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1、机器人控制理论与技术课程论文1XXX 技术的分析与比较学号：0420102314，姓名：李某某摘要：摘要：本文针对一类非线性系统的镇定问题，分析了基于泰勒展开的近似线性化方法和基于微分几何的精确线性化方法的不同之处，及根据近似线性模型设计的控制器与根据精确线性模型设计的控制器的优缺点。最后以一种实际的非线性系统柔性关节机械臂系统为例，验证了所得结论的正确。关键词：关键词：微分几何、精确线性化、镇定控制一一. . 引言引言自控制理论建立起来，系统的镇定问题一直是控制理论中研究的重点问题之一。与线性系统相比，非线性系统的镇定问题要复杂的多。首先由于非线性系统之间结构上的差异非常大，使得很难建立一个
2、统一的理论框架对非线性系统进行研究；并且这种很大的差异使得非线性系统解的存在性以及表述上存在较大的困难，因此对非线性系统的研究很少有建立在解的表达式上的直接方法；其次由于非线性系统比线性系统具有更多的、更复杂的动态特性，使得对非线性系统的研究需要更多、更复杂的数学理论支持。非线性系统的这些特征与困难导致了各种各样的非线性系统理论不断出现与创新，控制器的设计方法也层出不穷，如 Lyapunuov 函数法、递归设计法、非线性系统几何理论等8。其中以微分几何为基础的非线性系统几何理论是非线性系统控制理论进入新时期的标志。该方法自上世纪 70 年代由 Brockett1、Sussamann2、Kren
3、er3等人做的开创性和奠基性工作以来，得到了迅速的发展，形成了包括能控性、能观性、解耦和线性化等方面的非线性系统的几何理论4，并在实际应用中取得了初步成效。本文针对一类非线性仿射系统，分析了以泰勒展开为基础的近似线性化和以微分几何方法为基础的精确线性化之间的区别，研究了精确线性化在设计高精度控制器和远离平衡点的非线性系统控制上的优越性；最后以一个柔性关节机械臂系统为例验证了上述结论的正确性；二二. . 问题描述问题描述考虑一类微分方程组描述的非线性系统：)(ux,xf&机器人控制理论与技术课程论文2其中：x 为状态向量；u 为控制向量；镇定问题所研究的是设计一个状态反馈控制器：u=k(x)使得
4、闭环系统：)(xx,xkf&为稳定系统，即当t时，系统各状态能从非平衡状态的初始位置运动到平衡状态，即，其中：为系统的平衡状态。xx )(limt tx三三. . 控制器设计控制器设计针对上述非线性系统的镇定问题，有一类方法是先将其进行线性化，然后利用线性系统稳定性理论来设计控制器。目前常用的线性化方法有两种：一种是以泰勒展开为基础的近似线性化方法，该方法是经典控制理论中处理非线性系统时，常用的一种方法，即在平衡点附近，对系统的微分方程进行泰勒展开，然后取线性近似；这种线性化方法最明显的缺点是它有误差，而且误差随偏离平衡点距离的增大而扩大。因此这种方法不适用于需要高精度控制的场合，也不适用于初
5、始状态远离平衡状态的场合。另一种是以微分几何为基础的精确线性化方法，目前非线性系统的精确线性化主要包括以下三类5：（1） 无反馈线性化：所研究的非线性系统可能实际上是一个线性系统，但由于坐标选择的不合适，因而形式上变成了一个非线性系统。这类系统的线性化便是寻找适当的坐标，使系统在此坐标下成为线性系统；这种显性化问题称为无反馈线性化，它是线性化问题中最为简单的一类。（2） 状态反馈线性化：状态反馈线性化与无反馈线性化的不同之处在于前者考虑了控制的作用，其实质是寻找一个状态反馈和一个微分同胚变换，使得反馈系统变为一个线性系统；（3） 动态补偿线性化：利用动态补偿方法把用状态反馈不能线性化的系统线性
6、化，其实质是寻找动态补偿器，使得该补偿器同原系统一起可状态反馈线性化，此线性化方法比较复杂。随着微分几何理论的发展，非线性系统的精确线性化方法得到了系统的发展；到目前为止，非线性系统的精确线性化理论已经基本形成，并得到了初步应用。下面，本文以一类单输入仿射非线性系统（1）为例，简要说明一下经典的近似线性化方法和精确线性化方法。（1）G(x)uxFx)(&机器人控制理论与技术课程论文3其中：，是一个 n 维的状态向量；F(x)与 G(x)是 n 维的函数向量；nRx是一个一维的控制输入；Ru1. 经典的近似线性化方法该方法通过求取方程（1）右端对状态向量 x 在平衡点的偏导数可得，即：（2）ug
7、ggxxxxf xf xfxf xf xfxf xf xfxxxnnxnnnnnnn )()()()()()()()()()()()(0020121212221212111210xxxxxxxxxxxxMMLMOMMLL&M&方程（2）即为方程（1）在平衡点 x0处的近似线性化模型；2. 精确线性化方法该方法通过寻找一个微分同胚变换（3）和一个状态反馈（4）使得非线性系统（1）可以转换成一个 Brunovsky 标准型的线性系统（5） 。（3）T(x)z （4）),(uvx（5）vBAzz&其中：，0000100001000010LLMOMMMLLA1000MB基于微分几何的非线性系统精确线性
8、化理论已经证明：存在这样一个微分同胚变换和状态反馈，使得一个单输入仿射非线性可以化为一个线性系统的充分必要条件是：（1）nn fRgadgspan,1L（2）分布是对合的，且具有常数秩 n-1；,2gadgspann fL并且由其证明过程可知：若是线性偏微分方程组：)(xh机器人控制理论与技术课程论文4)(, 0 , 0(),(1 )()(xgaddhgaddhgdhn ffLL 的解，其中为光滑函数，且；则：)(x0)0(（6）)()()()()(1 21xTxxxzhLhLhzzzn ffnLL是一个微分同胚变换；并且若，系统（1）可以转)()()(1xuxhLLxhLvn fgn f换为
9、 Brunovsky 标准型（5） ，即：（7）vzzzzzzznnn&L&,213221对于由近似线性化方法得到的非线性系统的近似线性模型（2）和由精确线性化方法得到的线性模型（6） ，都可以应用线性系统的极点配置方法来设计系统的反馈控制器；但不同的是前者设计的反馈控制器可以直接应用于系统（1） ，并在小范围内可以将系统从不稳定的初始状态镇定至平衡状态；而后者设计的反馈控制器所得到的是控制量 v 而不是原系统的控制量 u，因此该控制量还需要经过控制量的逆变换（8）将其转化为控制量 u 才能作用于原系统；（8）vxhLLxhLLxhLun fgn fgn f )(1 )()(11但对比这两种设
10、计非线性系统反馈控制器的方法，我们发现利用精确线性化模型得到的系统状态反馈控制器，能在更大范围内将系统从不平衡状态镇定至平衡状态；因此精确线性化方法不但更适合于高精度的非线性系统的镇定控制，而且更适合于初始状态远离平衡点系统的镇定控制。四四. . 仿真实验仿真实验下面本文以一个带有旋转关节的单连杆机器人手臂为例6来验证上述结论，如图 1 所示。Jmu,Fm,q2F1,q1M,J1lk图 1. 带有旋转关节的单连杆机器人手臂示意图机器人控制理论与技术课程论文5由牛顿运动定律可知，该系统的动力学模型如下：（9）uqqkqFqJqMglqqkqFqJmm )(0sin)(21221211111 &其
11、中：J1表示负载端惯量，Jm表示电机转子惯量，F1表示负载端阻尼常量，Fm表示电机端阻尼常量，k 表示连杆弹性系数，M 表示负载质量，g 表示重力加速度常量，l 表示连杆长度，u 表示电机驱动力矩，q1表示负载端角位移，q2表示电机转子角位移。下面对比一下当，25 . 0mkgJmradsmNF/1 . 01，radmNk/0 .502 10 .25mkgJradsmNFm/0 . 1kgM0 . 1时，两个控制器的控制效果。mL0 . 5并且取控制器（12）的参数为：K=25.31 2.573 -34.5 3.998；控制器（17）的参数为：K=10 35 50 24；1. 当初始状态为1
12、0 1 0时由上述结果可以看出，当初始状态距离平衡点较近时，两个控制器，即控制器（12）和控制器（17） ，均能使系统各状态运动至平衡状态，如图 2、图 3所示；但当初始状态距离平衡点较远时，基于近似线性化模型的控制器（12）不能将系统各状态镇定至平衡状态，如图 4 所示，而基于精确线性化模型的控制器（17）仍然能够将系统各状态镇定至平衡状态，如图 5 所示；从而验证了第三部分中得到的结论是正确的。五五. . 总结总结本文针对一类非线性系统的镇定问题，比较了近似线性化方法和精确线性化方法的不同，及其优缺点。从分析中可知精确线性模型比近似线性模型更能精确的反映系统的本质特征，通过精确线性模型所得
13、到的控制器比通过近似线性模型得到的控制器更适合于高精度的控制和初始状态远离平衡状态时非线性系统的镇定控制。最后以一个仿真示例验证了所得结论的正确性。参考文献1. Brockett R W. Nonlinear system and differential geometryC, Proceeding of the IEEE. 64, 1, 61-722. Sussmann H J. A Sufficient Condition for local controllabilityJ. SIAM. Journal 机器人控制理论与技术课程论文6on Control and Optimization
14、, 1978,16(5):790-8023. KrenerA J. On the Equivalence of Control Systems and Linearization of Nonlinear SystemsJ. SIAM. Journal on Control and Optimization, 1973, 11:670-6764. 程代展. 非线性系统的几何理论M. 科学出版社, 19885. 张嗣瀛, 王景才, 刘晓平. 微分几何方法与非线性控制系统J. 信息与控制, 1992, 21（4）：229-2346. Kang S C. On the Synthesis of Fi
15、xed Order Stabilizing ControllersD. Texas A&M University. 20057. Marino R, Tomei P. Nonlinear Control Design: Geometric, Adaptive and RobustM. Prenctice Hall, London, 19958. 王兴平. 非线性系统的镇定控制理论概述. 海军航空工程学院学报. 2005, 20（3）：306-310机器人控制理论与技术课程论文7课程论文评分标准表课程论文评分标准表评价内容具 体 要 求分值评分查阅、收集资料查阅一些相关资料，收集素材，进行参 考。10选题、构思、主 见选题新颖，构思全面，对问题有较深刻 的认识，有一定独特见解。10逻辑结构结构合理，层次分明，条理清晰，逻辑 性强。10撰写质量格式规范，语句通顺，语言准确，书写 工整，达到论文要求的字数。20学过知识的运用结合学过的内容，充分运用掌握的知识， 充分表达自己的观点。20分析与阐述问题 的能力所阐述问题清楚，突出重点，论文表现 出对实际问题有较强的分析能力和概括 能力，并所论述的事项有说服力。30总分
