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1、 第二类曲线积分 第二类曲面积分 计 算 方 法 第二类曲线积分的向量值函数定义：设 L 为一条定向可求长的连续曲线，起点为 A，终点为 B。设 L 上每一点取单位向 量 =（cos,cos,cos），使它与 L 的定向相一致，设 f f（x,y,z）=P(x,y,z)i i+Q(x,y,z)j j+R(x,y,z)k k 是定义在 L 上的向量值函数，则称f dsL= P(x,y,z)cos + Q(x,y,z)cos + R(x,y,z)cosLds为 f f 在 L 上的第二类曲线积分。 1、化为定积分计算 (1)、曲线方程由参数方程给出：L:x=x(t),y=y(t),z=z(t),t
2、：ab 则 ds=x2(t) + y2(t) + z2(t)dt, =（cos,cos,cos）=(x(t),y(t)，z(t)x2(t)+y2(t)+z2(t) 若向量值函数 f f 在 L 上连续，则 Pdx + Qdy + Rdz = L P(x,y,z)cos + Q(x,y,z)cos + R(x,y,z)cos Lds = P(x(t),y(t),z(t)x(t) + Q(x(t),y(t),z(t)y(t) + R(x(t),y(t),z(t)z(t)badt 二维情形：L:x=x(t),y=y(t)， t：ab Pdx + Qdy = L P(x(t),y(t)x(t) + Q
3、(x(t),y(t)y(t)badt (2)、曲线方程由显式方程：L:y=y(x),z=z(x),x：ab,则 Pdx + Qdy + Rdz = P(x,y(x),z(x) + Q(x,y(x),z(x)y(x) + R(x,y(x),z(x)z(x)b adxL二维情形：L:y=y(x),x：ab,则 Pdx + Qdy = P(x,y(x) + Q(x,y(x)y(x)badx L2、Green 公式计算平面第二类曲线积分 设 D 为平面上由光滑或分片光滑的简单封闭曲线 L 所围的单连通区域，若 P(x,y)、Q(x,y)在 D 上具有连续偏导数，则Pdx + Qdy = (QxPy)d
4、xdyDL利用 Green 公式计算平面有界区域的面积 S=xdy ydxL3、Stokes 公式计算空间第二类曲线积分 设 为分段光滑的空间有向闭曲线， 是以为边界的分片光滑的有向曲面， 的正向与 的侧符合右手法则，函数P(x,y,z)、Q(x,y,z)、R(x,y,z)在曲面 （连同边界 ）上具有一阶连续偏导数，则有dydzdzdxdxdyRQPRQPPdxQdyRdzdydzdzdxdxdyyzzxxyxyz PQR +=+=coscoscosPdxQdyRdzdSxyz PQR +=由第一类曲线积分表达为 注：除定理条件外，并没有对曲面 有特殊要求，即右端表达式中的 可能有很多个。 第
5、二类曲面积分的向量值函数定义：设 是定向的光滑曲面，曲面上每一点指定了单位法向量 n n=（cos,cos,cos），若 f f（x,y,z）=P(x,y,z)i i+Q(x,y,z)j j+R(x,y,z)k k 是定义在 上的向量值函数，则称f ndS= P(x,y,z)cos +Q(x,y,z)cos + R(x,y,z)cosdS为 f f 在 上的第二类曲面积分。 1、 化为二重积分计算 (1)、曲面 的方程由参数方程给出：x=x(u,v),y=y(u,v) ，z=z(u,v), (u,v)D，其中 D 为 uv 平面上有分段光滑边界的 有界区域，P、Q、R 在 上为连续函数。 （c
6、os,cos,cos）=1EGF2(y,z)(u,v),(z,x)(u,v),(x,y)(u,v),dS=EG F2dudv,则 Pdydz + Qdzdx + Rdxdy = Pcos + Qcos + RcosdS = P(x(u,v,),y(u,v),z(u,v)(y,z)(u,v)+ Q(x(u,v,),y(u,v),z(u,v)(z,x)(u,v)+ R(x(u,v,),y(u,v),z(u,v)(x,y)(u,v)Ddudv 式中符号由曲面的侧，即方向余弦的计算公式中所取的符号决定。 (2)、曲面方程由显式方程：z=z(x,y), (x,y) Dxy给出，其中Dxy为 xy 平面上
7、有分段光滑边界的有界闭区域，R 在 上连续函数，则R(x,y,z)dxdy = R(x,y,z(x,y)dxdyDxy，曲面定向为上侧时取+，下侧时取。其他投影面类似。 2、Gauss 公式计算第二类曲面积分 设空间闭区域 是由分片光滑的闭曲面所围成，函数 P、Q、R 在 上具有一阶连续偏导数，则有 Px+Q y+Q zdxdydz = Pdydz + Qdzdx + Rdxdy = Pcos + Qcos + Rcos dS 其中 是整个 的外侧，cos,cos,cos 是 在点（x,y,z）处的法向量的方向余弦。 曲面的侧（双侧曲面）的概念：设 是一张光滑曲面，P 为 上任意一点，P是过
8、P 点且不越过曲面边界的任意一条闭曲 线。取定在 P 点的一个单位法向量，让它沿P连续移动，使它与所过之点处的一个单位法向量连续地相合。如果当它再 回到 P 点时，法向量的指向仍与原选定方向相同，则称为双侧曲面。于是，曲面就由法向量的方向被分为两侧，选好 一侧的曲面称为定向曲面。 例如，光滑曲面 的方程为z=z(x,y), (x,y) D,其中 D 为平面区域。那么 n = (cos,cos,cos) =11+zx2(x,y)+zy2(x,y)（ zx,zy,1），如果取正号，则cos 0，这时法向量与 z 轴成锐角，意味着取定了曲面的上侧，反之则取下侧。 说 明 二重积分 三重积分 计 算
9、方 法 1、直角坐标系下的计算：若被积函数在不同区域表达式不同，应分 区域积分，若区域不是 X 型或 Y 型域，应将区域划分为几个简单的 X 型或 Y 型域再利用二重积分的区域可加性分块积分。若被积函数 仅为关于 x（y）的函数，则积分顺序一般为先 y（x）后 x（y） 。 2、二重积分的换元法 设 x=x(u,v),y=y(u,v)具有连续偏导数，且有（x,y）(u,v) 0， （其中映射T：x=x(u,v),y=y(u,v)是一一映射）若二元函数 f（x，y）在 T(D)上 连续，则有 f(x,y)dxdy = fx(u,v),y(u,v)|（x,y）(u,v)|DT(D)dudv。 特别
10、， 极坐标变换:x=rcos,y=rsin,0 2， 0 r 上， 2223400()2RDxy ddr drR+=椭圆域2222( , )|1xyx yab =+ 2222()()4Dabxy dab+=+22213 2200()2Dxyabdabdr drab+=三重积分： 球形区域2222( , , )|x y zxyzR =+上， 2222450004()sin5Rxyzdvddr drR +=2222450004sin15Rx dvy dvz dvddr drR =对任意由坐标平面分成的半球面有22252 15x dvy dvz dvR=椭球形区域222222( , , )|1xyz
11、x y zabc =+ 222214 2220004()sin5xyzdvabcddr drabcabc +=曲线积分 圆形222( , )|(0)Lx yxyRR=+= 2223()2 LLxydsRdsR+=,223LLx dsy dsR=球面2222( , , )|x y zxyzR =+=上， 34xdydzydzdxxdydzR+= 222222x dydzy dzdxz dxdyx dydzy dzdxz dxdy=+=第一类曲线积分 第一类曲面积分 计 算 方 法 第一类曲线积分通常的计算方法是通过曲线在不同形式的 方程下的弧微分表达式将其转化为计算定积分。 (1)、曲线方程由参
12、数方程给出： L:x=x(t),y=y(t),z=z(t), t ,其中 x(t)，y(t)，z(t)有连 续偏导数，且其各偏导数不同时为零，f(x,y,z)在 L 上连续， 则曲线的弧长为 s=x2(t) + y2(t) + z2(t) dt, 空间第一类曲线积分 f(x,y,z)ds =L f(x(t),y(t),z(t)x2(t) + y2(t) + z2(t) dt 二维情形：x=x(t),y=y(t), t ， 平面第一类曲线积分 f(x,y,)ds =L f(x(t),y(t)x2(t) + y2(t) dt （上述条件下定积分的下限 必须小于 。 ） 特别，若平面曲线 L 由极坐
13、标方程：r=r()给出，则 ds=r2() + r2()d, f(x,y,)ds = L f(r()cos,r()sin)r2() + r2()d(2)、曲线方程由显式方程 y=y(x),a x b给出，则f(x,y,)ds =L f(x,y(x)1 + y2(x)dxb a第一类曲面积分通常的计算方法是将其投影到某个坐标平面上计算相应的二重积分。 (1)、曲面方程由 x=x(u,v),y=y(u,v) ，z=z(u,v), (u,v)D(一一映射)给出，若 f(x,y,z)在上连续，则f(x,y,z)dS = fx（u,v,）,y（u,v）,z（u,v）DEG F2dudv 球面x2+ y2
14、+ z2= R2参数方程 x=Rsincos,y = Rsinsin,z = Rcos,其中0 2，0 。 （y,z）(,)= R2sincos, （z,x）(,)= R2sinsin, （x,y）(,)= R2sincos EG F2= (y,z) (,)2+ (（z,x）(,)2+ (x,y) (,)2= R4sin2 椭球面x2a2+y2b2+z2c2= 1参数方程 x=asincos,y = bsinsin,z = ccos,其中0 2，0 。 （y,z）(,)= bcsincos, （z,x）(,)= acsinsin, （x,y）(,)= absincos EG F2= (y,z) (,)2+ (z,x) (,)2+ (x,y) (,)2EG F2= (abc)2sin2(1a2sin2cos2 +1b2sin2sin2 +1c2cos2) (2)、曲面方程由显式方程 z=z(x,y)，(x,
