、非可行域， 这两部分的分界是0)(Xgu。因此有约束优化设计的实质就是在可行域内寻求一组设计变量，使目标函数值最优。在可行域内的点称为可行点(在实际设计中为可行方案)， 在约束边界上的点称为边界点，两个以上约束边界的交点，称为角点。在有约束的优化问题中，优化点常常是边界点或角点。 目标函数优化设计的任务是在许多可行的方案中找出最优的方案，所谓最优方案就是在设计中能最好地满足所需追求的某些特点的目标。而这些目标又可表达为设计变量的函数，称为目标函数，目标函数可用来评价设计方案的好坏，所以又称评价函数。用下式表示：),()(21nxxxfXf(2.2)一般目标函数可用经济指标与性能指标来表示，经济
8、指标如机器的寿命最长、重量最轻、体积最小、用料最省、所需功率最小等；性能指标主要是满足运动学与动力学的要求，如牛头刨床要求刨刀在工作行程近似等速，凸轮机构要求压力角小于许用压力角等等。 优化设计的数学模型设某项设计有n个设计变量T nxxxX21(nRX )0),()(21nuuxxxgXgts(mu, 2 , 1)0),()(21nvvxxxhXh(npv, 2 , 1)约束条件下，求目标函数),()(21nxxxfXf重庆大学硕士学位论文12最小，或简记为 ), 2 , 1(0)(), 2 , 1(0)()(minpvXhmuXgtsRXXfvun（2.3）2.1.4 优化设计方法的分类优
9、化设计的种类很多，从不同的角度出发可以有不同的分类，常见的有以下几种： 按目标函数的多少可分为单目标优化方法和多目标优化方法； 按所能求解的函数的维数可分为一维优化方法(也称一维搜索)和多维优化方法； 按约束情况可分为无约束优化方法和约束优化方法； 对于能够用数学模型表达的优化问题，所用的求优方法统称为数学优化法，其中包括数学规划法和最优控制法。数学规划法又可划分为：(1) 若目标函数)(Xf、约束条件)(Xgu、)(Xhv都是变量X的线性函数，称为线性规划，否则称为非线性规划；(2) 若不等式约束的数目m和等式约束的数目p都为零，即0 pm，称为无约束规划，否则称为约束规划；(3) 若设计变
10、量X的所有分量均取整数值，称为全整数规划；若X的所有分量均取函数值，称为动态规划；若X的所有分量均取随机值，称为随机规划。一般在机械中遇到的绝大部分优化问题均属于约束非线性规划。 按求优的途径可分为：(1) 数值迭代法：利用已有信息及再生信息进行试探及迭代求优的方法，这是目前优化设计中广泛采用的方法；(2) 解析法：利用函数性态通过微分或积分寻优；(3) 图解法：利用作图寻优，主要用于不超过二维的优化问题。 2.1.5 优化设计的几何意义 等值线的概念设有一个二维函数),(yxfz ，被一个平面Cz （常数）所截，如图 2.1 所示，得到一个平面曲线，在上所有的点距平面XOY有同一个高度，称平
11、面曲线的距离为等高线，为方便起见，将曲线投影在XOY平面得曲线，因Cyxfz),(常数)，所以在上的函数值都相同，称为该函数的等值线，不同的常数、21cc所截的平面曲线不同，得到不同的等值线，设该二维函数是一2 机械优化设计理论13个半球，则其等值线是一簇同心圆，在同一个圆上函数值相同，不同的圆函数值不同，越靠近中心函数值越小，同心圆的中心函数值最小，对于非二次曲线其等值线有些畸形，但在中心附近仍然是近似的椭圆。图 2.1 等值线示意图 Fig 2.1 The general view of the isoline 无约束优化问题的几何描述由上述可知，无约束优化问题的实质就是求目标函数等值族的
12、中心X ，在数学上就是求目标函数的极小值问题，由于实际工程中目标函数是较复杂的，用数学上求极值的方法是较困难的，所以都采用数值迭代的方法，近似求目标函数的极小值。 有约束优化问题的几何描述约束优化问题必须在可行域内寻求目标函数的最小值，约束问题的实质是求可行域的边界与某条目标函数等值线的切点X 。 2.1.6 凸函数在优化设计中，为了判断所找到的点是否是全域最小点，需要引入函数的凸性等概念。 函数的凸性函数的凸性表现为单峰性。 凸集设M是n维空间nR 中的一个集合，如果对任意两点)1(X、MX)2(，以)1(X、)2(X为端点的线段全部含于M中，则称M为凸集，否则，称为非凸集。用数学语言表达凸
13、集即为：集合M中任意两点)1(X和)2(X的连线上的点X)2()1 ()1 (XXX(2.4)对任意实数) 10(都在集合M内，则称集合M为凸集。重庆大学硕士学位论文14 凸函数设M为n维欧氏空间中的一个凸集，)(Xf为定义在M上的函数，若对任何实数) 10(和M中任意两点)1(X、)2(X都有)1 ()()1 ()()2()1 ()2()1(XXfXfXf(2.5)则称函数)(Xf为定义在M上的一个凸函数。若对任何实数) 10(和M中任意两点)1(X、)()2() 1()2(XXX都有)1 ()()1 ()()2()1()2()1(XXfXfXf则称函数)(Xf为定义在M上的一个严格凸函数。
14、凸函数的简单性质如下：(1) 对任意实数0，若)(Xf为定义在凸集M上的一个凸函数，则函数)(Xf也是定义在M上的凸函数；(2) 若函数)(1Xf和)(2Xf为凸集M上的两个凸函数，则其和)()()(21XfXfXf也是凸集M上的凸函数；(3) 由性质(1)和(2)可知，对任意两个正数1和2，函数)()()(2211XfXfXf仍为M上的凸函数；(4) 设)(Xf是凸集M上的凸函数，而X 是)(Xf在M上的一个极小点，则X 也必是)(Xf在M上的全域最小点；(5) 设)1(X和)2(X是凸函数)(Xf在凸集M中的两个最小点，则这两点连线上的所有点都是函数的最小点。判断一个函数是否具有凸性，可用
15、如下的简便方法来进行：判别方法之一：若函数)(Xf定义在凸集M上，且具有连续的一阶导数，则)(Xf是凸集M上凸函数的充要条件为，对属于凸集M的任意不同两点)1(X和)2(X，下列不等式恒成立)()()() 1()2()1()1()2(XXXfXfXfT判别方法之二：若函数)(Xf定义在凸集M上，且具有连续的二阶导数，则)(Xf是凸集M上凸函数的充要条件为， 对一切MX ，)(Xf的 Hesse 矩阵)(XH是半正定矩阵。如果 Hesse 矩阵)(XH在凸集M上处处是正定的， 则)(Xf为M上的严格凸函数。2 机械优化设计理论152.2 约束优化方法9-14实际工程中，大部分问题的设计变量往往都是有一定限制的，即要求在一定范围内取值，这种情况下的寻优问题就属于约束优化设计问题。与无约束优化问题不同，约束问题目标函数的最小值只是函数在由约束条件所限定的可行域内的最小值，并不一定就是目标函数的自然最小值。约束优化设计的数学模型见式(2.3)， 求解该数学模型的方法就称为约束优化方法。这时求得的最优点X 称为约束最优点。根据求解方式的不同，约束优化方法一般分为两类：直接解法和间接解法。 2.2.1 约束优化的求解方法及其特点直接解法通常适用于仅含不等式约束的问题，它的基本思想是在m个不等式约束条件所确定的可行域内，按照一定原则直接搜索出它的最优点。
